CAPITOLO 7. IL NUMERO NEGLI ELEMENTI DI EUCLIDE
9. Due dimostrazioni relative alla frazione continua per il calcolo di √2
È possibile trovare la frazione continua che genera valori approssimati di √2 procedendo come segue.
Si pone √2 = 1 + x.
Poiché (√2)2 = 2, si ha anche (1 + x)2 = 2.
Operando sull'ultima equazione ottenuta, si ottiene: 1 + 2x + x2 = 2 2x + x2 = 1 x (x + 2) = 1 Da cui si ricava: x= 1 (2+ x)
È quindi possibile sostituire ad x l'espressione 1 (2+x ) . Si ha dunque: √ 2=1+ x=1+ 1 2+x=1+ 1 2+ 1 2+x =1+ 1 2+ 1 2+ 1 2+...
Come si vede, la frazione trovata è quella a noi nota, utilizzata in epoca greca per il calcolo di approssimazioni razionali di √2.
È possibile giustificare il funzionamento della frazione anche all'inverso. Sia detto x il valore a cui tende la frazione all'infinito, si può scrivere:
x=1+ 1 2+ 1 2+ 1 2+... O, il che è lo stesso, x=1+ 1 1+1+ 1 2+ 1 2+...
Il denominatore del secondo membro di destra dell'equazione è identico ad 1 + l'intera frazione continua: dal momento che la frazione si ripete sempre uguale a se stessa, per un numero di volte infinito, la sequenza contenuta nel denominatore della frazione è infatti indistinguibile, sotto tutti i punti di vista, dalla frazione continua stessa.
Dunque, si può scrivere:
x=1+ 1
(1+x ) Eseguendo i calcoli, si trova:
x+ x2=1+x +1
x2=2
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