L’equilibrio delle particelle cariche

In un mezzo attraversato da radiazioni ionizzanti si ha una situazione vantaggiosa per stabilire una correlazione fra grandezze dosimetriche se nella regione del mezzo in cui si intende stabilire la correlazione, è realizzata la condizione di “equilibrio delle particelle cariche”. Questa condizione è denotata comunemente con l’acronimo CPE (charged particle equilibrium).

Si ha equilibrio delle particelle cariche (CPE) nel volume V di un mezzo esposto a radiazioni ionizzanti, se ogni particella carica uscente da V con una data energia è rimpiazzata, in media, da un’altra particella dello stesso tipo che entra in V con la medesima energia. Se esistono in V le condizioni di CPE si ha quindi:

( )

( )

dove (∑Tin)c è il valore atteso della somma delle energie cinetiche delle

particelle cariche che entrano in V e (∑Tex)c è il valore atteso della somma delle energie cinetiche delle particelle cariche dello stesso tipo che escono fuori da V. Poiché la dose assorbita è una grandezza riferita a un punto P del mezzo - ovvero a un piccolo volume V intorno a P - si possono definire le condizioni di CPE in un piccolo volume V, in modo formalmente diverso ma equivalente alla (5.1a) (cfr. Carlsson). Se 𝚿(𝑃) è la fluenza vettoriale di energia delle particelle cariche nel punto P e se V è sufficientemente piccolo da poter considerare 𝚿 costante al suo interno, esiste in V equilibrio delle particelle cariche se:

In base al teorema (c.d. di Gauss) della divergenza di un vettore si ha infatti: _𝑺 𝚿 ∙ d𝐬= _𝑽 div 𝚿d𝑉, dove il membro a sinistra dell’equazione rappresenta

il flusso del vettore 𝚿 attraverso la superficie

S che racchiude il volume V. Per V sufficientemente piccolo da poter

assumere, al suo interno, div Y costante e uguale a div Y(P), si può porre: _𝑽 div 𝚿d𝑉 = 𝑉 ∙ div 𝚿 𝑃 e quindi:

div 𝚿(𝑃) =0

1 𝑺 𝚿 ∙ d𝐬 (5.1c)

La quantità scalare “div 𝚿(P)" rappresenta perciò il valore netto (bilancio entrata-uscita) dell’energia trasportata dalle particelle cariche al di fuori di un piccolo volume V posto intorno al punto P, diviso per V. Quando la (5.1b) è soddisfatta, il flusso del vettore 𝚿 attraverso la superficie S che racchiude il volume V risulta nullo e si ha quindi CPE in V. Se nel mezzo considerato è uniformemente distribuita una sorgente radioattiva che emette radiazione beta e se non agiscono campi elettrici o magnetici che possano influenzare l’energia o il percorso delle particelle cariche, in ogni elemento di volume interno a questo mezzo sono evidentemente sempre verificate le condizioni di CPE. È anche evidente che se un mezzo è irraggiato da un fascio monodirezionale di particelle cariche, non potranno mai essere rigorosamente realizzate in un suo elemento di volume le condizioni di CPE. Le particelle cariche perdono mediamente energia lungo ogni tratto dl del loro percorso e le energie attese delle particelle cariche entranti in un volume dV del mezzo saranno sempre maggiori di quelle delle particelle uscenti da esso.

Se la radiazione incidente sul mezzo è indirettamente ionizzante, l’equilibrio delle particelle cariche secondarie liberate dalla radiazione primaria può essere invece realizzato in un volume V del mezzo, se (cfr. Attix):

a) il volume V è interno a un volume V’ (dello stesso mezzo) entro il

quale la radiazione primaria sia uniforme o abbia trascurabile attenuazione;

b) la posizione di V è tale che i bordi di V’ abbiano una distanza, d, dai

bordi di V maggiore o uguale al range (cfr. § 3.3) delle particelle cariche secondarie più energetiche prodotte in V’ dalla radiazione primaria e si abbia quindi: d ≥ Rmax dove Rmax è il range massimo delle particelle cariche

secondarie.

Quanto più è realistico assumere come trascurabile l’attenuazione della radiazione primaria entro uno spessore del mezzo pari a Rmax, tanto più

realistico è assumere l’esistenza di CPE nel volume V. Le condizioni a) e b) fissano, per una data energia della radiazione primaria, le dimensioni di V’ e di V. È evidente che entrambe le condizioni sono tanto più facilmente realizzabili, per un dato valore dell’energia della radiazione primaria, quanto più piccole sono le dimensioni di V. Uno schema descrittivo delle

condizioni per l’esistenza di CPE in un volume V esposto a radiazione indirettamente ionizzante è mostrato nella figura 5.1.

Con un esempio le cui conclusioni possono essere estese a tutti i possibili casi, si può verificare che esiste CPE in un volume V interno a V’ se V’ è irradiato uniformemente (o con attenuazione trascurabile) da radiazione indirettamente ionizzante e se è: d ≥ Rmax. L’esempio è schematizzato in

figura 5.2. In base alle ipotesi fatte la radiazione primaria distribuita uniformemente in V’ libera in V’ particelle cariche secondarie che in ogni punto di V’ hanno, in media, identica fluenza, distribuzione angolare e distribuzione di energia. Si considerino di queste particelle quelle che, in un dato istante, hanno in media la stessa energia cinetica iniziale T₀ e si propagano nel mezzo mediamente lungo la medesima direzione. L’energia T₀ è compresa fra una Tmin e una Tmax dipendenti dall’energia

della radiazione primaria. Al fine di specificare il volume di V, si assuma che l’energia spesa da ognuna di queste particelle nell’attraversare un diametro massimo di V sia: TV = (1/4) T₀. Nell’esempio in figura 5.2 sono

considerate quattro famiglie di particelle cariche liberate in V’ con la medesima energia cinetica T₀, lungo la medesima direzione ma in punti diversi di V’. Questi punti, P₁, P₂, P₃ e P4 sono scelti nell’esempio in modo

che per l’insieme delle particelle che entrano, attraversano e lasciano il volume V sia soddisfatto il bilancio fra le energie, Tin, entranti in V e

Figura 5.1 - Schema delle condizioni necessarie per l’equilibrio delle particelle cariche (CPE) in un volume V di un mezzo m. Il mezzo è uniformemente irraggiato da radiazione indirettamente ionizzante di energia specificata (linee piene). La radiazione primaria libera particelle cariche di varia energia e con range, R₁ … Rn, di varia lunghezza (linee tratteggiate). Il volume V deve essere contenuto in un volume più grande, V’, tale che al suo interno la fluenza della radiazione primaria si possa assumere costante entro V’ (e quindi entro V). Inoltre la distanza minima, d, fra i bordi dei volumi V e V’ deve essere maggiore o uguale a Rmax, dove Rmax è il range delle particelle cariche più energetiche liberate nel mezzo dalla radiazione primaria. Nell’esempio in figura la condizione di CPE in V è assicurata dalle tracce R₂ e R₃

quelle, Tex, uscenti da V. Il bilancio energetico per le quattro famiglie di

particelle cariche considerate è descritto nella tabella 5.1 dove si vede che ∑Tin = ∑Tex. Se la fluenza della radiazione indirettamente ionizzante

incidente sul mezzo può ritenersi costante entro lo spessore: d ≥ Rmax (o

la sua attenuazione è entro quello spessore trascurabile) anche la fluenza, Φ, la distribuzione in energia, ΦE, e quella direzionale, ΦΩ, delle

particelle cariche secondarie liberate entro lo spessore d, potrà considerarsi praticamente costante in ogni punto del mezzo entro quello spessore. Da ciò consegue che, per ogni particella liberata in un punto Pi

con un’energia T0 (compresa fra una Tmin e una Tmax) si potranno sempre

trovare n diversi gruppi (n ≥ 2) di particelle dello stesso tipo, con la medesima energia e direzione, e con origine in punti diversi interni a V’ tali che si abbia: ∑Tin = ∑Tex.

Con la radiazione primaria indirettamente ionizzante le condizioni di CPE in un piccolo volume di un mezzo si realizzano tanto più facilmente quanto più elevato è il rapporto fra il cammino libero medio, λ, della

Figura 5.2 - Schema esemplificativo di una situazione in cui è realizzata la condizione di CPE in un volume V interno a un volume V’ i cui bordi distano da quelli di V di una distanza d ≥ Rmax. Il volume V è attraversato da 4 famiglie di particelle cariche liberate, nei punti P1, P2, P3 e P4, con la stessa energia cinetica T0.

Le particelle hanno mediamente la stessa direzione ed entrano in V attraversando la sfera lungo diametri massimi. Le dimensioni di V sono tali che ogni particella che lo attraversa perde mediamente un’energia uguale a T0/4. Le frazioni all’inizio e alla

fine di ciascuna traccia indicano, rispettivamente, la frazione di T0 con cui le

radiazione primaria in quel mezzo e il range, Rmax, delle particelle cariche

secondarie nel medesimo mezzo (cfr. Attix). In particolare, quanto più elevato è il rapporto λ/Rmax tanto più agevolmente può essere assicurata

la condizione b) sopra specificata.

Se la radiazione primaria è costituita da fotoni questa condizione è tanto meno realizzabile quanto maggiore è la loro energia hv. Al crescere di hv,

Rmax aumenta infatti molto più rapidamente di λ. A energie inferiori a 200 keV il cammino libero medio dei fotoni è invece (in un mezzo come l’acqua) circa 103 _{volte il range degli elettroni con la medesima energia}

(cfr. Berger e Seltzer, Hubbell e Seltzer).

Se la radiazione primaria è costituita da neutroni le condizioni di CPE sono praticamente quasi sempre realizzate. A riguardo basti tener presente che le particelle cariche liberate dai neutroni sono particelle pesanti (protoni, particelle alfa, frammenti nucleari ecc.). Queste particelle cariche hanno un range che in qualsiasi materiale è di diversi ordini di grandezza inferiore al cammino libero medio dei neutroni in quel mezzo.

La possibilità che in un volume di un mezzo attraversato da radiazione ionizzante sussistano le condizioni di CPE permette di ricavare, come si vedrà nei prossimi paragrafi, utili relazioni fra le grandezze dosimetriche, in particolare fra la dose assorbita, il kerma e l’esposizione.