Il “range” delle particelle cariche

Il percorso che particelle cariche di energia cinetica iniziale T₀ riescono a compiere in un mezzo di numero atomico Z non è mai identico per tutte le particelle a causa della distribuzione casuale delle loro perdite di energia. Questo percorso è molto tortuoso soprattutto per gli elettroni per i quali le deviazioni di traiettoria sono molto più pronunciate rispetto a quelle delle particelle pesanti. Tali deviazioni aumentano al crescere di

Z e al diminuire di T₀. Il percorso, Ri, di una particella è la somma dei diversi tratti ciascuno dei quali è il percorso della particella fra una collisione e la successiva (figura 3.16). Il percorso Ri è una grandezza

stocastica il cui valore dipende essenzialmente: dal numero (statisticamente variabile) di forti collisioni che la particella subisce (quindi dalla quantità e dall’energia dei raggi δ prodotti), dallo “scattering multiplo” delle particelle e – per gli elettroni – da eventi con elevata perdita di energia a seguito della produzione di bremsstrahlung.

Per gli elettroni il percorso Ri relativo a ciascuna particella sarà quindi

tanto minore quanto maggiore sarà l’energia dei δ (o dell'eventuale bremsstrahlung) da essa generati (figura 3.16). La variabilità del percorso delle particelle cariche (lo “straggling”) è evidentemente molto più elevata per gli elettroni rispetto alle particelle cariche pesanti. A causa della variabilità nella lunghezza dei percorsi Ri, i loro valori sono

distribuiti attorno a un valor medio, R, definito come il range delle particelle di un fascio di data energia nel mezzo considerato.

La distribuzione delle lunghezze dei percorsi, Ri, è di tipo gaussiano

poiché di tale natura è il processo di perdita di energia delle particelle in un assorbitore. Se n₀ particelle monoenergetiche incidono su un mezzo sufficientemente spesso e se dn è il numero di quelle che hanno un range compreso tra x e x + dx, si ha (cfr. Evans): ( ) [ ] _x α n n x R /αR R d e π 1 d 2 0 - - = _(3.69)

dove aR = √2·sR è la semilarghezza della distribuzione dei valori di Ri,

La distribuzione statistica dei percorsi Ri intorno al loro valore atteso, il

range R, spiega la tipica forma delle curve sperimentali che correlano il numero di particelle di un fascio (di una data energia iniziale) alla profondità del materiale che esse riescono ad attraversare (figura 3.18). In assenza di variabilità statistica nei percorsi delle singole particelle, il tratto finale di queste curve sperimentali manterrebbe il suo andamento lineare nell’intercettare l’asse delle ascisse anziché il tipico flesso come mostrato nei due esempi in figura 3.18 relativi all’assorbimento di particelle pesanti (curva a) e di particelle leggere (curva b). L’andamento incurvato nel tratto finale di queste curve è dovuto alla variabilità, anch’essa statistica, dei “percorsi proiettati”, (RT)i. Al percorso Ri di

ciascuna particella si può infatti far corrispondere la profondità (RT)i

attraversata dalla particella (figura 3.16). La profondità (RT)i si ottiene

come proiezione della spezzata Ri sull’asse di incidenza del fascio di

particelle. Il percorso proiettato (RT)i rappresenta quindi lo spessore del Figura 3.16 – Schema esemplificativo della variabilità dei percorsi Ri di tre particelle

(a, b, c) che, con energia iniziale T₀, attraversano un mezzo. La variabilità di Ri

dipende in larga misura dalla quantità e dall’energia dei raggi δ generati lungo la traccia di ciascuna particella. Il valor medio degli Ri è il range, R, delle particelle nel

mezzo attraversato. Le proiezioni (RT)a, (RT)b, e (RT)c dei percorsi Ri corrispondono agli

spessori attraversati dalle particelle nel mezzo considerato

mezzo che la particella riesce ad attraversare e perciò esso coincide con la grandezza riportata in ascisse nelle curve sperimentali come quelle mostrate in figura 3.18. Lo spessore (RT)i è, come il percorso Ri, anch’esso

variabile statisticamente ed evidentemente risulta sempre (RT)i ≤ Ri. La

diversità fra i valori di (RT)i e quelli dei corrispondenti Ri è tanto più

pronunciata quanto più tortuoso è il percorso Ri delle particelle. Il valor

medio degli (RT)i è comunemente indicato come il range proiettato, RT, del

fascio di particelle nel mezzo considerato e ovviamente risulta sempre (RT)i ≤ R.

Sia R che RT – così come i percorsi Ri e (RT)i – non sono di norma

misurabili, a meno di disporre di metodi che forniscano le immagini delle tracce delle particelle in qualsiasi mezzo. Nella pratica, per caratterizzare il potere di penetrazione di un fascio di particelle cariche in un mezzo, si determinano altre grandezze che pur non coincidendo esattamente con R e RT, sono a esse simili.

Queste grandezze sono il range CSDA, RCSDA (cfr. NIST) e il range estrapolato, Re.

Il range CSDA è il range di un fascio di particelle cariche determinato nell’approssimazione cosiddetta del rallentamento continuo (Continuous Slowing Down Approximation, CSDA) e si calcola, a partire dalla definizione di potere frenante, come: T l T RCSDA T d d d 1 0 0 -

ò

ç_èæ ÷_øö = (3.70) dove dT/dl è il potere frenante del mezzo cui il range delle particelle Figura 3.17 - Distribuzione normale delle lunghezze dei percorsi Ri delle particelle intorno al loro valor medio, il range R. Il parametro α della distribuzione (cfr. eq. 3.66) è uguale alla semilarghezza della distribuzione corrispondente al punto della curva posto a 1/e del suo massimo

considerate è riferito. Nell’approssimazione del rallentamento continuo le fluttuazioni nelle perdite di energia delle particelle non sono presenti, in quanto si assume che le particelle perdano energia in modo continuo lungo il loro percorso con una perdita media di energia per unità di percorso data dal potere frenante, S (cfr. eq. 3.45). Se nella (3.70) si sostituisce il potere frenante dT/dl con il potere frenante massico, dT/(rdl), si ottiene il range massico 𝑅_fghi∗ _{dato da:}

T d l d ρdT RCSDA T 1 0 0 - * _{ò ÷} ø ö ç è æ = (3.71)

Il range massico 𝑅_fghi∗ _{ha le dimensioni di uno spessore massico (g cm⁻²)}

essendo 𝑅fghi∗ = 𝜌𝑅fghi. La funzione dT/dl nella (3.70) e nella (3.71) è il

potere frenante totale S = Sel + Srad.

La grandezza RCSDA approssima il range R delle particelle nel mezzo ma non coincide necessariamente con esso. Negli integrali delle equazioni (3.70) e (3.71) i valori di dT/dl variano infatti con continuità in funzione dell’energia, esprimendo il valore medio delle perdite di energia (per ionizzazione, eccitazione e irraggiamento) lungo ciascun tratto del percorso. Quando infatti si hanno perdite di energia elevate (come nella produzione di raggi δ o di bremsstrhalung di elevata energia) si hanno sensibili variazioni non solo dell’energia della particella ma anche della sua direzione (soprattutto per gli elettroni). La lunghezza media del percorso, R, non sarà quindi mai coincidente con quella fornita dal calcolo di RCSDA o di 𝑅_fghi∗ .

Nel documento Fondamenti di dosimetria delle radiazioni ionizzanti. Quinta edizione (pagine 84-87)