Frequenze proprie

Per ricavare i modi di vibrare e le relative frequenze proprie dei modelli, `e stata eseguita un’analisi modale. Per fare ci`o si `e reso necessario mettere in conto la massa idrodinamica dell’acqua e tali masse idrodinamiche da applicare alle strut- ture, sono state calcolate con la teoria di Westergaard, di cui di seguito si riportano alcuni accenni.

6.4.2.1 Accenni della Teoria di Westergaard

Le ipotesi di base sono le seguenti:

• liquido comprimibile; • viscosit`a trascurabile;

• sbarramento con paramento a monte verticale;

• accellerazioni sismiche orizzonatali (perperdicolari alla diga) di legge sinu- soidale: ug(t) = −α · g · cos(ω · t);

• moto piano;

• piccoli spostamenti sia orizzontali che verticali delle particelle liquide; • effetto delle onde di superficie trascurabile;

• quota del pelo libero costante;

• serbatoio infinitamente lungo verso monte;

• frequenza di eccitazione minore della frequenza fondamentale del serbatoio. In particolare Westergaard ritiene che l’azione dinamica che l’acqua esercita sul corpo diga, pu`o essere vista come un corpo d’acqua che si muove con la diga stessa e la restante parte rimane ferma. La forma di questo corpo d’acqua, considerato in movimento con la diga, deve essere determinato in maniera tale che le forze di inerzia risultino uguali alle pressioni che effettivamente sono esercitate dall’acqua dell’azione dinamica.

Di seguito `e riportata la formula:

mai = 7 8 · γw· Ai· p H · (H − zi) (6.1) dove:

• mai rappresenta la ”i-esima” massa posta all’altezza ”i” dal fondo del para-

mento di monte;

• γw rappresenta il peso di volume dell’acqua (1000 kg/m3);

• Ai rappresenta l’area della ”i-esima” sezione considerata;

• H rappresenta l’altezza del livello d’invaso misurata da monte;

• zi rappresenta l’altezza misurata dalla base della diga del baricentro della

La teoria di Westergaard `e una teoria semplificata, ma molto utilizzata anche ai fini progettuali e di verifica, che viene consigliata in molte normative internazionali ed utilizzata in letteratura (v. Figura 6.16). A seconda del modello scelto, a concio singolo o completo, `e stata scelta un’altezza differente H (si vedr`a in seguito) comunque sempre corrispondente al massimo livello d’invaso. Il paramento di monte `e stato suddiviso in sezioni di 5 m, a partire dal terreno di base ai piedi di ogni singolo concio.

Figura 6.16: Parametri per la determinazione delle masse idrodinamiche secondo la Teoria di Westergaard

6.4.2.2 Modello a concio singolo

Per quanto riguarda il modello a concio singolo, come detto in precedenza `e stato considerato il concio n.6 (quello centrale tracimabile), quindi dividendo il para- mento di monte con sezioni alte 5 m, si sono ottenute dieci sezioni essendo tale concio altro una cinquantina di metri circa a partire dal terreno di base a monte della diga. L’area considerata, data la larghezza del concio pari a 16,5 m, `e di 82,67 m2, mentre il valore di zi varia da sezione a sezione considerata, essendo la

distanza tra il baricentro della ”i-esima” sezione e il terreno alla base del concio. Quindi con la Formula (6.1) sono state calcolate le masse idrodinamiche che sono state applicate al modello creato.

Nella figura seguente (v. Figura 6.17) `e mostrato il modello a concio singolo, con le sfere che rappresentano le masse idrodinamiche equivalenti:

Figura 6.17: Modello a concio singolo a masse concentrate

La frequenza del primo modo di vibrare (v. Figura 6.18) risulta essere pari a 5,2535 Hz e di seguito si riporta anche l’immagine della prima forma modale:

6.4.2.3 Modelli completi

Per quel che riguarda i modelli completi, l’altezza delle sezioni `e la solita usata usata in precedenza, cio`e 5 m. In questo caso per`o le aree considerate Ai variano

da concio a concio, dato che le larghezze dei conci, in parte, sono differenti tra loro. Solo i 5 conci tracimabili sono stati suddivisi per un totale di 10 sezioni, mentre i conci in destra e sinistra sono stati suddivisi in un numero inferiore di sezioni data la loro ridotta altezza. Di conseguenza anche i valori di zi variano da sezione

a sezione e ovviamente da concio a concio, dato che tali valori sono misurati a partire dal terreno di base a monte al piede del concio considerato.

Sono state calcolate le masse e il loro valore, per ogni concio e per ogni sezione e poi sono state applicate al modello. Nella figura seguente `e mostrato il modello completo con le sfere che rappresentano le masse idrodinamiche equivalenti (v. Figura 6.19):

Figura 6.19: Modello completo a masse concentrate

Ovviamente le frequenze ed i modi di vibrare, sono stati analizzati per tutte e due le tipologie di modello realizzate, cio`e quello tipo bonded e tipo free. Si riportano le frequenze del primo modo di vibrare dei due modelli completi, nella seguente tabella (v. Tabella 6.2):

tipologia di modello frequenza [Hz] bonded 6,8032

free 6,0826

Di seguito si riportano anche le immagini, della prima forma modale di ogni modello completo (v. Figura 6.20, v. Figura 6.21):

Figura 6.20: Modello completo tipo bonded, primo modo di vibrare

Figura 6.21: Modello completo tipo free, primo modo di vibrare

Riportiamo di seguito il riassunto delle analisi eseguite, di tutti e tre i modelli considerati (v. Tabella 6.3):

tipologia di modello freuquenza [Hz] completo bonded 6,8032

completo free 6,0826 concio singolo 5,2535

Tra i modelli completi considerati, quello tipo bonded `e quello che, per le condizioni tra i conci che sono state impostate, ha la maggiore rigidezza. Al contrario, il modello tipo free, tra i modelli completi `e quello che ha la minore rigidezza, sempre per le condizioni che sono state imposte sulle superfici di contatto tra i conci. Dato che la rigidezza `e direttamente proporzionale alla frequenza, si pu`o osservare che tra i modelli completi, le frequenze del primo modo di vibrare risultano essere coerenti con ci`o che ci si attendeva.

Per ci`o che riguarda il modello a concio singolo, gi`a a priori per la concezione della tipologia di modello, ci si attendeva che fosse il modello meno rigido ed infatti i risultati confermano quanto ipotizzato.