Modulo elastico

Il modello costitutivo pi`u semplice e generalmente utilizzato per il calcestruzzo `e quello dell’elasticit`a lineare di un materiale omogeneo e isotropo, in cui il compor- tamento deformativo `e definito attraverso due parametri: il modulo elastico (E) e il coefficiente di Poisson (ν). In realt`a, il comportamento sforzo-deformazione del calcestruzzo `e di tipo non lineare e l’assunzione della condizione di elasticit`a

lineare `e limitata a livelli di carico al di sotto di circa 1/3 del carico di rottura. Al di sopra, invece, le propriet`a elastiche variano al variare del livello di sforzo applicato. Inoltre, a causa della non linearit`a del comportamento, sono possibili diverse definizioni di modulo elastico: modulo elastico tangente e modulo elastico secante (v. Figura 2.17):

Figura 2.17: Tipica curva sforzo-deformazione e varie possibili definizioni dei moduli elastici

Normalmente per modulo elastico statico s’intende il modulo elastico secante, che idealizza la curva sforzo-deformazione del materiale dall’origine, o da un certo livello prefissato di partenza (modulo secante lungo una corda), sino al livello di carico considerato. Al modulo elastico secante fanno, infatti, di solito riferimento le normative per la determinazione sperimentale di tale valore, come ad esempio la norma UNI 6556 o la norma Americana ASTM C469.

Il modulo elastico tangente `e di minore importanza pratica, poich´e si riferisce a stati di sforzo e deformazioni molto piccole. Esso pu`o essere preso in considerazione per carichi rapidi, di tipo dinamico, per i quali il modulo elastico `e considerato pi`u elevato. In tal caso si utilizza solitamente il termine di modulo elastico dinamico. Esso pu`o essere valutato anche attraverso metodi ultrasonici, basati cio`e sull’acqui- sizione di misure di velocit`a di propagazione nel calcestruzzo di onde ultrasoniche. Infine, poich´e le dighe sono progettate per stati di sforzo di compressione, il modulo

elastico `e tipicamente determinato per stati di sforzo di compressione (E = modulo elastico statico o dinamico in compressione). I valori per trazione o flessione sono generalmente assunti uguali a quelli ottenuti dalle prove in compressione.

Esistono anche numerose correlazioni tra il modulo elastico statico e la resisten- za a compressione. Tra queste quelle proposte dall’American Concrete Institute (ACI Building Code 318), dal British Standard BS 8110 e dall’Eurocodice 2 (De- sign of concrete structures), che esprimono il valor medio del modulo elastico in compressione all’et`a di 28 giorni (in GPa) in funzione della resistenza a compres- sione caratteristica fc (in MPa), ottenuta alla stessa et`a su cilindri di 15x30 cm

(v. Tabella 2.3):

normativa o raccomandazione formula per E ACI Building Code (ACE Committee 318) E = 4, 37 · fc1/2

The British Code of Pratice (CO 110, Parte 1) E = 9, 1 · fc1/3

Eurocode 2 (Design of concrete structures) E = 9, 5 · (fc+ 8)1/3

Tabella 2.3: Calcolo del modulo elastico secondo alcune normative e raccomandazioni internazionali

Secondo l’Eurocodice 2, il modulo elastico pu`o essere calcolato anche a et`a pi`u avanzate, se il valore di fc `e sostituito dalla resistenza al tempo considerato. Co-

mune a tutte le equazioni `e un elevato coefficiente di variazione. Tuttavia, come gi`a sottolineato per la resistenza a trazione, se si vuole valutare le caratteristiche di elasticit`a di un calcestruzzo invecchiato, che ha subito fenomeni di degrado e invecchiamento, non `e possibile ricorrere alle richiamate correlazioni tra modulo elastico e resistenza a compressione, che sono, invece, limitate a calcestruzzi giovani e con un classico sviluppo temporale delle prestazioni meccaniche, non influenzato dal degrado. Per questo la sperimentazione `e d’obbligo.

Le condizioni di prova influiscono notevolmente sui valori di modulo. In parti- colare, le prove condotte in condizioni secche comportano una riduzione di cir- ca il 10-20% rispetto ai corrispondenti campioni in condizioni umide, a seconda delle condizioni di saturazione. La causa `e ancora da attribuire alla microfessu- razione legata al processo di essiccamento. Per questo `e essenziale conservare le carote estratte dalla diga con il loro contenuto di umidit`a naturale, per esempio avvolgendole in sacchetti di plastica o in panni umidi.

La velocit`a di applicazione del carico `e un altro fattore importante che influenza il modulo elastico del calcestruzzo. Infatti, sotto l’applicazione di carichi istanta- nei si riescono a manifestare solo modeste deformazioni e il modulo che ne risulta

`e maggiore rispetto alle condizioni statiche. Al contrario, per velocit`a di carico molto lente, il modulo risulta inferiore rispetto alle condizioni statiche, a cau- sa dell’importante ruolo contemporaneamente giocato dalle deformazioni viscose (creep).

In assenza di fenomeni di degrado, il modulo elastico tende a crescere in funzio- ne del tempo. Anzi, `e stato dimostrato che il modulo elastico tende a crescere pi`u rapidamente di quanto non faccia la resistenza a compressione.Gli incremen- ti sono particolarmente evidenti nel caso d’impiego di materiali pozzolanici nella miscela del calcestruzzo.Esistono casi in cui la crescita del modulo elastico riguar- da solo il periodo di idratazione (circa 90 giorni), mentre dopo il modulo sembra assestarsi su valori costanti. Poich´e tutti i campioni di laboratorio mostrano una continua crescita del modulo con l’et`a, l’assenza di un incrememento del modulo sulle carote estratte dalla diga `e stata interpretata come il segnale di possibili stati microfessuratvi sul materiale del carotaggio.

Se il calcestruzzo `e danneggiato a causa di fenomeni di degrado, o per effetto di carichi elevati, il modulo elastico diminuisce a confronto con quello che si avrebbe in assenza di danno. Una valutazione di questa diminuzione `e chiaramente os- servabile attraverso il cambiamento della pendenza di cicli di carico e scarico, sia in compressione che in trazione. In Figura 2.18 `e schematizzata l’evoluzione del modulo elastico per effetto, per esempio, di microfessure:

Figura 2.18: Schema delle variazioni del modulo elastico per effetto di un incremento di danno

Tuttavia occorre cautela nel associare la riduzione del modulo elastico anche alla corrispondenza resistenza a compressione. Come anche la sperimentazione basata sulla meccanica della frattura pu`o dimostrare, un calcestruzzo danneggiato `e anco- ra in grado di mettere in gioco margini di resistenza legati all’interconnessione tra gli aggregati. Si tratta di margini di resistenza di particolare interesse soprattutto nella valutazione della stabilit`a delle dighe in fase post-sismica.

Nella sperimentazione del modulo elastico si fa usualmente riferimento all’uso di un modulo secante secondo una corda, con una deformazione minima, ad esempio di 50 µε, e un livello di carico massimo, corrispondente a circa il 40% della resistenza a compressione del calcestruzzo al momento della prova. Questi due limiti sono scelti per evitare di inglobare nel valore del modulo effetti legati ad assestamenti del campione e per mantenersi, al contempo, all’interno del campo elastico. Per le carote estratte dalla diga occorre che il rapporto tra la lunghezza del pro- vino e il relativo diametro sia maggiore di 1,5. Le deformazioni lungo l’asse della compressione dovrebbero essere misurate con due o pi`u dispositivi di misura (tra- sduttori induttivi o estensimetri elettrici), in modo da evidenziare chiaramente la presenza di eventuali carichi eccentrici e comportamenti non uniformi del cam- pione. La base di riferimento per la misura `e importante. Ad esempio la norma ASTM C469 specifica che la base di misura non debba essere inferiore a tre volte il valore del diametro massimo dell’aggregato (Dmax) e allo stesso tempo superio-

re ai 2/3 dell’altezza del campione. La base di misura ideale `e di circa la met`a altezza del provino. Prima di caricare il campione di prova `e essenziale seguire una specifica sequenza operativa che garantisca il centraggio del campione stesso. Se, ad esempio, le deformazioni registrate dagli strumenti dovessero essere troppo diverse tra loro, pi`u del 20%, del loro valore medio, `e raccomandabile sospendere la prova, ricentrare il provino e ripetere il procedimento.

Sulla base del comportamento sperimentale del calcestruzzo ricavato da tutta la popolazione dei campioni indagati, alle diverse fasce della curva sono state asso- ciate specifiche condizioni di comportamento, da quello iniziale, di tipo lineare, sino al comportamento non lineare con la comparsa di fessure, per arrivare alla rottura e al comportamento tipico del post-rottura. La fascia di lavoro con com- portamento elastico `e quella al disotto del 40% del carico di rottura. Sopra tale limite si presenta una fascia di transizione verso un comportamento non lineare, caratterizzato da un accumulo di deformazioni non reversibili. Segue un’ulterio- re fascia caratterizzata da una crescente probabilit`a d’innesco e propagazione di fessure. Per una migliore caratterizzazione del comportamentodel calcestruzzo in queste ultime fasce occorrerebbe eseguire delle prove basate su cicli di carico e scarico, evidenziando le deformazioni plastiche irreversibili accumulate.

Infine, nella fascia finale di fessurazione, oltre il picco di rottura, solo le prove basate sul concetto dell’energia di frattura sono in grado di fornire una corretta rappresentazione del comportamento del materiale.

Il modulo elastico `e un parametro importante del calcestruzzo, vitale per le ana- lisi strutturali e per la valutazione delle deformazioni nelle dighe in calcestruzzo. Le deformazioni del calcestruzzo che si manifestano immediatamente dopo l’ap- plicazione del carico dipendono dal modulo elastico ”istantaneo”. Lo sviluppo

successivo delle deformazioni, in un arco di tempo caratterizzato da un carico co- stante, invece, `e il risultato degli effetti delle deformazioni viscose o creep. Talvolta, per questioni pratiche, queste ultime sono associate alle deformazioni istantanee, inglobandole in un ”modulo elastico equivalente”, Eeq, in grado di esprimere la de-

formabilit`a in condizioni di carico prolungato. Dal punto di vista sperimentale, il modulo elastico equivalente dovrebbe essere valutato sui campioni di calcestruzzo con la stessa procedura sperimentale utilizzata per il modulo elastico istantaneo, tranne che per il tempo di sperimentazione, che dovrebbe essere di almeno due o pi`u anni. Il modulo elastico equivalente sar`a ulteriormente analizzato nel successivi paragrafo dedicato al creep.