Il modello Coordinate Offset Morpher Displacement

Il successivo modello testato è stato il Coordinate Offset Morpher Displacement, in larga parte simile al modello Incremental Morpher Displacement, ma con più ampia versatilità di utilizzo. Il modello Coordinate Offset conserva il principio della deformazione incrementale time-step per time-step, lavorando quindi ogni volta sulla geometria uscente dal precedente step di simulazione e, sempre in analogia con il modello Incremental, permette la sovrapposizione di un Morpher Rigid Boundary Motion. Queste due caratteristiche (deformazione incrementale e moto rigido imposto) del modello Coordinate Offset sfruttano i medesimi principi già menzionati e spiegati nella sezione dedicata al precedente modello, e verranno quindi dati per assunti in questo capitolo. La fondamentale differenza tra i due modelli, che permette una maggiore versatilità e adattamento al problema di interesse, è la possibilità del Coordinate Offset di lavorare in un sistema di riferimento qualsiasi, anche diverso dal Laboratory Reference System, creato a piacimento dall’utente in qualsiasi sistema di assi cartesiani, cilindrici o sferici, e questa possibilità porta a ripensare quasi completamente le componenti di deformazione teorizzate con il modello precedente. Innanzitutto, vista la geometria assialsimmetrica del problema, appare naturale la scelta fatta di creare un nuovo sistema di riferimento cilindrico centrato nella ruota, con asse Z allineato all’asse Y del sistema cartesiano Laboratory e gli altri assi come in figura.

Figura 34 In figura è presente il nuovo sistema di riferimento cilindrico (“Cilindrico1”) per il morphing della ruota. Il riferimento angolare è preso in modo tale che l’origine (il raggio posto a zero radianti) non sia interessato da alcuna funzione di morphing, per evitare dei possibili problemi da parte del programma nel calcolare il valore locale delle funzioni in punti che venissero a trovarsi in

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Passando quindi agli spostamenti da imporre, ogni deformazione laterale sarà nella direzione del nuovo asse Z cilindrico, in perfetta analogia al modello precedente che le prevedeva sull’asse Y cartesiano, mentre per il problema più spinoso dell’appiattimento del battistrada è stato necessario, alla luce dei problemi riscontrati in precedenza, ripensare da zero l’intero concetto del modello. La via più semplice in questo nuovo sistema di riferimento parrebbe quella di imporre spostamenti lungo la direzione radiale ai punti che vengono a risiedere al di sotto della linea del suolo, per riportarli al livello del terreno, ma questa soluzione incorrerebbe sicuramente nel problema già riscontrato della generazione di celle negative nel giro di pochi time-step, oltre a porre nuovamente necessaria una trattazione quasi identica per i problemi del mantenimento della deformazione. Infatti si riproporrebbe un problema sull’esatta falsariga i quello affrontato nel modello Incremental, con una zona posteriore al contact patch dove è necessario rigenerare la geometria per riallineare la linea dell’appiattimento a quella del suolo, suddivisione del problema tra battistrada e spalle, con strettissima dipendenza dai parametri geometrici della carcassa della gomma.

Dall’analisi approfondita delle problematiche riscontrate in precedenza e alla luce delle potenzialità di poter lavorare in un sistema di riferimento più consono al problema, è stato concepito un approccio completamente diverso al problema dell’appiattimento. Fino ad adesso si era seguita alla lettera l’esigenza, dal punto di vista geometrico, di interessare con le funzioni di morphing tutte e sole regioni di punti che risiedevano al di sotto del livello del suolo, operazione corretta a livello teorico, ma che a livello pratico si risolveva negli errori menzionati per le problematiche che sorgevano allo stadio ulteriore di simulazione. La deformazione in direzione radiale anziché verticale per simulare l’appiattimento della carcassa può invece essere applicata in forma più ampia e maggiormente aderente alla realtà fisica del fenomeno: uno pneumatico in pressione, se premuto al terreno, si deforma comportandosi in maniera elastica e interessando tutta l’ampiezza della spalla dal livello del terreno all’altezza del cerchione. Tramite l’utilizzo delle coordinate cilindriche è possibile selezionare una sezione del cilindro della ruota interessata dalla deformazione, in funzione dell’angolo di apertura dell’impronta a terra, supposta simmetrica rispetto all’asse Z del sistema laboratory cartesiano.

Figura 35 Evidenziata in rosso la regione interessata dalla nuova formulazione della deformazione di appiattimento, simmetrica rispetto al piano Z-Y con semi apertura parametrizzata in funzione dell’angolo di apertura del contact patch θ .

Livello del suolo

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In questa zona è stato concepito un sistema di deformazione radicalmente diverso rispetto al precedente, che interessa tutta l’area, andando a deformare la carcassa fino all’appiattimento voluto ma con gradienti di deformazione molto minori, poiché distribuiti, per ogni raggio dal centro, lungo l’intera spalla e quindi non nella sola piccola regione sottostante il terreno. Il riferimento per la modellazione degli spostamenti è l’entità dello spostamento massimo che un punto all’estremità esterna della spalla deve compiere per portarsi al livello del terreno: questo sarà il massimo di un campo di spostamento lineare e continuo applicato a tutti i punti della carcassa residenti sullo stesso raggio, con valore iniziale zero per il punto adiacente al cerchione, e man mano a salire fino al massimo per il punto maggiormente al di sotto del terreno. Ovviamente questa distribuzione varia in direzione angolare, perché varia la quota negativa di un punto all’estremità della spalla rispetto al terreno, misurata lungo la direzione radiale, e l’intero campo è simmetrico rispetto all’asse Z laboratory cartesiano. Questo modello di deformazione asseconda meglio il comportamento reale di una carcassa di pneumatico: i punti a contatto col cerchione sono i meno soggetti a deformazione e spostamento, che agiscono maggiormente sui punti aderenti al suolo, ma al contempo l’intera struttura della gomma lavora elasticamente nel mantenere la configurazione deformata. Questo nuovo setup va dunque incontro ai problemi di gradienti di spostamento eccessivi e domini di interessamento delle funzioni troppo piccoli, uno conseguenza dell’altro, riscontrati in precedenza, mantenendo ovviamente la possibilità di essere facilmente parametrizzato geometricamente tramite l’angolo di semi apertura del contact patch, modificabile dall’utente.

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Livello del suolo

Sezione A

Sezione B Sezione A

Livello del suolo

Livello del suolo

Raggio ruota Raggio ruota

.

.lineare

Raggio cerchione

Figura 36 Evidenziato in rosso nelle viste schematiche lo spostamento massimo di riferimento per distribuzione

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Figura 37 Visualizzazione, all’interno di Star-CCM+, dell’andamento della funzione di appiattimento della ruota: le zone in blu sono quelle soggette agli spostamenti maggiori, risiedendo, all’inizio della simulazione, alla quota più bassa al di sotto del suolo.

Figura 38 Vista in prospettiva della geometria uscente dall’azione della funzione di appiattimento mostrata nell’immagine precedente. Questa volta, agendo la deformazione su tutta l’ampiezza della spalla, viene modificata anche la forma del profilo

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Come già discusso tra le problematiche riscontrate nel modello Incremental, vi è l’esigenza di far agire le funzioni di deformazione in modo predittivo, cioè, nel caso delle funzioni di appiattimento, non rispetto al piano del suolo, ma bensì rispetto al piano che verrà a trovarsi su quello del suolo, che ad ogni time-step coincide con un piano ruotato di - Ω∙(Time-step) rad attorno all’asse di rotazione della ruota rispetto al piano del terreno. Con il modello Coordinate Offset questo non è più un problema, poiché è sufficiente creare un nuovo sistema di riferimento cilindrico ruotato in modo analogo rispetto a quello allineato con il sistema Laboratory cartesiano creato in precedenza, e su di esso far lavorare le funzioni di morphing.

Si pone adesso il noto problema del trattamento della deformazione dal secondo time-step in poi. La geometria deformata è ruotata ad ogni step di un angolo Ω∙(Time-step) rad e, a parte la modellazione concettualmente diversa, i requisiti geometrici che il modello si trova a dover rispettare sono gli stessi che in precedenza, e medesime sono anche le problematiche: infatti la geometria deformata e ruotata su cui lavorare è esattamente la stessa del modello precedente, tranne ovviamente per il fatto che stavolta è possibile ottenerla in forma corretta, cioè appiattita sul piano del suolo. In questo caso però la differenza concettuale tra i modelli utilizzati, in particolare il ricorso a deformazioni in direzione radiale, ha fornito una semplificazione per la risoluzione del problema del mantenimento. Se si analizza la deformazione da imporre dal secondo time-step, ipotizzando di lavorare sulla geometria uscente dal primo appiattimento e ruotata, proseguendo nella modellazione intrapresa, si possono identificare quattro regioni con comportamento delle deformazioni simmetrico rispetto ad un’asse ruotato della metà del medesimo angolo Ω∙(Time-step) rad.

r

𝑟̃

𝜃̃

𝜃

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Figura 39 Suddivisione della spalla nelle diverse regioni di estensione e compressione

Di queste quattro zone, nelle due in rosso e arancione dovranno agire delle componenti di deformazione radiale a comprimere la carcassa, mentre nelle due zone evidenziate in blu ed azzurro le componenti radiali dovranno invece agire per rilassare la carcassa. La differenziazione ulteriore tra le regioni di compressione ed estensione sta nell’entità delle deformazioni: le due sotto-regioni esterne (le più scure) devono essere deformate tra una condizione di appiattimento al suolo e una di ripristino della forma iniziale, mentre le due sotto-regioni più interne (le più chiare) sono sottoposte a deformazioni intermedie, di estensione o compressione, di minore entità, restando sempre, in quelle aree, lo pneumatico a contatto col terreno. L’entità delle deformazioni da imporre tra le due sotto-regioni corrispondenti è simmetrica, di compressione frontalmente e di estensione posteriormente, in particolare, nelle due sotto-regioni esterne potrebbe essere applicato localmente il campo di deformazione iniziale, inalterato nella sotto-regione frontale, di compressione, e cambiato di segno nella sotto-regione posteriore, per simulare il rilassamento della carcassa che si è staccata dal suolo. Analogamente per le due sotto-regioni interne si può notare che, muovendosi dai punti A e A’ verso B l’entità della deformazione in valore assoluto deve decrescere a zero, ancora di compressione o estensione a seconda dei casi, ma sempre in maniera simmetrica rispetto all’asse di simmetria.

Da queste osservazioni si è giunti all’ideazione del modello di mantenimento della deformazione: se al campo di deformazioni di morphing iniziale se ne sottrae, punto per punto, un altro identico ma ruotato di Ω∙(Time-

step) rad nel verso di rotazione, si può ottenere il campo di deformazioni appena descritto. Avendo già

discusso la posizione, ruotata di - Ω∙(Time-step) rad rispetto alla verticale, quindi in verso contrario alla rotazione della ruota, del dominio delle funzioni di deformazione iniziali, si conclude che il campo ausiliario di deformazione da sottrarre al primo sarà allineato al piano del suolo

Ω∙(Time-step) rad

𝛺 ∙ (𝑇𝑖𝑚𝑒 − 𝑠𝑡𝑒𝑝) 𝑟𝑎𝑑 2

Livello del suolo Regione campita da rigenerare

Zone al di sotto del suolo da riappiattire A

A’ B

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Figura 40 In alto il campo principale e in basso l’ausiliario: essendo rappresentati sulla medesima mesh si può notare che sono leggermente ruotati tra loro rispetto all’origine del riferimento, in particolare l’ausiliario è ruotato, nell’immagine, dell’angolo

Ω∙(Time-step) rad in verso antiorario.

La visualizzazione del campo risultante dalla sottrazione ne evidenzia le caratteristiche, in perfetto accordo con le esigenze geometriche del problema: il massimo del modulo delle deformazioni è in corrispondenza dei punti che al time-step precedente si trovano alle estremità del contact patch, già in contatto col terreno ma non ancora interessati dalla deformazione di appiattimento, e che quindi dovranno subire uno spostamento radiale maggiore per restare sul piano del suolo. Ai lati di questi punti di massimo l’entità della deformazione decresce in valore assoluto a zero. Questo modello di deformazione da appiattimento ha dimostrato di dare risultati eccellenti, senza incorrere in alcuna delle problematiche riscontrate con il test precedente e la geometria richiesta è stata perfettamente simulata. Di nuovo, si è testato il modello di morphing con ruota non a contatto col suolo e inclusa in una regione di overset, con diversi raffinamenti della mesh.

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Figura 41 Visualizzazione della funzione differenza tra i campi di appiattimento principale e ausiliario, le zone con deformazione assegnata negativa sono soggette a compressione dello pneumatico, mentre quelle soggette a deformazione con valore positivo

sono di rilassamento della carcassa.

Si deve aggiungere, per completezza, che l’idea di estendere le deformazioni in modo lineare a tutta l’ampiezza della spalla, e di modellare il mantenimento della deformazione con un sistema ausiliario di morphing, può essere applicata in linea teorica anche attraverso il modello Incremental in coordinate cartesiane, ma la complicazione analitica nella programmazione risulterebbe enorme, per la proiezione punto per punto delle deformazioni radiali in componenti Z e Y. Infatti, non si può pensare semplicemente di correggere il modello precedente applicando il concetto di linearità, dal cerchione all’estremità della spalla, con degli spostamenti solo in direzione Z come provato precedentemente.

La ragione è che, volendo far agire le deformazioni solo lungo l’asse Z, e disegnando quindi delle linee verticali sull’area del contact patch (immagine seguente) dal cerchione al battistrada lungo le quali far variare linearmente le deformazioni, in analogia a quanto discusso, se costruiamo un campo simile in un’area sfalsata dell’angolo Ω∙(Time-step) rad, otteniamo un altro campo che non è uguale al primo, e il principio del campo ausiliario da sottrarre non può valere, perché le deformazioni, linea per linea, variano tra loro su lunghezze diverse, a differenza del modello funzionante che distribuisce gli sforzi su una distanza radiale pari all’altezza della spalla, costante nella assialsimmetria del problema. Ma dato che anche il campo principale per costruzione non rispetta questa condizione, il modello può lavorare soltanto in direzione radiale, e quindi appare del tutto inutile e controproducente modellare le deformazioni in coordinate cartesiane quando il setup potrebbe funzionare ottimamente in cilindriche.

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Figura 42 Rappresentazione schematica e semplificata delle direzioni di variazione lineare delle deformazioni se queste fossero applicate in direzione Z verticale anziché radiale. Due campi, uno principale e uno ausiliario ruotato, sono schematizzati con serie di

linee in rosso e in verde. Per banali motivazioni geometriche, ogni segmento nel disegno è di lunghezza diversa, in ognuno dei due set di colori diversi, quindi il principio teorizzato e funzionante in coordinate cilindriche in direzione radiale non sarebbe attuabile

con successo nella sola direzione Z verticale.

Una volta isolata una metodologia efficace per la componente di deformazione da appiattimento, si è applicato lo stesso concetto alla deformazione laterale della spalla. Nel caso dell’appiattimento, la geometria deformata obiettivo da raggiungere e mantenere è chiara e delimitata dal piano del suolo, quindi si è fatto in modo che le funzioni di morphing programmate assolvessero tale compito. Nel caso della deformata laterale, si deve sviluppare una forma analitica parametrica per il campo di spostamento che dia luogo ad una geometria il più possibile simile, nella forma, alla deformata laterale di una ruota reale. Dall’osservazione della forma di una carcassa di pneumatico pressata al terreno, si è passati all’ipotizzare e valutare delle possibili formulazioni analitiche, per selezionarne una che coniugasse le esigenze di accuratezza nel riprodurre la deformata, applicabilità nel modello corrente e, possibilmente, relativa semplicità di parametrizzazione e implementazione. Dall’analisi delle deformate reali, osservando frontalmente e superiormente la deformata di uno pneumatico, la scelta fatta è ricaduta su delle funzioni sinusoidali opportunamente manipolate, combinate in direzione radiale e tangenziale lungo una sezione circolare in apertura della spalla, simmetrica rispetto al piano Y-Z cartesiano, come nel caso delle deformazioni da appiattimento.

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Questa è quindi la funzione base su cui si poggia il sistema di deformazione laterale: una funzione sinusoidale traslata di π/2 in direzione positiva delle x e di 1 in direzione positiva delle y. Questa semplice espressione analitica ha anche un’altra caratteristica che la rende adatta, opportunamente scalata, a definire un campo di spostamenti, cioè il fatto che la funzione abbia derivata nulla sia in 0 che in 2π. Questa caratteristica fa sì che alle superfici a cui viene sommato un campo di deformazioni basato su questa funzione, o un prodotto di funzioni della stessa forma, vengano imposti degli spostamenti che produrranno delle superfici deformate senza discontinuità geometriche. Se questa caratteristica non sussistesse, l’area interessata da deformazioni di una superficie e l’area indeformata adiacente non sarebbero raccordate, ed esisterebbe quindi una linea di confine tra le due in cui la superficie risultante non sarebbe derivabile, e questo, oltre che poter potenzialmente creare dei problemi di simulazione, produrrebbe una geometria deformata meno vicina a quella realistica.

Per ottenere quindi il campo di deformazione laterale delle spalle della carcassa, si combinano in tre dimensioni due set di funzioni della forma appena descritta, in direzione radiale e tangenziale lungo una sezione circolare della spalla simmetrica rispetto al piano Y-Z.

Figura 43 Rappresentazione schematica della combinazione delle funzioni base lungo la direzione radiale e tangenziale per far nascere la deformazione desiderata, qui rappresentata non in scala.

1 2∙ (sin(𝑥 − 𝜋 2)) + 1) 0 2π 1

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Per rendere l’applicazione del setup di morphing adattabile e parametrizzabile, per eventuali diverse esigenze legate a differenti geometrie di pneumatici, è opportuno che siano stabiliti dei parametri, modificabili dall’utente, che vadano a intervenire su forma ed entità della deformazione. Il primo di questi parametri è l’angolo di semi apertura del dominio di applicazione della deformazione laterale, che a priori può essere diverso da quello già parametrizzato per la semi apertura del contact patch; il secondo set di parametri sono la coordinata radiale di inizio e fine dell’area soggetta a deformazione, che può essere definita diversa da quella del cerchione e dell’estremità della spalla, per avere la zona a massima deformazione laterale più o meno distante dal suolo, poiché diverse carcasse simulate possono avere diverse caratteristiche fisiche di deformabilità dovuta al tipo particolare di costruzione. Il parametro principale di modifica è però quello che scala direttamente, in millimetri, l’entità dell’imbozzamento nel punto in cui questo è massimo lungo la spalla, ovvero al centro della distribuzione, nel piano di simmetria, ancora una volta per venire incontro a esigenze di diversa deformabilità riscontrabili tra le variegate tipologie di pneumatici simulabili. Tramite la modifica di questi soli tre parametri la deformazione della spalla può essere customizzata a seconda delle esigenze, lasciando a questo modello l’unico limite di aver utilizzato delle funzioni sinusoidali, che a priori, in un’analisi estremamente dettagliata, potrebbero essere giudicate non sufficientemente calzanti per la simulazione di una deformata particolare, ma, come sarà puntualizzato successivamente, anche questo limite è superabile a determinate condizioni.

Figura 44 Rappresentazione schematica del dominio di applicazione della funzione di deformazione laterale della spalla. L’area è parametrizzata tramite i valori denominati R-start e R-end che delimitano l’intervallo radiale in cui avviene la deformazione, mentre

in apertura l’angolo δ ne definisce l’ampiezza. Questi tre parametri, assieme ad un quarto che scala l’entità massima della deformazione verso l’esterno, sono definibili dall’utente.

R-start _R-end

δ

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Figura 45 Visualizzazione, all’interno di Star-CCM+, dell’andamento del modulo della funzione di deformazione laterale della spalla: la combinazione radiale e tangenziale di due set di funzioni sinusoidali produce la forma desiderata.

Per completare la modellazione della deformazione laterale della spalla dello pneumatico, va trattata anche la fase successiva a quella di deformazione iniziale, il mantenimento. Dato il successo del concetto espresso precedentemente, per il mantenimento della deformazione da appiattimento, il medesimo modello è stato applicato anche alla componente laterale. Da osservazioni precedenti, il dominio di applicazione della deformazione, al primo time-step di simulazione, non è quello simmetrico rispetto al sistema di riferimento cilindrico principale, ma è ruotato in direzione opposta alla rotazione della ruota dell’ormai noto angolo di

Ω∙(Time-step) rad, per far sì che le funzioni vadano ad agire in maniera predittiva sull’area che dovrà trovarsi

deformata dopo la rotazione imposta nel time-step. Successivamente, utilizzando il modello del campo ausiliario da sottrarre al principale, si opera, dal secondo time-step di simulazione in poi, applicando alla spalla un campo di deformazione che è la differenza tra quello appena descritto, non simmetrico rispetto al