Il modello Incremental Morpher Displacement

Il primo modello testato è stato l’Incremental Morpher Displacement: questo modello, il più semplice dei modelli di Morphing adatti a simulazioni non stazionarie con deformazioni di interesse, agisce solo nel sistema di riferimento “Laboratory”, ovvero quello principale cartesiano della ruota (rispetto al quale avviene la misurazione delle forze) e fornisce degli spostamenti incrementali di time-step in time-step durante la simulazione, andando a modificare la geometria ogni volta basandosi su quella uscente dal precedente time- step.

Target_coordinate = Current_coordinate + Incremental_displacement

Il modello Incremental Morpher Displacement permette di imporre ad ogni boundary della regione un moto rigido (Morpher Rigid Boundary Motion), in questo caso la rotazione della ruota, che mette in movimento attorno all’asse prescelto la mesh e i boundaries della regione di overset. In questo modo si simula la rotazione, mentre le funzioni di Morphing si occuperanno della deformazione.

Come già detto in precedenza, il modello Incremental lavora solo nel sistema di riferimento laboratory: questo implica che, per come è stato scelto il sistema di assi, le deformazioni laterali di spalla e battistrada avverranno lungo l’asse Y, in versi ovviamente discordi sui due lati opposti della ruota. Automaticamente l’appiattimento a terra dello pneumatico avverrà lungo la direzione Z positiva e dalla somma quindi degli spostamenti in Z e Y, ancora da determinare e modellare, la geometria iniziale della ruota può così essere portata a quella deformata. Per questo modello l’approccio scelto è stato infatti quello di partire dalla geometria iniziale della ruota, per portarla a deformazione e a mantenimento della stessa durante la simulazione, in modo da coinvolgere, almeno nella fase di sperimentazione dei modelli, le sole potenzialità delle metodologie di morphing di Star-CCM+ senza ricorrere a programmi esterni di simulazione agli elementi finiti, e verificare quindi la possibilità di isolare nel dettaglio una metodologia di simulazione il più semplice e accurata possibile nel contesto di Star-CCM+.

Figura 25 La coordinata target di ogni punto interessato è ottenuta dalla somma dello spostamento incrementale e della posizione corrente del punto.

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Sempre da un punto di vista qualitativo si evidenzia una differenza fondamentale nella modellazione delle componenti di deformazione: le componenti che agiscono lateralmente, nell’imbozzamento della spalla e allargamento dell’impronta a terra, restano sempre parallele all’asse Y poiché l’asse Y è anche di rotazione, e la superficie delle spalle è assialsimmetrica rispetto ad esso. Di conseguenza il campo di deformazione necessario per far nascere e morire, lungo la rotazione, una qualsivoglia forma di imbozzamento è sempre direzionato lungo Y o -Y, a seconda della spalla considerata.

Figura 27 Visualizzazione, all’interno di Star-CCM+, del modulo della funzione di appiattimento in direzione Z della carcassa. Figura 26 Visualizzazione, con in evidenza il sistema di riferimento principale cartesiano, delle direzioni delle componenti di

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Figura 28 Vista in proiezione della geometria deformata uscente dal primo time-step di simulazione, dopo essere stata sottoposta all’azione della sola funzione di morphing da appiattimento.

Figura 29 Vista in prospettiva della medesima geometria dell’immagine precedente. Si nota come l’azione del morphing sia ristretta alla zona della ruota risiedente al di sotto del suolo, la curvatura della spalla non viene infatti modificata, ma solamente troncata

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La considerazione è ben diversa per quanto riguarda la componente di deformazione legata all’appiattimento della carcassa: per passare alla configurazione appiattita partendo da quella indeformata, è immediato pensare di applicare uno spostamento in direzione normale al terreno (asse Z positivo) ai punti che risiederebbero al di sotto di esso per portarli al livello del suolo, e questo può essere sufficiente nel primo time-step di simulazione. Da questo momento in poi, quando la rotazione viene applicata, il modello di Morphing incrementale agisce non sulla geometria iniziale, ma su quella corrente, su cui aveva già agito al time-step precedente, motivo per cui si deve considerare quel che succede ruotando la geometria, per semplicità considerandola sottoposta al solo appiattimento, lungo Y dell’angolo coperto dalla ruota in un time-step, ovvero una quantità Ω∙(Time-step) rad. Si nota facilmente che per portare questa nuova configurazione geometrica a quella voluta, cioè la linea dell’appiattimento coincidente con quella del suolo e, soprattutto, ripristinare dove necessario la geometria indeformata, non è immediato.

Figura 30 Vista di una sezione della geometria deformata per appiattimento e ruotata di Ω∙(Time-step) rad rispetto all’asse di rotazione: sono campite in modo differenziato le regioni di interesse per lo sviluppo delle funzioni di morphing di mantenimento

della geometria appiattita.

Mentre per la porzione di ruota che verrebbe a trovarsi al di sotto del terreno si può riapplicare il principio iniziale, cioè deformare lungo Z tutta la sezione che deve tornare al livello del suolo, per la zona posteriore il problema è più complesso: una sezione di ruota deve essere ripristinata fino al terreno, un’altra, posteriormente adiacente, deve ripristinarsi nella geometria indeformata. Il principale limite è che il modello di Incremental Morpher Displacement agisce con spostamenti nel solo sistema di riferimento laboratory, che, seppur centrato nella ruota, è cartesiano, quindi la formulazione delle funzioni di deformazione e mantenimento deve essere programmata nelle sole coordinate X-Y-Z. In questo caso si è proceduto suddividendo il problema tra i vari boundaries di battistrada, spalla destra e spalla sinistra, rispetto alla direzione del flusso asintotico, cioè X. Questo è apparso come il problema principale da affrontare, ed è stato considerato decisivo per verificare l’applicabilità di questo modello di morphing, tralasciando per il momento la deformabilità laterale delle spalle e del contact patch.

Il battistrada isolato, analizzando la zona più problematica posteriore, per mantenere la deformazione stazionaria, deve essere deformato in due regioni differenti: una più interna dove si riporta al livello del suolo, e una più esterna posteriore, da cui si deve rigenerare una porzione di ruota indeformata, quindi in sostanza

Livello del suolo

Ω

Ω∙(Time-step)

Zona da sottoporre nuovamente ad appiattimento, sotto al livello del suolo

Parte della ruota che deve essere ricreata

Z X

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il battistrada appiattito deve tornare localmente curvo. Da un analisi geometrica approfondita del problema è possibile ricavare delle espressioni analitiche, dipendenti dal time-step di simulazione, che possano essere utilizzate per fornire delle componenti in X e Z nelle due regioni in cui è richiesto un comportamento differenziato.

Figura 31 Schema di dettaglio, dalla medesima sezione dell’immagine precedente, della suddivisione del problema della rigenerazione della geometria nella parte posteriore della ruota: in blu la sezione della regione mancante che deve tornare a contatto col suolo e in rosso la sezione in cui deve essere ripristinata la geometria rotonda della carcassa, non più a contatto col terreno. L’immagine non è in scala, i volumi trattati time-step per time-step sono molto piccoli, e le imprecisioni di interpolazione nelle rese grafiche di Star-CCM+ avrebbero portato ad una rappresentazione più difficilmente comprensibile dello schema proposto.

Per i boundaries delle spalle sorge immediatamente un problema: la porzione posteriore di spalla che dovrebbe rigenerarsi non può essere ottenuta in modo analitico con funzioni dipendenti dai soli parametri di simulazione, poichè gli spostamenti dipendono strettamente dalla geometria particolare della spalla, che a priori può non essere nota in forma analitica. Anche se si riuscisse ad ottenere una formulazione matematica della spalla, ricavarne un’espressione parametrica utilizzabile per le componenti di spostamento locale porterebbe a formulazioni di complessità decisamente eccessiva per il compito, relativamente marginale, che dovrebbero assolvere nella simulazione: si tratta di pochi millimetri di spalla e battistrada da trattare ad ogni time-step. Tuttavia un errore in questa fase porterebbe a storpiature evidenti nella geometria della ruota man mano che compie rotazioni complete, poiché gli errori si sommerebbero l’uno all’altro amplificandosi e raggiungendo ben presto l’ordine di grandezza di qualche millimetro nella fascia terminale della spalla, che a seconda della finezza della geometria simulata, può non essere affatto trascurabile. L’aspetto che ha creato le maggiori perplessità è stato il fatto che questo tipo di formulazione sia troppo strettamente dipendente dalla geometria particolare del problema, restando comunque applicabile in linea teorica, seppur forse eccessivamente complesso, tenendo conto dell’entità delle problematiche da affrontare persino su un modello geometrico di ruota semplificato già in partenza. Si è optato per verificare a fondo l’applicabilità di questo approccio alla deformazione della ruota, semplificando ulteriormente la geometria, e riservandosi di scartare l’utilizzo del modello Incremental Morpher Displacement qualora i risultati non fossero soddisfacenti.

Ω

Livello del suolo Parte della ruota che

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Figura 32 In figura è rappresentato, in prospettiva, il volume che deve essere rigenerato posteriormente alla ruota, dopo che la rotazione è stata applicata alla geometria appiattita dalle funzioni di morphing del primo time-step. Nella vista prospettica è campita la faccia che si trova al livello del suolo, ma è di interesse la superficie laterale della spalla che viene a mancare: si intuisce che per la sua forma convessa sia necessario avere a disposizione dei parametri geometrici particolari per programmare il setup di

morphing affinché sia in grado di rigenerare questa geometria con margini di errore sufficientemente bassi.

Come spiegato, i problemi maggiori risiedono nella dipendenza delle funzioni di deformazione dalla geometria esatta della spalla, la cui sezione, nel modello di partenza, è delimitata da una spline che termina a formare un angolo vivo con il battistrada piatto. Già quest’ultimo aspetto di per sé può costituire una semplificazione della geometria di uno pneumatico reale, quindi la semplificazione ulteriore fatta porta la geometria di prova a discostarsi ancora maggiormente dalla realtà, e il test seguente è stato considerato soltanto come verifica dell’applicabilità del lavoro svolto in un caso molto particolare. La semplificazione della geometria consiste nel considerare la parte terminale della spalla, nei pressi del congiungimento con il battistrada, come retta, in modo tale da ricavare in modo molto più semplice le espressioni analitiche delle componenti di spostamento X e Z necessarie per il mantenimento della deformazione nella zona posteriore del contact patch. In questo modo la porzione tridimensionale di spalla che deve essere ripristinata assumerà un profilo piano, descrivibile tramite la manipolazione e la proiezione della pendenza del segmento di retta che forma localmente il profilo terminale della spalla.

Z X Sezione di spalla che

deve rigenerarsi

Battistrada da rigenerarsi in configurazione indeformata

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Figura 33 In figura la sezione del solo pneumatico senza cerchione, in evidenza le semplificazioni operate alla geometria della spalla, con la configurazione originaria che è stata modificata nella parte terminale introducendo una geometria rettilinea fino al

battistrada

Una prova di questo setup è stata condotta ponendo la ruota in rotazione in assenza di terreno, inclusa in una regione cilindrica di overset, applicando l’appiattimento semplice al primo time-step alla porzione di ruota inferiore a quello che sarebbe stato il livello del suolo, e dal successivo time-step l’approccio diversificato appena discusso tra zona anteriore e posteriore del contact patch, per il mantenimento della deformazione, e tra i boundaries di spalle e battistrada. Il setup di morphing è stato programmato in forma interamente parametrica rispetto all’angolo di semi apertura del contact patch, unica quantità necessaria a definire il problema, adattabile dall’utente alle diverse esigenze richieste da differenti tipologie di pneumatici simulati. Sono stati testati vari raffinamenti di mesh cubica dai 5mm a 1mm nella regione di overset e in nessun caso si è riusciti a risolvere problemi legati a celle di volumi nulli o negativi che venivano a crearsi dopo pochissimi time-step. La ragione di questi problemi è sembrata essere legata al funzionamento del modello in sé nella fase di mantenimento della deformazione, con la creazione di set di celle di qualità sempre più bassa nelle zone interessate dalle funzioni di morphing.

Una limitazione evidente è parsa essere quella che il modello di deformazione si trovasse ad agire ripetutamente sulle stesse celle, fino a causarne deformazioni tali da raggiungere qualità di mesh talmente basse da provocare errori nella simulazione. Inoltre, è stata osservata un’imprecisione nella geometria deformata uscente dalle sperimentazioni: durante i pochi time-step di funzionamento, già dall’applicazione della deformazione iniziale, si è osservato che la carcassa si appiattiva non parallelamente a quello che sarebbe dovuto essere il piano del terreno, ma bensì lungo un piano diverso, ruotato rispetto all’asse di rotazione di Ω∙(Time-step) rad nel verso di rotazione, per poi mantenersi tale fino all’insorgere dei problemi sopracitati e quindi il termine della simulazione. Questo fenomeno si è rivelato essere legato agli algoritmi interni di Star-CCM+, in particolare all’ordine in cui il programma esegue le operazioni di morphing e rotazione rigida delle regioni, all’inizio di ogni time-step: tramite alcune semplici prove comparative, si è capito che Star-CCM+ applica sempre il morphing prima della rotazione rigida, quindi se la funzione di appiattimento iniziale è programmata per agire rispetto al piano del suolo, questa viene eseguita e poi solo

Geometria originaria

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successivamente la geometria viene ruotata di Ω∙(Time-step) rad, così il risultato ottenuto è sì la geometria deformata, ma ruotata rispetto al piano di riferimento voluto.

Questa osservazione cambia il modo in cui debbano essere programmate le funzioni di morphing in questo problema, ovvero non devono agire nel dominio in cui è necessario che la deformazione si manifesti, ma devono invece essere predittive, cioè agire nel dominio che verrà a trovarsi, dopo l’applicazione della rotazione, nell’area che si desidera appaia deformata. Ciò implica che le funzioni di morphing debbano lavorare in un sistema di riferimento ruotato di un angolo di -Ω∙(Time-step) rad rispetto alla verticale, in un sistema quindi diverso dal laboratory, di riferimento per la geometria e la rilevazione dei coefficienti di forza sulla ruota. Con il modello Incremental Morpher Displacement questo non è attuabile nella forma appena trattata, a meno di accettare pesanti complicazioni nella formulazione analitica del problema. Un ulteriore approfondimento di questa problematica legata al modello Incremental sarà svolto nella sottosezione dedicata a questo stesso tema nella sezione del modello di morphing seguente. In conseguenza delle problematiche riscontrate nei test condotti nel caso dell’analisi della sola componente di appiattimento al suolo della ruota, si sono presentati quindi a livello applicativo dei limiti importanti:

- la possibilità di lavorare in sole componenti cartesiane per un corpo assialsimmetrico come una ruota porta a complicazioni eccessive nella ideazione e programmazione delle componenti di spostamento, oltre a difficoltà nell’ottenere una corretta geometria deformata dello pneumatico

- il modello deve lavorare in modo più omogeneo sulla ruota, con gradienti di spostamento imposti minori, per evitare l’insorgere di distorsioni di mesh eccessive che portino a decrementi di qualità locale delle celle tali da provocare l’interruzione della simulazione

- il modello, per essere di valenza generale, deve essere il più possibile indipendente dalla geometria particolare del problema

Il problema della qualità della mesh sarebbe risolvibile programmando un remesh locale prima che le distorsioni delle celle diventino eccessive: data però la velocità con cui degenera la qualità delle celle interessate da questo modello (meno di 10 time-step) si è ritenuto troppo gravoso per i tempi e praticità di simulazione prevedere dei cicli di remesh così ravvicinati. Per ovviare in maniera immediata già alla prima limitazione delle precedenti elencate, si è passati a testare un secondo modello di morphing trattato nella sezione seguente, e, come sarà esposto, l’analisi delle problematiche riscontrate con questa prima formulazione ha portato ad una soluzione radicalmente differente.

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