Simulazione del contatto al suolo
5.2 Simulazione indiretta della presenza del suolo
È presente in letteratura una soluzione alternativa per la modellazione del suolo in questo problema
(“Numerical analysis of the Wake Structures produced by a Rotating Wheel with Detail Tread” F.Ross, S.Herrmann, J.Ross), che prevede una simulazione indiretta degli effetti della presenza del terreno,
modificando la geometria del dominio e inserendo nel setup dei nuovi elementi, delle sorgenti localizzate di forza. L’idea è quella di creare una tasca al di sotto della ruota, nella quale definire un sistema di sorgenti di forza che, in ogni punto del suo volume, simulino l’effetto della presenza del terreno agendo localmente sul flusso. L’articolo non fornisce alcun dettaglio sulla costruzione della tasca e l’implementazione delle sorgenti, di conseguenza il lavoro svolto e qui descritto è da ritenersi ispirato ma in nessun modo guidato da informazioni reperibili in letteratura: da qui il percorso di sviluppo completo da zero del metodo trattato in seguito.
Il ruolo delle sorgenti è quello di forzare il flusso presente nella tasca ad assumere la conformazione del flusso indisturbato a monte, ovvero scorrere uniformemente alla velocità presente all’inlet, evitando la formazione di qualunque zona vorticosa. In questo modo il flusso che scorre sopra al livello del terreno, non soggetto alla sorgente, si comporterà come se si trovasse realmente a contatto con il suolo, avendo sotto di sé, all’interno della tasca, una massa di flusso in movimento uniforme con velocità asintotica. Ovviamente questa condizione verrà raggiunta dopo un transitorio, in cui verosimilmente si vedrà il formarsi di un regime via via sempre più vicino a quello desiderato all’interno del volume della tasca. Il buon funzionamento di questo
63
modello dovrà essere testimoniato dall’uniformità assoluta dei campi di velocità e pressione all’interno della tasca, e dall’assenza di qualsiasi formazione vorticosa che possa originarsi dall’interfaccia tra tasca e esterno verso la scia a valle della ruota. Inoltre, nella zona di contatto tra flusso interno alla tasca ed esterno, non vi dovranno essere dei gradienti di velocità che possano originare vorticità, poiché il modello deve simulare il terreno in movimento relativo rispetto alla ruota con la stessa velocità del flusso asintotico, quindi, ovviamente, non deve essere presente alcuna forma di strato limite sul suolo a monte della ruota, ipotizzando condizioni di ara ferma. Queste sono le condizioni principali che il modello deve soddisfare per poter essere considerato valido.
Figura 69 Vista in proiezione della tasca ricavata inferiormente alla ruota dove definire le sorgenti di forza per simulare localmente la presenza del suolo.
Passando al setup vero e proprio del sistema di sorgenti, Star-CCM+ mette a disposizione un modello che si coniuga perfettamente con le esigenze del problema. È possibile infatti la definizione di diverse tipologie di sorgenti all’interno di una regione, sorgenti di massa (Mass Sources), forza (Momentum Sources) e turbolenza (Turbolence Sources). Per il caso di interesse ovviamente si è preso in considerazione il modello specifico di sorgente di forza ed il suo funzionamento. Le esigenze generali di simulazione che deve soddisfare il modello sono già state menzionate, si scende adesso più nel dettaglio nella modellazione delle componenti della sorgente da implementare.
Si lavora in un sistema di riferimento principale cartesiano, con il flusso asintotico orientato lungo la direzione X positiva, e anche al piano del suolo è ovviamente imposta la medesima velocità tangenziale, relativa alla ruota. L’obiettivo è quello di ottenere all’interno della tasca un flusso praticamente laminare, uniforme alla velocità del flusso asintotico e di simulare il comportamento del terreno. Quest’ultima richiesta si traduce nell’esigenza che, all’interfaccia tra la tasca e la regione esterna ad essa, ogni componente di velocità diretta tangenzialmente (Y) o perpendicolarmente (Z) al piano ideale del suolo, debba essere annichilita, e che la sola componente permessa diversa da zero sia quella parallela al flusso asintotico (X), e che questa, per di più, sia forzata a mantenere il medesimo valore della velocità all’inlet. Queste tre condizioni sulle componenti
64
della velocità da imporre, come devono valere all’interfaccia esterna della tasca, devono essere imposte anche al suo interno. In conclusione la tasca e ciò che è esterno ad essa non devono avere alcuno scambio di flusso, all’interfaccia esterna il flusso deve comportarsi come se stesse scorrendo lungo una parete in movimento alla medesima velocità asintotica, quindi in assenza di strato limite, e, poiché si parla di una parete con attrito, devono valere le condizioni di non penetrazione e non scorrimento.
Figura 70 Visualizzazione della ruota e della tasca isolate, con in bianco l’area dell’interfaccia tra la tasca e l’esterno. All’inizio della simulazione la ruota è indeformata e si trova parzialmente al di sotto del terreno, ma questo non crea problemi al modello, non
essendo fisicamente presente il suolo sotto alla ruota.
Il modello di Momentum Sources richiede in entrata, per il suo funzionamento, due grandezze definite dall’utente. La prima è la Momentum Source Magnitude, ovvero, per il problema di interesse, la definizione diretta del valore assunto dalle componenti della sorgente in ogni punto della tasca. Dalle osservazioni precedenti si è concluso che le componenti Y e Z della sorgente dovranno essere tese all’annichilire qualsiasi componente della velocità diversa da zero in queste direzioni, mentre la componente X dovrà essere elaborata diversamente: dovrà infatti essere adattiva al diverso valore della componente X della velocità locale per portarla al valore asintotico, dovendo poter quindi agire per modificare, all’occorrenza aumentando o diminuendo, la componente X locale della velocità del flusso. La seconda grandezza utile a Star-CCM+ per definire completamente la sorgente di forza è la “Momentum Source Velocity Derivative”, ovvero la derivata dell’espressione della sorgente definita precedentemente fatta rispetto alla velocità.
65
La modellazione più immediata è quella analoga all’azione di una parete con attrito su di una particella fluida, che si trovi a dirigersi contro di essa fino al contatto: vi è uno scambio di forze di massa, modellabili tramite il noto secondo principio della dinamica di Newton:
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗
Ai fini del problema, come nelle equazioni di Navier-Stokes, ci si riferisce a forze per unità di volume:
𝐹⃗ = 𝑚 ∙ 𝑎⃗ = 𝜌 ∙ 𝑉 ∙ 𝑎⃗ → 𝑓⃗ = 𝜌 ∙ 𝑎⃗
Tenendo conto che ci si trova ad operare in un contesto non stazionario, in cui la simulazione procede per discretizzazione temporale in time-step, il termine di accelerazione, per mantenere la coerenza dimensionale, è stato così modellato:
𝑓⃗ = 𝜌 ∙ 𝑎⃗ = 𝜌 ∙ 𝑣⃗(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝
Con questa scrittura diventa esplicita la dipendenza dal time-step e dalla velocità, ma si deve ulteriormente modificare per adattarsi alle esigenze del problema e delle diverse componenti della sorgente che andrà a definire. In particolare, per quanto riguarda le componenti Y e Z di velocità, da annichilire, sarà opportuno che il contributo della sorgente sia sempre negativo, in modo da opporsi alla nascita di una qualunque componente di velocità in queste direzioni, di conseguenza:
{ 𝑓𝑦= − 𝜌 ∙ 𝑣𝑦 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝 𝑓𝑧 = − 𝜌 ∙ 𝑣𝑧 𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝
Per quanto riguarda la componente X della sorgente, come detto, dovrà adattarsi al modulo locale della componente X della velocità, che dovrà essere quindi costantemente comparata al valore desiderato, cioè il valore asintotico, e ad esso riportata in caso sia localmente diversa, sia che abbia valore maggiore, sia minore. La componente X della sorgente è stata quindi così definita:
𝑓𝑥= − 𝜌 ∙
(𝑣𝑥− 𝑣∞)
𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝
Per quanto riguarda la seconda grandezza da stabilire, ovvero la derivata rispetto alla velocità di queste tre componenti, sono sorti dei dubbi legati alla sua definizione fornita dal manuale di Star-CCM+ : nelle
66
primissime prove condotte con setup semplificato, che sarà esposto successivamente, si è osservata una difficoltà da parte del modello nel giungere a convergenza. Confrontandosi con un supporto tecnico si è concluso che l’esigenza del modello di sorgente di Star-CCM+ è quella di ricevere in entrata la derivata rispetto alla velocità in valore assoluto. Infatti, nel caso particolare, attenendosi alla definizione fornita direttamente dalla guida del programma, derivando le tre componenti della sorgente rispetto alla velocità si otterrebbero tre quantità negative, che alteravano evidentemente la funzionalità del modello, ritardandone se non impedendone la convergenza. La forma corretta, dunque, da definire all’interno del campo preposto alla derivata rispetto alla velocità della sorgente, è la seguente:
{
𝐷𝑥 = 𝜌⁄𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝
𝐷𝑦= 𝜌⁄𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝
𝐷𝑧= 𝜌⁄𝑡𝑖𝑚𝑒 𝑠𝑡𝑒𝑝
Ovvero tre quantità uguali e inversamente proporzionali al time-step, essendo la 𝑣∞ all’interno della
definizione della componente X una costante.
Come anticipato, è tramite un modello estremamente semplificato che è stato facilmente possibile testare una forma funzionante della sorgente di forza. Le prove sono state condotte in un dominio della forma di un canale, le cui pareti avevano condizione di velocità tangenziale congruente con quella del flusso asintotico, e una tasca presente su di una faccia laterale del canale, che fungeva da dominio per l’applicazione delle sorgenti di forza e sulle cui pareti era presente una condizione di libero scorrimento. La ruota è stata, in questo contesto, eliminata, per concentrarsi sulla funzionalità del modello delle sorgenti. Con questo setup di simulazione semplificato all’osso, si è giunti a veloce convergenza dopo aver superato le suddette difficoltà legate alla definizione di alcune quantità.
67
Figura 71 Visualizzazione in sezione di un segmento centrale del canale di prova contenente la tasca. La velocità di prova è stata impostata a 1 m/s. Anche dopo 50 time-step sono evidenti delle indesiderate formazioni vorticose nella tasca.
I risultati ottenuti non sono stati del tutto soddisfacenti: benché le condizioni richieste all’interno della tasca si andassero effettivamente verificando, in alcune zone sono stati osservati dei fenomeni non desiderati ai fini della corretta simulazione del problema. In particolare, al bordo anteriore e posteriore della tasca, all’angolo retto tra questa e il piano del suolo, all’avviamento della simulazione venivano a formarsi dei vortici, fisiologici data la presenza della tasca e la fase transitoria in cui ci si trova, che sussistevano per molte decine di time-step prima di dissiparsi. Nel medesimo intervallo di time-step dall’avviamento della simulazione, è stato poi osservato un comportamento instabile del flusso all’interno della tasca, con la formazione di zone di ricircolo in corrispondenza degli spigoli inferiori, anteriore e posteriore, aventi comportamento oscillatorio di espansione e contrazione, talvolta interferendo nella zona di interfaccia tra la tasca e l’esterno. Le condizioni di flusso riuscivano poi a raggiungere la stabilità, ma dopo aver transitato in questa conformazione instabile per diverse decine di time-step. Il problema creato da tutte queste formazioni vorticose e aree di ricircolo osservate è che, per tutto il periodo in cui sussistono nel campo, vanno ad interagire e ad influenzare il flusso esterno alla tasca, effetto assolutamente non voluto, dato che lo scopo del modello è rendere impercepibile la presenza della tasca al flusso esterno.
68
Figura 72 Sezione operata alla metà della tasca in direzione trasversale. Evidente la regione di accelerazione del flusso al di sopra della tasca stessa e la formazione vorticosa a bassa velocità all’interfaccia tra le tasca e l’esterno.
Alla luce del fatto che, nonostante i lunghi transitori, le condizioni desiderate nella tasca riuscivano comunque a verificarsi e stabilizzarsi come richiesto, si è agito, per limitare gli effetti negativi di questo ultimo modello testato, non sulle formulazioni delle sorgenti ma sul setup stesso della simulazione. La vorticità tra i bordi della tasca e il suolo viene a formarsi per il gradiente di velocità presente tra il dominio esterno e la tasca stessa, all’avviamento della simulazione. In questa fase, infatti il flusso al di sopra del suolo, oltre al suolo stesso, è avviato alla velocità desiderata per la simulazione, mentre, localmente nella tasca, il flusso resta alle condizioni iniziali finché l’azione combinata di sorgenti e penetrazione di flusso dall’esterno non va ad uniformare il campo alla velocità asintotica. In questo senso la soluzione parrebbe quella di assegnare alla velocità in tutto il campo, come condizione iniziale, il valore di prova, così si potrebbe fortemente limitare la formazione dei vortici ai due bordi superiori della tasca. Questo però non andrebbe ad influire sul problema della formazione delle zone di ricircolo ai bordi inferiori della tasca: queste infatti si formano nel transitorio quando le sorgenti tendono ad indirizzare il flusso contro la parete posteriore della tasca, quindi è automatico il formarsi di zone di ricircolo ai bordi della stessa, prima che il campo si stabilizzi. La soluzione proposta per trattare entrambe le problematiche è stata quella di definire come inlet, aggiuntivo a quello principale del setup di simulazione, la superficie anteriore della tasca, e come outlet la posteriore. In questo modo si azzera idealmente il gradiente di velocità all’avviamento della simulazione e si scongiura l’insorgere di zone di ricircolo all’interno della tasca, potendo essere adesso evacuato il flusso dall’outlet. Questa soluzione facilita ulteriormente il lavoro delle sorgenti, poiché viene immesso continuamente nella tasca flusso già alle condizioni desiderate dall’inlet aggiuntivo, favorendo la stabilità del flusso all’interno di essa, ovviamente mantenendo una condizione di libero scorrimento sulle pareti laterali e inferiore della tasca. Il setup di simulazione assume così l’aspetto di due canali diversi, uno principale, contenente il corpo, e l’altro più piccolo, determinato dalla tasca, comunicanti tra loro in corrispondenza del cilindro di prova. Nell’articolo
69
citato all’inizio di questa sezione non viene chiarita la costruzione della tasca, se cioè questa fosse effettivamente strutturata con un inlet e un outlet oppure formata solo da pareti semplici.
Figura 73 Visualizzazione della seconda versione del setup di prova: la parte frontale della tasca evidenziata in rosso pallido è adibita a inlet mentre la superficie posteriore in arancio è posta come outlet.
Con l’aggiunta di un inlet ed un outlet alle pareti anteriore e posteriore della tasca, il nuovo setup ha dato finalmente i risultati desiderati, minimizzando il transitorio all’interno della tasca ai primissimi time-step di simulazione e instaurando, in completa assenza di formazioni vorticose o zone di ricircolo transitorie, un regime pressoché uniforme e laminare all’interno della tasca in cui agiscono le sorgenti di forza. Non è stata osservata alcuna formazione vorticosa generarsi dall’interazione tra il flusso interno alla tasca e quello esterno attorno alla ruota, prova che all’interfaccia il comportamento delle sorgenti a simulare il suolo in movimento, in assenza di strato limite, è stato conforme alle esigenze.
70
Figura 74 In questa seconda configurazione il setup di prova è assimilabile a due condotti che scorrono parallelamente comunicando attraverso una parete. La velocità di prova è quella della ruota definitiva, cioè 18,6 m/s: evidente l’uniformità assoluta raggiunta dal
modulo locale della velocità in questa sezione longitudinale. Visualizzazione del campo dopo 30 time-step.
Per verificare il funzionamento delle sorgenti isolate è stato opportuno monitorare non solo l’andamento nel campo del modulo della velocità del flusso, ma anche l’andamento delle singole componenti di velocità in sezioni rappresentative del dominio. Per questa ragione sono in seguito riportate delle visualizzazioni interne a Star-CCM+ dei valori locali delle tre componenti ( i, j, k ) della velocità lungo una sezione trasversale del dominio, operata creando una piano corrispondente al piano Y-Z, di simmetria per la tasca.
71
Figura 75 Queste tre visualizzazioni sono tratte dopo il trascorrere di 30 time-step di simulazione, come nell’immagine precedente: la componente X di velocità si mantiene pressoché costante nel piano di sezione (figura 1), la componente Y (figura 2) mostra delle variazioni molto vicine allo zero nel campo, concentrate soprattutto ai bordi superiori della tasca. Nelle stesse aree si verifica la
presenza di zone a bassissimo ricircolo nella visualizzazione della componente Z (figura 3), quasi completamente dissipate.
Le prove successive di questo setup di sorgenti sono state condotte su un modello geometrico semplificato della ruota, approssimata a cilindro rotante e non sottoposta ad alcuna deformazione da morphing, per verificare la funzionalità del modello di sorgenti in presenza di un oggetto al di sopra della tasca, tenendo per il momento al di fuori delle variabili in gioco la deformazione delle celle. Per la simulazione della rotazione è stato utilizzato il modello di Overset Mesh semplice, e la tasca di prova per le sorgenti è stata definita da un semplice parallelepipedo aggiuntivo al dominio, posto inferiormente al cilindro, di dimensioni sufficienti ad inglobare comodamente la regione di overset. Per favorire l’instaurarsi di una condizione di flusso il più possibile laminare ed omogenea, alle pareti della tasca è stata data condizione di scorrimento, per evitare l’insorgere di strato limite in una zona dove complicherebbe solamente il corretto funzionamento delle sorgenti. Il cilindro di prova è stato posto tangente al piano ideale del suolo, quindi tangente anche al volume della tasca: si è deciso di procedere in questo modo per avvicinarsi alla condizione più realistica in cui la ruota si appiattisce al livello del terreno. Ponendo il cilindro in una posizione tale che una sua parte venga a trovarsi al di sotto del terreno, in assenza di alcun morphing che ne modifichi la geometria, porterebbe ad avere un’area di passaggio ristretta nella tasca, ristretta dalla presenza del cilindro, e una situazione quindi diversa
1 2
72
dalla simulazione della ruota, che resta sempre, dal primo time-step in poi, tangente al piano del terreno senza mai superarlo.
Figura 76 Visualizzazione in prospettiva della geometria di prova.
73
5.3 Conclusioni
In conclusione il modello ha dimostrato di poter funzionare rispettando le richieste di simulazione, e la metodologia sviluppata è stata ritenuta pronta per essere applicata al caso completo con geometria reale, overset mesh e morphing.
74