7. Accessibilità e centralità
7.3. Indici di centralità
Alla fine degli anni Settanta, Freeman (1977, 1979) coordinò le ricerche presenti in letteratura in materia di centralità e definì alcuni indici: degree centrality CD,
betweenness centrality CB, closeness centrality CC.
I recenti studi relativi ai sistemi complessi hanno evidenziato che i network presentano alcuni proprietà strutturali comuni, già definite nel paragrafo 7.1 del presente capitolo, tipiche dei sistemi Small Worlds e Scale-free. La proprietà dei network Scale-free è legata alla centralità, in particolare al numero delle connessioni (degree) di un nodo ovvero la misura di centralità prima definita come CD.
Per la definizione formale di tali indici si consideri un network urbano rappresentato da un grafo G=(N, K), ovvero un’entità matematica definita dagli insiemi N e K, dove N è l’insieme di N elementi chiamati nodi (nodes), invece K è l’insieme di K elementi chiamati archi (links o edges) che collegano coppie di nodi. Gli archi riproducono le strade in corrispondenza della mezzeria mentre i nodi rappresentano le intersezioni tra strade.
Spesso risulta conveniente considerare un grafo pesato G=(N, K,W), definito, oltre che da N e K, anche dall’insieme W; quest’ultimo è composto da K elementi (quindi uguale al numero di archi) che costituiscono valori numerici assegnati agli archi e misuranti il “peso” degli archi stessi.
Nel caso di un grafo spaziale (o geografico), piuttosto che con i pesi degli archi risulta utile lavorare con le loro lunghezze; nell’ambito della pianificazione dei trasporti sarebbe ancora più conveniente caratterizzare ciascun arco con il proprio costo generalizzato del trasporto.
Il percorso minimo dij tra i e j viene differentemente definito a seconda che il
grafo considerato sia pesato o non pesato.
In un grafo non pesato dij è pari al numero minimo di nodi attraversati
(incluso quello di origine) per andare da i a j. Invece nel caso di grafo pesato, il percorso minimo dij tra i e j è una lunghezza data dalla somma minima delle
lunghezze degli archi tra tutti i percorsi possibili nel grafo che connettono i a j. Si espongono nel seguito i principali indici di centralità presenti in letteratura; oltre quelli prima citati e riportati in Freeman (1977, 1979) per completezza verranno illustrati anche quelli di più recente formulazione emersi nell’ambito della ricerca sui sistemi complessi e la network analysis (Porta e Latora, 2006) e
nello specifico: efficiency centrality e straightness centrality; infine verrà richiamata la eigenvector centrality.
7.3.1. Centralità come vicinanza agli altri
Questo concetto è espresso dai due indici CD e CC.
La degree centrality proviene dall’idea che un nodo i è tanto più importante quanto più grande è il numero k di archi che in esso convergono, detto grado; pertanto la centralità di grado viene definita:
La closeness centrality misura quanto un nodo sia vicino a tutti gli altri nodi lungo i percorsi minimi dij del network ed è definita come:
Da tale definizione si evince che CC è una misura della distanza media di un
nodo i da tutti gli altri nodi: dato un insieme di nodi, un nodo è tanto più "centrale" quanto minore è la sua distanza media dagli altri nodi, se invece il nodo è ai margini dell’insieme, la sua distanza media è maggiore.
L’accessibilità 115
In Fig. 35 è riportato un network in cui è possibile distinguere, sulla base delle suddette definizioni, i nodi più importanti in termini di degree centrality (in rosso), che sono altamente connessi con altri nodi della rete poichè in essi convergono numerosi archi, e di closeness centrality (in blu), caratterizzati dal minimo valore di somma delle distanze dei percorsi minimi che vi convergono.
L’idea di prossimità espressa dalla CC è una componente dell’accessibilità;
infatti, come ampiamente discusso, nella prima parte del presente Capitolo, tra gli elementi che condizionano l’accessibilità vi è sempre un fattore legato all’impedenza, che nel caso di questa misura di centralità è espressa mediante la distanza spaziale.
Tuttavia il costo da sostenere affinchè possano intercorrere relazioni di vario genere tra i luoghi è influenzato da numerosi fattori (ad es. tempo, comfort, etc), com’è stato largamente mostrato; pertanto è riduttivo assumere, ai fini dell’accessibilità, che l’impedenza sia pari al percorso minimo.
7.3.2. Centralità come essere tra gli altri
La centralità di medietà CB è fondata sull’idea che le interazioni tra due nodi non
adiacenti dipende dai nodi intermedi che, di conseguenza possono rivestire un ruolo strategico di influenza su di essi. Se si assume che la comunicazione avviene solo lungo i percorsi minimi, un nodo è tanto più centrale quanto esso è attraversato dai percorsi minimi che connettono ogni coppia di nodi del network. In tal caso la centralità di betweenness del nodo i è data da:
in cui njk è il numero di percorsi minimi tra i nodi j e k mentre njk(i) è il numero
di percorsi minimi tra j e k passanti per il nodo i .
Nel network riportato in Fig. 36 sono stati evidenziati i valori di betweenness
centrality dal più basso (in rosso) al più elevato (in blu): i nodi che si trovano ai
confini della rete sono, ovviamente, i meno centrali mentre quelli caratterizzati da elevati valori di centralità di medietà sono localizzati al cuore della rete e sono attraversati da numerosi archi.
Fig. 36 - Esempio di analisi di betweenness centrality
L’idea espressa da questa misura appare particolarmente interessante se si considerano le sue potenziali applicazioni nell’ambito della pianificazione e, nello specifico, nella scelta strategica delle localizzazioni.
Risulta interessante, anche da un punto di vista trasportistico, un particolare tipo di betweenness, più completa rispetto a quella precedentemente definita poiché contempla il fatto che, nelle interazioni tra due nodi non direttamente collegati, non vengono utilizzati solo i percorsi minimi bensì possono essere utilizzati tutti i possibili collegamenti tra coppie di nodi della rete.
La flow betweenness centrality tiene conto del fatto che il flusso (di
informazioni, veicoli, etc.) su un arco non dipende solo dalla capacità73 di quello specifico arco ma da tutti i percorsi, sia diretti che indiretti, che collegano i nodi di origine e destinazione.
La Fig. 37 rappresenta il caso in cui due vasti gruppi sono connessi soltanto attraverso pochi elementi, rappresentati dai nodi A,B e C; in tal caso è di facile intuizione che, secondo la definizione di shortest path betweenness solo i nodi A e B sono caratterizzati da elevati valori di centralità, al contrario di C poiché esso non è attraversato dal percorso minimo. Tuttavia è plausibile supporre che, in situazioni reali analoghe a quella schematizzata (ad es. scambio di informazioni, percorso stradale, etc.), anche C venga coinvolto nell’interazione tra i gruppi.
73
La capacità di un’arco della rete può essere definita come il massimo flusso ammissibile in un dato intervallo di tempo ed è funzione delle caratteristiche dell’arco stesso.
L’accessibilità 117
Pure la misura di flow betweenness fornisce in alcuni caso risultati in contrasto con la logica; a tal proposito si consideri la Fig. 38: dalle elaborazioni74
si ha che, ancora in questo caso, i maggiori valori di centrality vengono attribuiti ai nodi A e B mentre C ha una scarsa centralità, anche se dal gruppo 1 al 2 sia i percorsi diretti via A e B che e quello passante per C hanno la stessa lunghezza. Al contrario si direbbe, ad intuito, che anche C risulti coinvolto.
Fig. 37 - Esempio di shortest path betweenness (Newman, 2005)
Fig. 38 - Esempio di flow betweenness (Newman, 2005)
7.3.3. Centralità come essere raggiungibili linearmente dagli altri
La straightness centrality CS si fonda sull’idea che l’efficienza (vista come
centralità) nel collegamento tra due nodi cresce tanto più il percorso che li collega si avvicina ad una linea retta. Pertanto la centralità di direttività viene definita:
essendo dijEucl la distanza euclidea tra i nodi i e j.
In realtà la centralità di straightness può considerarsi un caso particolare dell’efficiency centrality, secondo cui l’efficienza nella comunicazione tra due nodi
i e j è uguale all’inverso della lunghezza del percorso minimo dij. La misura di C
E
è data da:
7.3.4. Eigenvector75 centrality
Definita per la prima volta da Bonacich (1972) nell’ambito delle reti sociali, questa misura valuta l’importanza di un nodo in base alle sue connessioni con altri nodi importanti.
Si tratta di una versione più sofisticata della degree centrality ma, mentre questa si limita a contare il numero di connessioni che un nodo possiede, la
eigenvector centrality valuta anche il fatto che non tutte le connessioni sono
uguali. In particolare hanno peso maggiore i link che connettono nodi più importanti rispetto ad altri, pertanto un nodo può definirsi centrale se connette altri nodi centrali.
Questa accezione di centralità è simile all’idea di base della misura di accessibilità PlaceRank definita al paragrafo 6.2 di questo Capitolo; in effetti il PageRank di Google è una variante della misura eigenvector centrality.
7.3.5. Confronto tra le misure di centralità
Per avere una visualizzazione diretta della differenza tra le nozioni di centralità fin qui discusse si consideri la rete riportata in Fig. 39.
Il nodo caratterizzato dal più alto valore di degree è j, in esso infatti converge il maggior numero di link.
La closeness più elevata si riscontra invece nel nodo i poiché è minore la sua distanza media dagli altri nodi.
75 Il termine eigenvector si traduce in lingua italiana con il termine autovettore (anche detto “vettore caratteristico”), concetto base dell’algebra lineare e mutuato dalla teoria dei grafi e dalla network analysis.
L’accessibilità 119
In h si ha la maggior betweenness poiché la sua localizzazione è tale che esso viene attraversato dal maggior numero di percorsi minimi che collegano ogni coppia di nodi del network.
Infine d è il nodo più importante in termini di eigenvector centrality poichè è connesso ad altri nodi che sono valutati come centrali.
Fig. 39 - Esempio di network