Ci proponiamo ora di analizzare le modalità di trasmissione del calore all’interno di una singola pala di turbina, ossia tenteremo di ottenere una espressione analitica del campo di temperatura presente nella paletta investita dal flusso dei gas combusti.
Il modello fisico in considerazione è per forza di cose semplificato in maniera drastica, sia nella descrizione della geometria (altezza e spessore) della pala che nell’ipotesi che i vari coefficienti rimangano costanti in ogni punto della paletta stessa.
Verranno adoperate le seguenti ipotesi esemplificative:
1. si suppone che la paletta sia costituita da materiale omogeneo e isotropo, vale a dire che le sue proprietà fisiche si mantengono costanti in tutte le direzioni 2. quasi-bidimensionalità del campo termico. Tale presupposto risulta
accettabile e giustificato se le dimensioni relative allo spessore della paletta siano trascurabili rispetto alle altre due.
3. condizioni stazionarie: il campo di temperatura non dipende dal tempo, vengono trascurati gli eventuali transitori.
4. si considera uniforme su tutta la superficie della pala il coefficiente di scambio termico convettivo
5. si presume uniforme e costante la conducibilità termica del materiale costituente la paletta.
6. Si suppone la paletta assimilabile ad un corpo prismatico – sebbene in realtà le pale presentino una rastremazione dalla radice verso l’apice – e che lo spessore in corrispondenza del bordo di fuga sia nullo, anche se chiaramente ciò non trova riscontro nella pratica.
Si ipotizza inoltre che la pala sia raffreddata (per convezione, adoperando acqua come fluido refrigerante) alla base e riceva dai gas di combustione caldi un flusso radiativo e uno convettivo, mentre la parete superiore all’apice della paletta è isolata, più precisamente non scambia calore essendo l’apice della pala praticamente a contatto con la cassa, tranne che per un piccolo gioco tale da permetterne la rotazione e la dilatazione termica. Si schematizza inoltre la paletta assimilandola ad un corpo prismatico, come mostrato nella figura 1.
l
y z x
b L
∞
∞ T
h ,
∞
∞ T
h ,
∞
∞ T
h ,
0 0,T h
"
q
2"
q
2"
q
1fig. 2.1 schematizzazione della paletta.
Considerando un riferimento cartesiano all’apice della pala, si osserva come già accennato,che la dimensione z è piccola rispetto a x,y. Indicata ora con g= g(x) la variazione dello spessore del bordo della pala al variare di x, si ammette che g(x) sia funzione quadratica di x, espressa come segue:
2
)
( ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⋅⎛
= L
b x x g
si tratta dunque la direzione z come nel caso di superfici estese nelle quali è presente un gradiente di temperatura trascurabile attraverso lo spessore ristretto g(x).
Pertanto in virtù di questa ulteriore semplificazione si ha che al bordo di attacco della pala la profondità vale b, mentre la lunghezza viene espressa dall’arco di lunghezza L e l’altezza vale l.
b
L
fig. 2.2 distribuzione di spessore g(x) della paletta.
Innanzitutto occorre impostare un’equazione di bilancio dell’energia per un elementino di volume all’interno della pala. Lo scambio termico avviene secondo le modalità sotto riportate
1. conduzione secondo la legge di Fourier:
n k T qn
∂
⋅∂
−
= 2. radiazione termica: q e 1" q 2"
3. convezione in accordo con la legge di Newton: qc =h⋅∆T
nella presente trattazione q e 1" q si presentano rispettivamente come "2 l’irraggiamento luminoso della fiamma proveniente dalla camera di combustione, e l’irraggiamento gassoso dei gas combusti. Come noto, l’irraggiamento gassoso è inferiore a quello luminoso: in altre parole vale
"
2
"
1 q
q >
Assunto ora che T, temperatura agente sulla pala non dipenda dalla coordinata z ma solamente da x e y, in altre parole si suppone che T sia esprimibile nella forma T=T(x,y). Si ipotizza cioè che la temperatura non vari attraverso lo spessore b (b<<L,l) ma dipenda solamente dall’altezza della paletta e dalla posizione lungo la corda. Si può sostenere di essere di fronte ad un problema di scambio termico quasi bidimensionale, anche se in realtà tale problema è schiettamente tridimensionale.
Non possiamo usare il laplaciano, vale a dire l’equazione che regge la distribuzione di temperatura in un sistema bidimensionale senza generazione di calore. Non vale dunque la scrittura:
2 0
non essendo quello in esame un problema di scambio termico propriamente 2D, inoltre occorre considerare i contributi dovuti alla convezione ed all’irraggiamento.
Si considera pertanto un elementino di volume g(x)dxdy come riportato nella figura che segue:
attraverso di esso si calcolano le variazioni del flusso di Fourier qn e la convezione qc, nonché il flusso radiativo, occorre allora un’equazione di bilancio di energia per l’elemento. I flussi termici in questione vengono di seguito riportati:
• flusso termico conduttivo entrante attraverso l’area g(x)dy dell’elemento
( )
x dy x gk T
∂
− ∂
• flusso termico conduttivo uscente attraverso l’area g(x+dx)dy
( )
g( )
xdy dx• flusso termico conduttivo entrante attraverso l’area g(x)dx dell’elemento
( )
x dxy g k T
∂
− ∂
• flusso termico conduttivo uscente attraverso l’area g(x+dx)dx
( )
g( )
xdx dy• abbiamo così che il flusso netto di conduzione è pari a
con k si è indicata la conducibilità termica del materiale costituente la paletta
• mentre il flusso convettivo netto in uscita dalle due facce di area dxdy dell’elementino vale
(
T T)
dxdyh∞ − ∞ 2
• altresì il flusso di radiazione in ingresso sulle due facce vale dxdy
fig. 2.4 flusso di conduzione attraverso l’elementino di volume g(x)dxdy.
Con riferimento all’elementino di volume rappresentato in figura si ha che, applicando il primo principio della termodinamica e considerando i contributi sopra citati si ricava, in forma più generale
( )
x dx−q + g( )
x dx+q g( )
x dy−q + g( )
x dy−2h∞(
T −T∞)
dxdy+2q2"dxdy=0da cui si ottiene la seguente espressione
( ( ) ) ( ( ) )
−2(
−)
+2 2" =0ossia
in altre parole, fatte le debite semplificazioni, otteniamo
( )
2 0avendo stabilito con T∞ e h∞rispettivamente la temperatura e il coefficiente di scambio convettivo dei gas che investono la paletta.
Si definisce ora l’escursione termica Θ tra la paletta ed il gas come Θ=T−T∞, arrivando così alla forma seguente:
n
avendo la cura di porre
bk
Vediamo ora le condizioni al contorno;
• L’escursione termica sul bordo di fuga della pala vale
( )
0, =valorefinitox y . Questa è una condizione al contorno omogenea.
• Sul bordo d’attacco sono presenti convezione da parte dei gas combusti ed irraggiamento luminoso da parte della fiamma in camera di combustione, in conseguenza delle convenzioni dei segni sulla trasmissione del calore si ha la condizione 0q1" +qn −qc = che permette di scrivere:
• Per 0y= la pala non scambia calore, giacché per evitare trafilamenti di gas l’apice della pala si trova quasi a contatto con la cassa, distanziata da essa
solamente da un piccolo gioco; la paletta è allora sostanzialmente isolata. Si può esprimere tale condizione nella forma:
( )
,0 =0∂ Θ
∂ x
y (c.c. 3)
• Alla radice della pala (in altre parole, per y= ) si ha solamente convezione l da parte del fluido preposto alla refrigerazione della paletta, che in questa sede si suppone sia acqua ad una temperatura T0=100 °C, avente h0=5000÷10000 [W/m2·K]. In altre parole, la potenza termica scambiata per conduzione deve uguagliare quella trasferita mediante convezione; quindi la condizione 0qn −qc = , che porta a scrivere
( )
, − 0(
− 0)
=0∂ Θ
− ∂ x l h T T
k y l
da cui si ottiene
(
0)
0 Θ −Θ
∂ = Θ
− ∂ l
l
y h
k (c.c. 4)
avendo posto
− ∞
=
Θ0 T0 T ; Θl =Tl −T∞
come già detto, si è indicato con h0 il coefficiente di scambio convettivo dell’acqua refrigerante, mentre T∞ e T0 sono rispettivamente la temperatura dei gas combusti e del fluido refrigerante, e ovviamente Tl indica la temperatura della paletta alla radice.
y x
( )0,y =Θcc1
Θ
y x
y x
y x
( ),0 =0
∂ Θ
∂ x y
c.c.3 y=0, tutti gli x c.c.4 y=l tutti gli x
( 0)
0Θ −Θ
∂ = Θ
− ∂ l
l
y h k
L L
h x q
k = − Θ
∂ Θ
∂
∞
"
1
c.c.1 x=0, tutti gli y c.c.2 x=L tutti gli y
fig. 2.5 riepilogo delle condizioni al contorno.