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1.4 Modalità di scambio termico sulla pala

1.4.3 Trasmissione del calore per convezione

Nella trasmissione del calore per convezione, al contributo della diffusione (movimento casuale delle molecole), che è sempre presente, si sovrappone quello dovuto al movimento macroscopico di aggregati molecolari. Questo ultimo può essere imposto da un agente meccanico esterno (come nel caso dei gas combusti in ingresso nella turbina) o derivare dalle forze di galleggiamento (convezione naturale).

T

w ,

A

dA

fig 1.10 corpo investito da una corrente fluida.

Si consideri la situazione in figura in cui un fluido a velocità w e temperatura T

investe un corpo (quale può essere una paletta di turbina) di area Ae temperatura T.

Il flusso termico locale unitario qc scambiato per convezione può essere espresso in accordo con la legge di Newton

(

)

=h T T qc

dove h è il coefficiente di convezione locale, il quale dipende da vari fattori, quali le proprietà del fluido scambiante, e come si vedrà meglio in seguito, essenzialmente dalla turbolenza:

(

)

= f L k w T

h , , ,ρ,µ,

Tale grandezza viene espressa in accordo con il SI in [W/m2·K]. Per fissare le idee, di seguito si riporta l’ordine di grandezza del coefficiente di scambio termico convettivo per gas, liquidi e sostanze durante il cambio di fase.

fig 1.11 ordini di grandezza coefficiente di scambio convettivo.

Poiché le condizioni di moto cambiano da punto a punto anche qc e h assumono valori variabili lungo la superficie. Il flusso totale si ottiene integrando sull’intera superficie:

(

)

(

)

− = −

=

=

q dA

h T T dA h AT T

q A c A

con

=

Ah dA h A1

fig 1.12 strato limite su lastra piana.

Si introduce ora il concetto di strato limite prendendo in considerazione il deflusso parallelo su una lastra piana. All’interfaccia solido-fluido le particelle, per effetto delle forze di adesione e di attrito, non scivolano sulla piastra, ma sono immobili,

( )

0,0 =0

u In conseguenza dell’attrito interno del fluido, che si manifesta attraverso degli sforzi resistenti di taglio τ, la velocità delle particelle sovrastanti tende ad aumentare con gradualità fino a raggiungere asintoticamente la velocità della corrente u. Un valore prossimo a, convenzionalmente 0.99u, ad una distanza finita δ=y che dipende da x. La curva δ(x) individua lo spessore dello strato limite di velocità e divide il campo di velocità in due regioni:

• lo strato limite di velocità caratterizzato dalla presenza di forti gradienti della velocità e degli sforzi viscosi

• il campo di moto potenziale caratterizzato da velocità e sforzi trascurabili.

Man mano si procede verso l’interno della piastra gli effetti della viscosità interessano sempre di più la corrente di fluido con conseguente aumento di.

Lo sforzo tangenziale viscoso è dato, per i fluidi newtoniani, dalla seguente relazione:

y u

=µ∂ τ

dove µ è la viscosità dinamica, la quale si misura in Pa·s.

Lo sforzo all’interfaccia solido-fluido assume il suo massimo valore:

0 max

=

= ∂

=

y

s y

µ u τ τ

Nella pratica corrente si usa introdurre un coefficiente di attrito definito come:

2

2

= u

Cf s

ρ τ

Come si forma uno strato limite di velocità così si forma anche uno strato limite termico se tra superficie e fluido sussiste una differenza di temperatura. Al bordo della piastra il profilo di temperatura è uniforme T

( )

0,y = T; mentre all’interfaccia, per l’equilibrio termico T

( )

x,0 =Ts. In conseguenza dello scambio termico con le particelle sovrastanti, che si trovano a temperatura inferiore, si formano dei gradienti termici che tendono asintoticamente a zero a distanza infinita. Indicando con:

= −

Θ T T

T T

s s

ad una distanza finita la temperatura adimensionale assume il valore convenzionale di 0.99. Penetrando all’interno della piastra gli effetti termici s’intensificano e δt(x) cresce. Tale profilo individua lo strato limite termico, che divide il campo termico in una regione adiacente alla piastra y

( )

x , in cui i gradienti termici risultano significativi, e la seconda sovrastante lo strato limite in cui risultano trascurabili.

Il bilancio energetico relativo all’interfaccia solido fluido fornisce:

(

)

=

∂ =

− ∂ h T T

x

k T s

y 0

da cui risolvendo rispetto a h :

(

=

)

− ∂

= T T

x k T

h

s y 0

Poiché cresce con x il gradiente all’interfaccia diminuisce nella direzione del moto e quindi sia il flusso convettivo qc sia il coefficiente hdiminuiscono al crescere di x.

Il potenziamento della convezione rispetto allo scambio conduttivo viene espresso dal rapporto tra lo scambio convettivo

(

)

=h T T

qc s

ed uno scambio puramente conduttivo riferito convenzionalmente ad uno spessore L di fluido supposto immobile

( )

L T T q k s

=

Tale rapporto adimensionale è noto come numero di Nusselt

( )

L T T k

y T

k L Nu h

s y

=

−∂

=

= 0

ed esprime anche il rapporto tra il gradiente di temperatura all’interfaccia solido fluido e gradiente termico di riferimento.

Il problema della convezione è quello di trovare delle relazioni che consentono caso per caso di determinare il coefficiente di convezione e quindi il flusso termico.

Un passaggio preliminare ed essenziale per trattare quantitativamente il problema è di stabilire se il regime di moto è laminare o turbolento. Sempre con riferimento al caso del moto su lastra piana, si ha moto laminare, quando le particelle di fluido mantengono la velocità parallela alla piastra, w=u, mentre in regime turbolento è presente anche la componente trasversale v, responsabile del rimescolamento delle particelle. Nel regime laminare il moto del fluido si mantiene ordinato con le particelle che si muovono senza rimescolamenti secondo linee di corrente chiaramente individuabili, mentre il regime turbolento pur mantenendo il suo moto d’insieme è caratterizzato da moti caotici (vortici) responsabili del rimescolamento del fluido. La presenza di fluttuazioni causate dall’irregolarità del moto potenzia il trasferimento di quantità di moto e di energia nella direzione normale alla piastra.

Piccoli disturbi sempre presenti nella corrente fluida vengono smorzati dalle forze viscose, mentre penetrando nella piastra da un certo punto in poi le forze d’inerzia prevalgono sulle forze viscose amplificando i disturbi fino a rompere la regolarità del moto laminare. Si crea dunque una regione di transizione tra regime laminare e regime turbolento, altamente instabile, al di là della quale s’instaura un regime completamente turbolento. Nelle immediate vicinanze della piastra si forma sempre un sottostrato laminare anche nel regime turbolento dove il trasporto è regolato da processi diffusivi che comportano profili delle velocità quasi lineari.

fig 1.13 variazione del coefficiente di scambio convettivo in relazione al flusso.

Tra il sottostrato laminare e la zona turbolenta sovrastante si forma una zona intermedia in cui diffusione e turbolenza producono effetti comparabili. Nella regione completamente turbolenta crescono significativamente gli spessori degli strati limite e quindi i coefficienti di attrito e di convezione come mostra la figura.

La transizione tra regime laminare e turbolento è controllata da un parametro adimensionale noto come numero di Reynolds

ν µ

ρux ux

=

= Re

dove x è la distanza dal bordo di attacco e ν è la viscosità cinematica. Al crescere di x aumenta Rex fino a raggiungere un valore critico che segna la transizione. Per una piastra il valore critico varia tra 105 e 3·106 in relazione alla scabrosità della superficie e all’entità delle fluttuazioni preesistenti nella corrente libera. Un valore rappresentativo è:

5

, 5 10

Re = = ⋅ ν

x u

c x

Il numero di Reynoldspuò essere interpretato come rapporto tra le forze d’inerzia e le forze di attrito viscoso. Gli strati limite sono diversi ma tra loro legati da un secondo parametro adimensionale noto come numero di Prandtl (Pr):

a

=ν Pr

L’interpretazione fisica di Pr è immediata partendo dalla sua definizione: la viscosità cinematica esprime un’attitudine al trasporto diffusivo nello strato limite di

velocità della quantità di moto, la diffusività termica un’attitudine al trasporto diffusivo nello strato limite termico dell’energia. Ne segue che:

n

t

=Pr δ

δ

Per i metalli liquidi Pr << 1 per cui δ<< δt, mentre, al contrario, per il liquidi Pr>>1. Per i gas Pr varia tra 0.67÷1 per cui gli strati limite sono tra loro paragonabili. In definitiva Pr lega tra loro gli strati limite. Le equazioni che descrivono il moto del fluido ed il trasporto di energia mettono in evidenza che per sistemi geometricamente simili in convezione forzata, l’uguaglianza dei numeri di Reynolds (uguali rapporti tra forze d’inerzia e forze viscose) implica profili di velocità simili. L’ulteriore uguaglianza dei numeri Prandtl implica similitudine dei profili della temperatura adimensionale Θ in quanto Pr lega tra loro i campi di velocità a quelli di temperatura. Infine, se esiste similitudine termica anche i rispettivi numeri di Nusselt saranno uguali tra loro in quanto Nu esprime il rapporto tra gradienti d’interfaccia e gradienti di riferimento. E’ lecito dunque concludere che:

(

Re,Pr

)

f Nu= che è possibile porre nella forma

c

a b

k L

Nu = h = Re Pr

1.4.4 Irraggiamento

La propagazione di calore, da un corpo a temperatura più alta ad un corpo a temperatura più bassa per irraggiamento ha caratteristiche notevolmente diverse rispetto alle due modalità precedenti: si tratta, infatti, di un fenomeno essenzialmente elettromagnetico, senza l’intervento di mezzi materiali, che lo conducano o lo trasportino con moto convettivo, non richiede il contatto diretto tra i corpi e può avvenire anche nel vuoto. In tal caso la trasmissione del calore sotto forma di onde elettromagnetiche, ciò mediante radiazioni emesse dalla sorgente termica. Per il solo fatto di trovarsi ad una temperatura superiore a 0 K tutti i corpi emettono verso lo spazio che li circonda energia in forma di onde elettromagnetiche in modo proporzionale alla quarta potenza della temperatura a cui si trovano Se le radiazioni

elettromagnetiche incidono sulla superficie esterna di un corpo materiale l’energia che trasportano può essere parzialmente assorbita determinando conseguenze che sono del tutto analoghe a quelle che si avrebbero se fosse fornita una pari quantità di energia termica per conduzione o convezione. In questo senso si parla di trasporto di calore per irraggiamento. Poiché tutti i corpi si trovano a temperature superiori a 0 K, ne consegue che se sono affacciati in una posizione opportuna nello spazio, tra di essi si ha un reciproco scambio di energia nella forma di onde elettromagnetiche.

La legge di Stefan-Boltzmann afferma, come poco anzi accennato, che l'energia totale irradiata da un radiatore perfetto, altresì detto corpo nero (in altre parole un corpo ideale che assorbe completamente la radiazione incidente sulla sua superficie) è direttamente proporzionale alla superficie del corpo e alla quarta potenza della sua temperatura assoluta. Se ci si riferisce ad un corpo di superficie A, avente temperatura assoluta T

] [

4 W

AT qirr

quindi il poter emissivo totale unità di superficie vale:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= 4 2 m T W

A qirr σ

in cui σ è una costante dimensionale che, in accordo con il SI vale 5.67·10-8 [W/m2K4], chiamata costante di Stefan-Boltzmann. Mentre l’intensità di emissione non dipende dall’ambiente circostante, lo scambio termico netto richiede una differenza tra le temperature superficiali dei corpi tra i quali avviene lo scambio. Se il corpo nero avente temperatura T1, irraggia in una cavità chiusa anch’essa nera che lo circonda completamente e avente la temperatura T2, la potenza termica scambiata è

(

4 24

)

1

1 T T

A qirr =σ −

I corpi reali emettono in misura minore dei corpi neri, e vengono detti grigi quando, trovandosi ad una certa temperatura, emettono per ogni lunghezza d’onda una frazione costante dell’energia emessa dal corpo nero alla stessa temperatura. La potenza termica scambiata tra un corpo grigio ed un radiatore perfetto che lo circonda, rispettivamente alle temperature T1 e T2 è

(

4 24

)

1 1

1A T T

qirr =σε −

in cui ε1 è l'emittenza della superficie grigia, definita dalla relazione

0 0

= ε λ

λ ε ε

λ λ λ

d d E

essendo il poter emissivo totale

4

0 Eλdλ=σT