• Non ci sono risultati.

3.1 Risoluzione

Dopo avere esaminato le condizioni al contorno si passa alla risoluzione dell’equazione (1), che si ricorda essere della forma sotto indicata.

n

L’equazione (1) non è omogenea, ci si appresta di conseguenza a risolverla sotto le condizioni (c.c. 1), (c.c. 2), (c.c. 3) e (c.c. 4) tramite un artificio consistente nello scomporre l’escursione Θ=Θ

( )

x,y nella somma delle due funzioni siffatte:

( )

x y =ψ

( ) ( )

x y +φ x

Θ , ,

ossia si assorbe il termine non omogeneo in una soluzione 1D nel modo che segue:

( ) ( )

m

( )

n

ottenendo infine

n

ammettiamo pertanto, come detto dianzi che il termine non omogeneo sia relativo alla sola x in modo che la restante parte dei termini a primo membro nella (1') si annulli come sotto riportato:

2 0

(si è sostituito il simbolo di derivata parziale con quello di derivata ordinaria nell’equazione inφ, in quanto dipendente solamente da x).

Dobbiamo ancora considerare le condizioni al contorno per le nuove variabili φ e ψ

• Sul bordo in

( )

0,y è possibile scrivere la relazione Θ

( )

0,y00 i cui due termini a secondo membro diventano rispettivamente le condizioni (c.c. 1') e (c.c. 1").

Dalla condizione (c.c. 3) si conclude allora 0

• Per la condizione (c.c. 4), valida alla radice della pala:

(

0

)

Passiamo ora a risolvere separatamente le due equazioni in φ e ψ , iniziando con l’integrare la relazione in φ (equazione differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti) per la quale è necessario cercare la soluzione come somma dell’integrale generale dell’omogenea associata, più un integrale particolare, come sotto riportato

p

h φ

φ

φ = + . Si è dunque tenuti ad integrare l’equazione:

n con le seguenti condizioni al contorno:

• (c.c. 1') φ

( )

0 = valore finito φ0

• (c.c. 2') φ φ Un integrale particolare sarà

Mentre per l’integrale generale dell’omogenea associata:

0

esiste la famiglia di equazioni differenziali della forma

2 =0

r . Per il problema in esame si osserva che, essendo:

⎪⎩

si ricade nella situazione di cui sopra, vale a dire una soluzione omogenea della forma y

( )

x =Bxr. Nel caso in considerazione si ha che r2 +rm2 =0, di cui si è in grado di calcolare le radici dall’equazione algebrica:

2

si è tenuti a scartare il valore negativo di r, in quanto farebbe pervenire ad una forma indeterminata del tipo

( )

che non ha validità per x=0, essendo r1 negativo.

È possibile dunque concludere che l’integrale generale dell’omogenea associata vale:

si passa ora alla determinazione della costante di integrazione B, tramite la condizione al contorno (c.c. 2') sul bordo d’attacco della pala:

L si procede ora nel derivare in (L,0):

(

)

⎢⎣ ( )⎥⎦

nella condizione al contorno (c.c. 2') come sotto riportato

( )

( ) ( )⎟⎟

( )

( ) ( )

si ottiene in definitiva:

( )

( )

conoscendo il valore di B, si è in grado di rappresentare la soluzione completa della (2):

inoltre se ricordando le assunzioni fatte prima per m2, n e a:

bk

è altresì possibile notare che nel caso particolare in cui il valore dell’irraggiamento luminoso q uguagli il valore dell’irraggiamento gassoso 1" q l’equazione precedente "2 si riduce a

= h q1"

φ

viene di seguito mostrato a titolo indicativo l’andamento grafico della funzione

( )

x

coordinata x della pala [m]

solu

Si è risolta solamente una parte della (1'), mentre bisogna ancora ricavare la soluzione in ψ della:

2 0

con le seguenti condizioni al contorno:

• (c.c. 1") ψ

( )

0,y =ψ0 valore finito

in maniera tale da arrivare ad ottenere la soluzione cercata nella forma:

( )

x y

( ) ( )

x yx

Θ , ,

si procede dunque nella ricerca delle soluzioni della (3), svolgendo innanzitutto le derivate parziali:

0

proseguendo poi, mediante la separazione delle variabili

( ) ( )

x Y y X ⋅ ψ =

pervenendo così all’espressione:

0 2xX'Y+x2X"Y+x2XY"m2XY = dividendo ora per XY e successivamente per x2 si ottiene

0

Esiste una direzione omogenea e una non omogenea; la si individua attraverso le condizioni al contorno.

• La y è direzione non omogenea

Riprendendo in esame l’equazione (3'), se ora si pone

" 2

λ Y =

YY"−λ2Y =0

è possibile esprimere la relazione anzidetta nella maniera seguente:

2

per cui si perviene ad un ulteriore sistema di due equazioni da risolvere separatamente

( )

si ha la possibilità di elaborare per la (4) delle soluzioni del tipo

( )

y C

( )

y C

Y = 1sinh λ + 2cosh λ

facendo riferimento alle condizioni al contorno sopra riportate per Y si ottiene la forma

( )

y C

Y = cosh λ

infatti si può osservare dalla (c.c. 3") della (3) che vale 0

da cui si ottiene la soluzione sopra riportata.

Rimane da cercare una soluzione per la (5), che possiamo scrivere sotto un’altra forma, ossia

0

2 ' 2 2 2

"

2X + xXm X + x X =

x λ x2X"+2xX'+

(

λ2x2m2

)

X =0

assumendo poi

( )

x

si eseguono le derivate prima e seconda

2

2 *

sostituendo ora i rispettivi termini e procedendo alle debite semplificazioni

( ) ( ) ( ) ( )

0

pervenendo ad una ulteriore equazione differenziale alla derivate ordinarie:

4 0

appartenente alla famiglia delle equazioni di Bessel.

Nel caso da noi preso in considerazione, come in molti altri problemi fisici, spesso le soluzioni matematiche non possono essere espresse in termini di funzioni elementari, è allora necessario definire un’altra categoria di funzioni, che vengono chiamate funzioni speciali, definite sotto forma di integrale (come nel caso della funzione Γ) oppure come soluzioni di una particolare equazione differenziale, caso nel quale rientrano le funzioni di Bessel, le quali si presentano spesso nei problemi relativi alla trasmissione del calore.

Le equazioni di Bessel di ordine ν a coefficienti costanti, sono equazioni differenziali esprimibili nella maniera seguente, che ne rappresenta la forma standard.

le equazioni anzidette presentano una soluzione del tipo:

( )

x C J

( )

x J

C

y= 3ν λ + 4ν λ

con Jν funzione di Bessel di ordine ν, che si ricorda godere delle seguenti proprietà

• J0(0) = 1, J1 (0) = J2 (0)= …= Jn (0)= 0

• Jν(x)→ 0 se x→∞

• Jν(x), ha un numero infinito di zeri positivi ζ, così definiti:

0 < ζ1 < ζ2 < …< ζn

Tanto per fissare le idee, nel diagramma sottostante si rappresentano alcune funzioni di Bessel.

0 5 10 funzioni di Bessel di prima e seconda specie

Y0.5(x) Y1.5(x)

fig. 3.2 funzioni di Bessel di prima e seconda specie.

Nel caso in esame si è dinnanzi ad una equazione di Bessel di ordine ν non intero, essendo difatti definito come:

2

Dalla letteratura a riguardo, si trova che quando ν è un numero reale si perviene alla soluzione della forma sotto riportata

)

dove Jν (x) può essere definito dalla serie seguente:

( )

⎜⎜

( )

+ ⋅

(

+

)(

+

)

+ ⎟⎟

oppure nella forma più generale

mentre si definisce la funzione fattoriale generalizzata (o di Eulero), Γ nella maniera che segue

(

ν +

)

=

exxνdx Γ

0

1

esprimibile anche come

(

ν +

)

=ν Γ

( )

ν

Γ 1

con ν reale, ν>-1 per la convergenza dell’integrale in (0,∞). Nel nostro caso ν>0, numero frazionario. L’andamento della funzione Γ è riportato in figura.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

fig. 3.3 grafico della funzione Γ.

Poiché per x=0, si ha che ψ =X(x)⋅Y(y) ha un valore finito, la funzione J(0) sarebbe indeterminata, di conseguenza deve essere C4=0. Pertanto la soluzione della (6) si presenta nella forma seguente:

)

da cui avendo presente le assunzioni precedenti si deduce

)

e tenendo a mente che la soluzione completa dell’equazione (3) si presenta come )

si giunge alla soluzione anzidetta, esprimibile tramite la relazione che segue )

È necessario ricavare ancora gli autovalori λ e la costante di integrazione C. Gli autovalori si trovano dalla (c.c. 2") della (3)

richiamando le regole di derivazione delle funzioni di Bessel:

[ ( ) ] ( )

J

( )

x

Si tenti ora di derivare la (7) secondo la (c.c. 2"), tenendo presente che

5

si semplifica dividendo per C e 2

1

L , in maniera tale da ottenere

( ) ( ) ( )

J

( )

L

si rileva che λ compare anche come argomento della funzione Jν, non è dunque possibile esplicitarlo in maniera diretta, bensì è necessario ricavare tutti i valori di λ che soddisfino l’equazione sopra riportata, esprimibile anche nella forma che segue:

( ) ( )

L p

La relazione sopra riportata può anche essere espressa nella forma che segue

( ) ( )

0

Si osserva che per descrivere la soluzione ψ sono necessarie ancora le infinite costanti Cn che vanno a formare l’equazione indicata

( )

J

( )

x

( )

y

Mediante l’analisi di Fourier si cerca ora di ottenere i coefficienti di Fourier Cn, sfruttando l’ortogonalità delle funzioni di Bessel Jν, e la condizione al contorno (c.c. 4") che si ricorda essere:

(

0

)

da cui, sostituendo i valori di precedentemente desunti è possibile ricavare

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ed al secondo membro, in seguito si integra tra gli estremi di esistenza della coordinata x, vale a dire nell’intervallo

[ ]

0,L

( ) ( ) ( )

ricordando la proprietà di ortogonalità delle funzioni di Bessel, secondo la quale

( ) ( )

e moltiplicando per 2

3

x al primo ed al secondo membro, in maniera tale da ricondurci alla forma mostrata

( ) ( ) ( )

tenendo presente che

5 è possibile di conseguenza scrivere

( ) ( ) ( )

e avendo presente la summenzionata proprietà di ortogonalità, si osserva che scompaiono i termini di sommatoria, in quanto sopravvivono solamente quelli per cui n=m:

procedendo infine

( ) ( )

si perviene alla costante Cn esprimibile mediante la relazione

( ) ( )

si è certamente in grado di esplicitare gli integrali presenti nella (10), infatti dalla letteratura riguardo le funzioni di Bessel si trova che gli integrali di cui sopra sono riconducibili alle due forme di seguito riportate:

1

( ) [

'

( ) ]

2 22

[ ( ) ]

2

si procede analizzando uno per volta ciascun degli integrali definiti summenzionati:

dunque si inizia con lo svolgere l’integrale definito

LxJ

( )

nxdx

0 2 λ

ν

che deve essere ricondotto alla forma (11) tramite la sostituzione e derivazione seguenti

L

t= x con 0≤ t≤1 e , L dt= dx

difatti si osserva che

è pertanto possibile ottenere la relazione cercata

( ) ( )

che può essere ulteriormente semplificata ricordando la relazione

[ ( ) ] ( )

J

( )

x

Ci si comporta in maniera analoga per i due integrali presenti al numeratore nella (10), entrambi riconducibili alla forma (12); si osserva che per l’integrale espresso come:

tramite la sostituzione vista in precedenza, si ricava

( ) ∫ ( ) ( ) ∫ ( )

per cui, si giunge all’espressione riportata di seguito

( ) ( )

ed analogamente per l’integrale

Lx +J

( )

nxdx

in definitiva si è adesso in possesso di tutti gli elementi necessari alla descrizione quantitativa del campo di temperatura T presente sulla paletta, con

( ) ( ) ( )

x yx yx

CA C A PI P I TO T OL LO O 4 4

SOLUZIONE ESATTA DEL MODELLO

4.1 Soluzione numerica

Allo scopo di ricavare la soluzione esatta si è fatto uso del software della Mathworks MATLAB 5.2, un potente linguaggio di programmazione per il calcolo tecnico, che integra all’interno del proprio ambiente di lavoro, gli strumenti atti sia al calcolo che alla visualizzazione grafica dei risultati. Per arrivare alla soluzione su procede nella maniera sottoesposta: innanzitutto si riprende in esame l’equazione (9), espressa come segue:

( ) ( )

0

1

=

+

n n

n

L J

L

p J λ

λ λ

ν ν

rappresentando la relazione precedente nella forma fn)= pJν

( )

λnL −λnJν+1

(

λnL

)

0 50 100 150 200 250 300 350

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

λn

f(λn)

fig. 4.1 grafico della funzione f(λn).

quindi si studia la funzione fn), di cui è mostrato il grafico. Si deduce che una soluzione è certamente quella banale λ =0(essendo infatti Jν

( )

0 =0). Ma questa