Soluzione numerica

4.1 Soluzione numerica

Allo scopo di ricavare la soluzione esatta si è fatto uso del software della Mathworks MATLAB 5.2, un potente linguaggio di programmazione per il calcolo tecnico, che integra all’interno del proprio ambiente di lavoro, gli strumenti atti sia al calcolo che alla visualizzazione grafica dei risultati. Per arrivare alla soluzione su procede nella maniera sottoesposta: innanzitutto si riprende in esame l’equazione (9), espressa come segue:

( ) ( )

⁰

1

=

−

+

n n

n

L J

L

p J λ

λ λ

ν ν

rappresentando la relazione precedente nella forma f(λ_n)= pJ_ν

( )

λ_nL −λ_nJ_ν+1

(

λ_nL

)

0 50 100 150 200 250 300 350

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

λ_n

f(λ_n⁾

fig. 4.1 grafico della funzione f(λn).

quindi si studia la funzione f(λ_n), di cui è mostrato il grafico. Si deduce che una soluzione è certamente quella banale λ =0(essendo infatti J_ν

( )

0 =0). Ma questa

non è l’unica soluzione, bensì esistono infiniti λn che annullano l’equazione (9), occorre dunque ricavare tali autovalori λn. Dallo studio di tale relazione, si ha la chiara conferma che gli autovalori λn sono in numero infinito, e che la loro periodicità è variabile. Si riportano di seguito i grafici relativi a tali autovalori ed il loro valore numerico, relativi a dei parametri di input di tentativo.

0 100 200 300

-100 0 100

λf(ⁿ )

λ₀

0 100 200 300

-100 0 100

λf(ⁿ )

λ₁

0 100 200 300

-100 0 100

λf(ⁿ )

λ₂

0 100 200 300

-100 0 100

λf(ⁿ )

λ₃

0 100 200 300

-100 0 100

λ_n λf(ⁿ

)

λ₄

0 100 200 300

-100 0 100

λ_n λf(ⁿ

)

λ₅

fig. 4.2 autovalori λn della funzione f(λn).

i valori numerici di tali autovalori e dei rispettivi coefficienti di Fourier sono mostrati in tabella

n λn Cn

0 0 non definito 1 24,8445 -183,2815 2 62,0224 0,3857 3 94,0662 -0,0253 4 126,5617 6,9163·10^-4 5 158,2985 -4,8168·10^-4

Tabella 4.1 autovalori e corrispondenti coefficienti di Fourier.

Si è ora in grado di scrivere la soluzione completa in quanto, si sfrutta il fatto che solo i primi termini sono significativi. Difatti incrementando il valore di λn, il

corrispondente coefficiente di Fourier Cn decresce rapidamente, ed al contempo si ha l’effetto sinergico del fatto che elevati valori di λn appiattiscono la curva ψ verso valori nulli. Si ha pertanto la possibilità di troncare lo sviluppo in serie ai primi termini, senza incorrere in gravi imprecisioni, anche se in questa sede si prosegue lo sviluppo a i primi 5 termini. Operando in questo modo si ottiene una espressione del tipo

con le costanti Cn espresse come:

( ) ( )

per cui si ottiene

( )

come dati di input di default, cui si riferiscono i diagrammi sotto riportati, sono stati utilizzati:

Mentre per quanto riguarda le dimensioni della paletta si considera un rapporto L l pari a

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 l

L 0.9 1.0 1.1 1.2

Fissato L=0.1, e b=0.02 [m]. In base a tale sviluppo si ha una soluzione ψ(x,y) con il corrispondente grafico delle curve di livello isoterme, come riportato di seguito:

fig. 4.3 grafico 3D e curve isoterme della soluzione ψ(x,y) caso 1.

mentre la soluzione completa Θ(x,y), e le corrispondenti curve di livello isoterme sono come mostrato in figura:

fig. 4.4 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 1.

Supponendo ora che, in corrispondenza del bordo d’attacco la paletta, invece di ricevere un flusso radiativo luminoso, venga raffreddata per convezione mediante acqua, con una sottrazione di calore pari a q1”

=-100000 [W/m²], si ottiene:

fig. 4.5 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 1 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

In maniera analoga per come fatto sopra si opera variando i parametri geometrici d’ingresso, ed in particolare il rapporto L/l, ricavando così la tabella seguente:

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

0,9 1,0 1,1 1,2

n λn Cn Cn Cn Cn

1 24,8445 -183,2815 -143,3873 -112,0468 -87,4945 2 62,0224 0,3857 0,2074 0,1116 0,0600 3 94,0662 -0,0253 -0,0098 -0,0038 -0,0015 4 126,5617 6,9163·10^-4 1,9509·10^-4 5,5027·10^-5 1,5521·10^-5 5 158,2985 -4,8168·10^-4 -9,8919·10^-6 -2,0314·10^-6 -4,1717·10^-7

Tabella 4.2 autovalori e coefficienti di Fourier per i casi considerati.

Di seguito si riportano le soluzioni relative ai casi succitati, in presenza rispettivamente di irraggiamento luminoso sul bordo d’attacco, o di refrigerazione, localizzata sempre sul bordo d’attacco.

l L

fig. 4.6 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 2.

fig. 4.7 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 2 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

fig. 4.8 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 3.

fig. 4.9 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 3 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

fig. 4.10 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 4.

fig. 4.11 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 4 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

di seguito si riporta una ulteriore serie di prove, ottenute dimezzando i flussi termici radiativi.

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

0,9 1,0 1,1 1,2

n λn Cn Cn Cn Cn

1 24,8445 -167,5562 -131,0849 -102,4333 -79,9876 2 62,0224 0,3499 0,1882 0,1012 0,0544 3 94,0662 -0,0231 -0,0090 -0,0035 -0,0014 4 126,5617 6,3114·10^-4 1.7802·10^-4 5.0214·10^-5 1.4164·10^-5 5 158,2985 -4,4052·10^-5 -9,0465·10^-6 -1,8578·10^-6 -3,8152·10^-7 Tabella 4.3 autovalori e coefficienti di Fourier per i casi considerati.

l L

inoltre si riportano, come fatto in precedenza, le soluzioni relative all’irraggiamento luminoso, ed alla refrigerazione sempre sul bordo d’attacco.

fig. 4.12 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 1.

fig. 4.13 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 1 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

fig. 4.14 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 2.

fig. 4.15 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 2 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

fig. 4.16 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 3.

fig. 4.17 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 3 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

fig. 4.18 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y), caso 4.

fig. 4.19 grafico 3D e isoterme della soluzione Θ(x,y) caso 4 nel caso di refrigerazione sul bordo d’attacco.

4.2 Conclusioni

La tendenza, da parte dei costruttori, di innalzare la temperatura estrema del ciclo joule di turbina a gas, ha portato ad esasperare le già estremamente severe condizioni in cui si trovano ad operare le palette di turbina.

Nell’ottica dello studio di tali particolari condizioni, s’inserisce l’elaborato di tesi, incentrato sullo studio del campo di temperatura nelle palette di turbogas.

1. È stata individuata una soluzione esatta del campo di temperatura nelle palette di turbogas, ricorrendo solamente a minori semplificazioni quasi 2-D.

2. È stato realizzato un codice di calcolo semplice con il software MATLAB, che consente di valutare T(x,y) assegnate diverse geometrie e condizioni al contorno di flusso termico radiativo e convettivo.

3. l’approccio seguito consente uno studio preliminare della T della lega metallica qualora si voglia ricorrere a soluzioni costruttive di barriera termica del tipo:

barriera termica

fig. 4.20 possibili soluzioni costruttive di barriera termica.

4. se il ∆T all’interno della pala supera i 50 °C, o la geometria delle soluzioni studiate per il raffreddamento (canalizzazioni interne) è molto complessa, è necessario ricorrere a soluzioni ottenute mediante codici di calcolo approssimati agli elementi finiti o alle differenze finite.

Per la sua stessa natura di "work in progress", il lavoro di tesi in oggetto è dunque passibile di notevoli sviluppi, miglioramenti e/o complicazioni.

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www.came-gt.com/third-orkshop/1%20Turbomachinery/05%20Karsten%20Kusterer.pdf

[10] T. v. Karman, M. A. Bìot: "Metodi Matematici nell’Ingegneria"; Torino:

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www.mathworks.com/moler/

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xoomer.virgilio.it/gciabu/matlab

Nel documento UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA (pagine 94-108)