L'opera

Riportiamo di seguito le premesse dell'Ottica con alcuni commenti per un piccolo assaggio della struttura e del contenuto dell'opera.

1. Sia posto che: i segmenti rettilinei tracciati a partire dall'occhio si portino ad una distanza tra loro di grandi dimensioni1.

2. E che la gura formata dai raggi visuali sia un cono avente il vertice nell'occhio e la base sui contorni delle cose viste.

3. E che siano viste quelle cose sulle quali incidono i raggi visuali, mentre non siano viste quelle sulle quali i raggi visuali non incidono.

4. E che le cose viste sotto angoli più grandi appaiano più grandi, quelle [viste] sotto [angoli] più piccoli più piccole, e uguali quelle viste sotto angoli uguali.

5. E che le cose viste sotto raggi più alti appaiano più in alto, quelle [viste] sotto [raggi] più bassi più in basso.

6. E allo stesso modo che le cose viste sotto raggi più a destra appaiano più a destra, quelle [viste] sotto [raggi] più a sinistra appaiano più a sinistra.

7. E che le cose viste sotto un maggior numero di angoli appaiano con miglior risoluzione.

Euclide parla perciò di raggi visivi, cioè raggi uscenti dall'occhio e forman-ti un cono visivo, che rappresenta geometricamente come semirette. Inoltre, dato un segmento (che rappresenti una grandezza reale), concepisce un an-golo visivo come un anan-golo formato dai due raggi passanti per gli estremi del segmento. Inne, all'interno del cono presuppone una distribuzione discreta dei raggi visivi, e di conseguenza anche l'esistenza di un angolo visivo mini-mo, al di sotto del quale nulla può essere visto. Una parafrasi delle premesse è la seguente:

• I raggi visivi si propagano radialmente dall'occhio e si stendono lontano quanto si vuole (premessa 1).

• I raggi visivi formano un cono (premessa 2).

• Vi è una visione attiva per gli angoli visivi (premesse 2 e 3).

• La dimensione apparente degli oggetti è funzione dell'angolo visivo (premessa 4).

• La stima della posizione relativa degli oggetti è funzione della posizione dei raggi che formano l'angolo visivo (premesse 5 e 6).

testo A, di cui qui si fa la traduzione ha letteralmente : Si ponga che i segmenti rettilinei tracciati a partire dall'occhio si portino a distanza di grandi grandezze. Il testo B porta invece : Supponiamo che : i raggi visuali si proiettino dall'occhio in linea retta facendo un certo intervallo tra loro. Ora, che Euclide da qualche parte stabilisca che i raggi sono discreti, cioè distanziati tra loro, è certamente necessario : sia la premessa 7 che numerosi teoremi fanno uso di questo fatto e non sarebbero comprensibili altrimenti. La maggiore chiarezza del testo B in questo punto, rispetto ad A, è uno degli argomenti usati per sostenere la attribuzione ad Euclide del testo B invece che dell'A.

• La risoluzione visiva è funzione del maggiore o minore numero di angoli sotto cui viene visto l'oggetto (premessa 7).

Per capire l'utilità della premessa 3, occorre collocare storicamente l'o-pera: lo studio dell'ottica era molto diuso in epoca ellenistica e strettamente intrecciato a losoa e metasica. Vi erano inoltre più teorie contrapposte della percezione visiva. Le più importanti erano quelle emissioniste (Empedo-cle e Platone), secondo le quali si possono vedere solo gli oggetti che vengono colti attivamente dai raggi visivi che partono dall'occhio, e quelle estromissive (Democrito e Aristotele), le quali enunciavano che dagli oggetti si staccavano delle immagini che direttamente o indirettamente imprimevano sull'occhio la forma che contenevano. In questo modo la visione risultava passiva e non dipendeva dall'incidenza dei raggi visivi sull'oggetto. Con la premessa 3, quindi Euclide aerma di abbracciare la teoria emissionista.

Notiamo inoltre che la modellizzazione del raggio visivo come semiretta non prevede un verso, ma solo una direzione e quindi resta valida, oltre che per la teoria emissionista, anche per l'ottica geometrica moderna, in quanto si può sostituire il raggio visivo uscente dall'occhio con un raggio di luce entrante nell'occhio.

Bibliograa

[1] F. Enriques, Lezioni di geometria proiettiva, Zanichelli, Bologna 1909. [2] E. Vitti, M. Folchi, Il meccanismo della visione, Bovolenta, Ferrara 1992. [3] L. Giussani, Il rischio educativo, SEI, Torino 1995.

[4] M. H. Eggar, Pinhole Cameras, Perspective, and Projective Geometry, in The American Mathematical Monthly, Vol. 105(1998), fasc. 7, pp. 618-630.

[5] G. Zwirner, L. Scaglianti, Funzioni in R2, Esponenziali, logaritmi, algebra lineare, CEDAM, Padova 1998.

[6] Commission de réexion sur l'enseignement des mathématiques, Rapport d'étape sur la géométrie et son enseignement, Bull. APMEP 430(2000), pp. 571-599.

[7] E. Sernesi, Geometria 1, Bollati Boringhieri, Torino 2000.

[8] G. Ottaviani, Riessioni sulla geometria e sul suo insegnamento oggi, Atti Matematica, formazione scientica e nuove tecnologie, Montevarchi 2001.

[9] AA.VV., Visualizzazione, in Matemilano -percorsi matematici in città, pp. 60-79, Springer, 2003.

[10] Commissione Italiana per l'Insegnamento della Matematica, MATE-MATICA 2003 - Attività didattiche e prove di verica per un nuovo curriculo di Matematica - Ciclo secondario, in Quaderni del MIUR. [11] Matematica, Scuola, Società, Atti XXIV Convegno Nazionale

sul-l'Insegnamento della Matematica, Acireale (CT), 21-23 ottobre 2004.

[12] L. Catastini, F. Ghione, Le geometrie della visione, Springer, Milano 2004.

[13] G. Martini, Fondamenti di geometria descrittiva e applicazioni, CLITT, Roma 2005.

Ringraziamenti

Desidero ringraziare per primi il prof. Ottaviani che mi ha mostrato enorme stima e mi ha dato un sostegno e un aiuto più che valido nell'arontare questo lavoro di tesi e la prof.ssa Rigato, dalla quale ho potuto imparare molto e senza la disponibilità della quale la mia tesi non avrebbe avuto un riscontro nell'esperienza.

Ringrazio al pari i miei genitori (e tutta la mia famiglia) per avermi sostenuto in tutti i modi a loro possibili in questi (molti) anni di università: non mi hanno mai fatto pesare il fatto di aver avuto delle dicoltà, ma hanno sempre creduto nelle mie possibilità, mostrandomi di avere a cuore la mia felicità, senza lasciarsi vincere dal dubbio che realmente potessi arrivare in fondo, incoraggiandomi anche a continuare gli studi dopo la triennale.

Considerato che otto anni in università non sono pochi, e di incontri ne ho fatti davvero tanti, mi perdoneranno coloro che non saranno citati, ma che non dimentico aatto. Ringrazio i miei `compagni di avventure' di questi anni all'università.

Per primi i matematici e gli informatici, miei compagni di studio, di elezioni e iniziative varie dentro l'Ulisse Dini, e tutti coloro senza i quali il dipartimento sarebbe stato un edicio più grigio di tanti altri: Francesca Salvi, Francesca Buttazzo, Chiara Milone, Daniele Falassi, Caterina Paolet-ti, Antonio Tognon, Mauro, Emanuele, Liliana (il `padrino'), Vik, Sara Cin-tolesi, Claudio Orlandi, Irene Lodone, Margherita Scarpelli, Sara Barontini, Valentina Boccini, Marta Menci, Elisa, Dimitri, , Monica Tursi, Valentina Bartolo (che in questo momento forse sta partorendo, bellina!), Gaia e Si-mone (fedeli compagni in biblioteca di questi tempi), Valentina e Manuele. Ringrazio anche i ragazzi del Collettivo di Scienze perché in questi anni han-no sempre cercato di rendermi `mehan-no han-noiosa' e `mehan-no tranquilla' la vita con la loro estrema simpatia e, loro malgrado, sono stati occasione per una crescita sempre più grande.

Ringrazio inoltre tutti gli amici di Scienze che non ho ancora citato e in modo particolare l'Alessia, il Just, Ale Matteucci, la Ciccia, Sigward, Farini, Sfrosali, Silvio, il Frosky, la Laura (la nostra biondissima segretaria), Bausi (il nostro un po' meno biondo segretario), Ale Murri, Pp e lo Spina (che alla ne ho battuto!), Matilde (le iniziative!), Lore Ghignone, Chiara Sciabolini, Tommaso Favalli, il Dino, il Mascio, il Bongio, Eleonora, Lore Bartolini, Ale Breschi, Valeria, Carolina, Serena.

Ringrazio gli Ingegneri, i `vicini di casa' con i quali ho condiviso a lungo gioie e dolori, lodi, angelus, pranzi a mensa e serate: Black, Ivan, Lucia, Camilla Fabbri, Francesca Magnanini, i'Bazzica, il Fons e il Tassi, Lore Usai, Giova Fabbri, Alex e Andrea Mancini, Beppino, Beppone, Simone Paiano, il Gama, il Maresca.

Ringrazio `quelle dell'appa' senza la cui presenza la mia vita non sarebbe stata sicuramente così intensa e che in modo particolare mi hanno sopportato

negli ultimi due anni: Francesca, Letizia, Vanessa e Lucia.

Ringrazio la Mile e la Nico (cosa sarebbe stata Czestochowa senza di voi!), Rachele per i momenti passati insieme e perché la musica è tutta un'altra cosa adesso, il maestro Belli e la Gine per la loro profonda sensibilità e le loro immancabili domande, Ionela, `il mio pagliaccetto', per la sua dolcezza. Un ringraziamento speciale al Bella per la pazienza e la carità con cui mi ha guardata in questi anni mentre percorrevo la mia strada e al don Giuss per aver detto Sì dando inizio a tutta questa trama di rapporti.

Inne ringrazio i bibliotecari di Matematica: Silvana, Nuccia, Laura e Paolo per avermi fatto sentire n dall'inizio del servizio civile un po' come a casa e che mi hanno permesso, nei momenti più duri, di salvaguardare il lavoro della tesi.