Quarta lezione: geometria proiettiva

26-02-09: 20 studenti presenti.

La lezione di oggi era senz'altro la più impegnativa delle quattro in quanto dovevo introdurre la geometria proiettiva vera e propria. Inoltre la prof. Rigato mi aveva esplicitamente chiesto di spiegare e far svolgere degli esercizi sul teorema di Desargues oltre che arrivare a parlare delle proiettività, in modo che lei potesse introdurre meglio le anità.

L'esercizio lasciato per casa la volta precedente non era stato svolto: solo due o tre di loro lo avevano iniziato; perciò ho semplicemente fatto vedere la soluzione e poi ho cominciato subito la lezione.

Alla domanda: Conoscete situazioni in cui l'oggetto da proiettare è tra il punto da cui si proietta e il piano? le risposte che davano erano complicate: Si ottiene una proiezione dell'oggetto oppure I due oggetti sono simili e a nessuno sono venute in mente le ombre, ad esempio.

Invece alla seconda domanda: E situazioni in cui il punto da cui si proietta è tra l'oggetto e il piano?, un ragazzo ha subito detto l'occhio, mentre altri hanno detto le simmetrie centrali.

Erano piuttosto incuriositi dal funzionamento della camera oscura. Nel tentativo di generalizzare a punti tra l'occhio e il quadro o dietro l'occhio, quando si parlava degli intorni dei punti all'innito, qualcuno ha avuto l'in-tuizione che se invece di porci su una retta, ci ponessimo su un piano, si

potrebbero trovare due rami di iperbole. Io ho preso al balzo quell'osser-vazione per dire che non basta un punto, ma prendendo una circonferenza, con la retta all'innito passante per un diametro, si potrebbero avere due ra-mi di iperbole. Non solo, ho aggiunto anche che proiezioni della circonferenza danno origine alle coniche.

Dopo aver introdotto i punti all'innito e denito dunque il piano proi-ettivo, ho dimostrato le osservazioni

Per due punti distinti passa una e una sola retta e Ogni coppia di rette ha un (solo) punto in comune, vericando se stavano capendo i passaggi che facevo.

Nella prima osservazione, non è risultato immediato il perché per un punto all'innito e per uno al nito passi una e una sola retta, mentre gli altri due casi erano più evidenti. Invece nella seconda osservazione non sapevano dirmi perché il punto di intersezione all'innito fosse unico. Questo penso che sia imputabile al fatto di non aver ancora capito a fondo (glielo avevo appena spiegato, del resto) la denizione di punto di fuga come direzione di una retta.

Poi ho introdotto gli oggetti geometrici: retta, segmento e triangolo. Dopo aver visto i corrispondenti ani di segmento e triangolo [ad un ragazzo non era chiaro subito come mai se la retta all'innito passa per un lato , allora il triangolo è aperto senza il terzo lato], a seconda della posizione dei punti all'innito, ho fatto svolgere l'esercizio sul quadrato. Non è risultato facile per tutti: in particolare il primo punto l'hanno svolto abbastanza bene, mentre per il secondo punto hanno avuto delle buone intuizioni, ma non sono riusciti a svolgerlo perfettamente. Di questo secondo punto ho fatto disegnare alla lavagna tre soluzioni diverse, ognuna delle quali non era giusta perché non teneva conto di un fattore. Dopo la correzione, lo svolgimento era più chiaro a tutti. L'immagine 2.1 riporta quello che hanno disegnato alla lavagna.

Da qui in poi i tempi si sono ristretti. Era rimasta l'ultima ora di lezione e la professoressa aveva particolarmente a cuore le proiettività. Quindi ho introdotto lo spazio proiettivo, le sue proprietà, e ho mostrato cosa vuol dire che due triangoli sono omologhi abbastanza rapidamente, facendo no-tare loro che il legame tra due triangoli omologhi è più generale di quello che c'è, ad esempio, tra due triangoli simili. Poi ho raccontato le dimostrazioni del teorema di Desargues e del suo inverso, senza scendere in troppi det-tagli. In seguito ho spiegato come fare la proiezione di un punto qualsiasi del piano, una volta noti il centro di proiezione, un asse e la proiezione di un altro punto. In questo modo sarebbero stati in grado di svolgere gli es-ercizi che ho subito assegnato. Il primo eses-ercizio in eetti è stato risolto correttamente, mentre nessuno ha avuto l'idea per svolgere il secondo (che era nettamente più dicile): è venuto un ragazzo alla lavagna con il quale abbiamo risolto l'esercizio, grazie a qualche suggerimento; alla ne lui ha ripercorso e rispiegato il procedimento a tutti, mostrando di aver capito.

Figura 2.1: Soluzioni riportate dai ragazzi per l'esercizio sul quadrato proiettivo.

Inne siamo arrivati alle proiettività: ho detto loro che Piero della Francesca, pur non sapendolo, aveva realizzato un'omologia, che si poteva costruire, oltre al modo con cui avevamo già visto la volta precedente, con il teorema di Desargues. Abbiamo visto esempi di proiezioni parallele (ho fatto l'esem-pio del sole che illumina gli oggetti), e di quelle centrali, che erano quelle che avevamo visto di più anche con la prospettiva.

L'ultimo teorema, che riepilogava e riuniva la costruzione di una pavi-mentazione e le proiettività, risultava un po' dicile da spiegare ed è stato compreso grazie al fondamentale uso delle animazioni del [12].

Considerazioni nali:

• Questa lezione era senz'altro la più impegnativa per tutti: i concetti non erano immediatamente compresi e gli esercizi sono risultati più dicili. Tuttavia era anche quella che introduceva concetti realmente nuovi dal punto di vista matematico e perciò, credo che fosse più at-trattiva per quelli che sono appassionati di matematica [e in quella classe erano tanti].

• Far dire tutte le soluzioni da loro date agli esercizi è davvero utile per tutti. Si impara e si capisce anche meglio dagli errori propri e degli altri.

• La prof. Rigato era complessivamente soddisfatta e ha commentato scherzando: Il prossimo anno ti chiamo per rifarlo, classe permetten-do...