Proiettività

Denizione 11. Una trasformazione proiettiva (o proiettività) di α in β è una trasformazione biunivoca, continua, che conserva l'allineamento.

Un esempio molto signicativo di trasformazione proiettiva è la proie-zione centrale, perché con questa è possibile costruire ogni altra trasfor-mazione: si può infatti dimostrare che ogni altra trasformazione proiettiva di un piano in un altro si ottiene eseguendo al più tre proiezioni centrali.

Tra le trasformazioni proiettive rientrano anche le omologie che sono trasformazioni proiettive di un piano α in se stesso con una retta ssa pun-to per punpun-to, detta asse dell'omologia. Abbiamo già vispun-to un esempio di queste trasformazioni: la costruzione di Piero della Francesca per realizzare la rappresentazione prospettica del piano di terra.

Nella categoria delle trasformazioni proiettive rientrano anche le trasfor-mazioni conformi ossia le trasfortrasfor-mazioni di un piano α in un piano β che conservano gli angoli (e l'allineamento cioè l'angolo piatto). Esse possono essere interamente costruite conoscendo solo l'immagine A0 e B0di due punti (distinti) A e B di α.

Teorema 12. Dati due piani proiettivi α e β, una trasformazione proiettiva F di α in β è univocamente determinata conoscendo l'immagine di quattro punti di α a tre a tre non allineati.

Dimostrazione. Diamo qui solo un'idea della dimostrazione, che costituisce se vogliamo anche un metodo `moderno' per costruire in modo prospettica-mente corretto una pavimentazione.

Consideriamo un quadrangolo ABCD del piano α e siano A0, B0, C0, D0

le immagini dei quattro vertici. A partire da questo dato possiamo ricavare

anche le immagini di altri punti sfruttando il fatto che la corrispondenza conserva l'allineamento.

Diciamo che un punto è costruibile (a partire dal quadrangolo iniziale A,B,C,D) se si ottiene come intersezione di rette passanti per punti già costruiti.

Il punto P, ad esempio, intersezione delle diagonali, sarà un punto costrui-bile come anche i punti ottenuti intersecando i lati opposti del quadrangolo. Dei punti costruibili possiamo calcolare l'immagine. Il punto P, ad esem-pio, avrà come immagine il punto P0 ottenuto intersecando A0C0 con B0D0

il quale quindi è determinato univocamente da A0, B0, C0, D0.

Il problema quindi si riduce a quello di costruire una maglia di punti costruibili che invada l'intero piano e che sia sempre più tta. Si può pro-cedere nel modo seguente: dato il quadrangolo ABCD lo dividiamo in 4 parti (e dividiamo in quattro ogni divisione e la divisione delle divisione, e così via) inttendo arbitrariamente la rete interna al quadrangolo. In questo modo, dato un qualunque punto P interno al quadrangolo, possiamo costrui-re una successione di quadrangoli sempcostrui-re più piccoli, uno incluso nell'altro che contengono il punto P. Il punto P0 dovrà essere a sua volta individuato dai quadrangoli corrispondenti che a loro volta, per continuità, tendono a diventare sempre più piccoli.

Per trovare l'immagine di un punto P che sia esterno al quadrangolo pos-siamo con un numero nito di passi trovare un nuovo quadrangolo costruibile che contenga il punto P al quale poter applicare la costruzione precedente. Possiamo infatti, usando punti costruibili, aggiungere un altro quadrangolo adiacente a quello dato lungo uno qualunque dei lati e poi aggiungerne un altro e un altro ancora e così di seguito no a costruire una rete che arrivi a qualunque punto al nito o all'innito del piano.

Questo per mostrare come si possano costruire, a partire dai quattro punti iniziali, inniti altri punti, intersecando rette che passano per punti già costruiti.

ESERCIZI

Esercizio 16. Un osservatore si trova in una piazza triangolare di lati uguali. Dire in che punto della piazza dovrà trovarsi anché possa vedere tutti i lati della piazza della stessa dimensione. Motiva la risposta.

Esercizio 17. Dopo avere denito cosa sono i punti di fuga e la linea di orizzonte, disegnarli per gli oggetti seguenti.

Esercizio 18. • Costruire la degradazione del pavimento con mattonelle rettangolari in gura, usando passo passo il metodo di Piero della Francesca a partire dall'immagine seguente (nota che l'esercizio è già cominciato: sono infatti già state disegnate la diagonale, il punto cen-trico O e il punto di distanza D.)

• Determinare l'immagine P0, sul piano del quadro, del punto P, de-scrivendo il procedimento usato per trovarla.

Esercizio 19. • Denire cosa sono punto all'innito, retta all'innito e piano proiettivo.

• Fare uno schizzo dell'esagono ABCDEF rappresentando anche i suoi punti all'innito come tali nei casi seguenti (r denota la retta all'in-nito del piano):

Esercizio 20. Dati l'esagono ABCDEF, il centro di proiezione O, l'asse r, una retta a e la sua omologa a0 (come in gura), determinare l'omologo

TEST FINALE

Liceo Scientico L. da Vinci, classe IV H

Esercizio 21. Supponiamo che in un giardino ci sia un'aiuola a forma di esagono regolare, circondata da una strada (come nella gura a sinistra). Un osservatore che vi si trovi dentro, in che punto dell'aiuola vedrà tutti i lati dell'aiuola della stessa dimensione? Motiva la risposta.

Se poi l'aiuola viene divisa da alcune stradicciole (come nella gura a destra), un osservatore che si trovi in uno degli spicchi triangolari, in che punto vedrà tutte uguali le tre stradicciole che delimitano lo spicchio? Motiva la risposta.

Esercizio 22. Dopo avere denito cosa sono i punti di fuga e la linea di orizzonte, disegnarli per gli oggetti seguenti.

Esercizio 23. • Costruire la degradazione del pavimento con mattonelle quadrate in gura, usando passo passo il metodo di Piero della Francesca a partire dall'immagine seguente (nota che l'esercizio è già comincia-to: sono infatti già state disegnate la diagonale, il punto centrico O e il punto di distanza D).

• Determinare l'immagine P0, sul piano del quadro, del punto P, de-scrivendo il procedimento usato per trovarla.

Esercizio 24. • Denire cosa sono punto all'innito, retta all'innito e piano proiettivo.

• Fare uno schizzo dei segmenti AB e BC rappresentando anche i punti all'innito come tali nei casi seguenti (r denota la retta all'innito del piano):

Esercizio 25. Dati il quadrato ABCD, il punto di proiezione O l'asse r e le rette a e a0 che si intersechino sull'asse r (come in gura), costruire il quadrato A0B⁰C⁰D⁰ omologo ad ABCD.

Esercizio 26. (facoltativo) Vericare che ne L'annunciazione di Domeni-co Veneziano la degradazione delle Domeni-colonne a destra è stata fatta usando il modo ottimo di Alberti.

Capitolo 2

Svolgimento eettivo della

sperimentazione

Le lezioni, di due ore ciascuna, si sono svolte per quattro settimane conse-cutive nel periodo dal 5-02-09 al 26-02-09 ed erano rivolte alla classe IV H (sperimentazione PNI) del Liceo Scientico Statale L. da Vinci di Firenze. All'inizio della prima lezione è stato fatto un test d'ingresso per vericare che i ragazzi avessero i prerequisiti necessari e per conoscerli un po', mentre a seguito del ciclo di lezioni (circa 15 giorni dopo) c'è stato un test nale per vedere le conoscenze che avevano acquisito. Come strumenti di supporto, in-ternamente a delle lezioni frontali, sono stati usati delle presentazioni power point contenenti anche immagini, foto, dipinti, animazioni (sia preparate da me che riprese dal libro Catastini-Ghione) e dispense con esercizi preparate appositamente, riportate nel capitolo precedente. Inoltre le lezioni erano in-terattive: ponevo loro delle domande, così che talvolta venivano fuori anche veri e propri dibattiti. Inoltre, poiché l'argomento si prestava ad essere trat-tato per certi aspetti da un punto di vista strettamente matematico e per altri invece da uno puramente storico-artistico, le lezioni si sono svolte in collaborazione sia della professoressa di matematica sia del professore di dis-egno e storia dell'arte. Durante le lezioni di matematica, perciò, studiavamo gli aspetti più geometrici, con relativi esercizi e dimostrazioni; invece, du-rante le lezioni di disegno e storia dell'arte, approfondivamo la prospettiva, provando anche con foglio e squadre i vari metodi, e andando a scoprire i pittori che ne facevano uso grazie alla visione di alcuni dipinti.

2.1 Diario di bordo

I paragra seguenti contengono, sottoforma di diario, ciò che ho potuto scoprire sul campo ed eventuali commenti relativi all'esperienza fatta nelle singole giornate.

2.1.1 Prima lezione: test di ingresso e geometria della