Rappresentare una scatola rettangolare in prospettiva 122

Passiamo dalla rappresentazione di una pavimentazione, ossia un oggetto piano, in prospettiva a quella di una scatola, ossia un oggetto tridimensionale. Essa potrebbe essere disegnata, ad esempio come in gura 3.14.

Proposizione 3. Siano A, B, C, D, S cinque punti in una qualsiasi po-sizione su un piano e siano X = AD ∩ BS e Y = BD ∩ AS. Prendia-mo un qualsiasi punto Z su DC e siano R = CX ∩ AZ, Q = CY ∩ BZ,

P = RY ∩ SZ. Allora X, P , Q sono allineati.

Dimostrazione. La dimostrazione è una conseguenza immediata del teorema di Desargues. Infatti, basta osservare che i triangoli RCQ e ADB sono omologhi e in prospettiva da Z; quindi, posto K = AB ∩ RQ, X, Y e

K sono allineati per il teorema di Desargues. Ma anche RP Q e ASB sono omologhi e in prospettiva da Z, perciò, per lo stesso motivo, Y , K e P Q∩SB sono allineati.

Dunque X = P Q ∩ SB, perché entrambi questi punti sono punti di intersezione delle rette Y K e BS.

Figura 3.14: Rappresentazione prospettica di una scatola.

Notiamo che questa dimostrazione sarebbe di dicile visualizzazione se la gura fosse disegnata diversamente, ad esempio scegliendo Z tra C e D.

Inoltre potremmo usare delle ipotesi leggermente diverse da quelle del-l'enunciato della proposizione 3, scegliendo quattro punti arbitrari sul piano

A, B, C, D invece che cinque, richiedendo le scelte di X su AD, di Y su DB e denendo inne S = AY ∩ BX.

3.3.2 Proiezione da un foro stenopeico

Abbiamo già visto che la situazione in cui un artista deve rappresentare un punto sul quadro è schematizzabile come in gura 3.15 sotto, dove E è la posizione dell'occhio, π è il piano della tela e T è il punto da disegnare, cioè

π si trova tra E e T ; nel caso di una foto scattata da una camera obscura, invece, la situazione è quella nella gura 3.15 sopra, in cui la posizione del foro stenopeico E si trova tra il punto dello spazio T fotografato e il piano del lm π. In entrambi i casi, la funzione di proiezione che manda T in

T0 = π ∩ T E denisce una funzione continua da R3 − π0 in π, dove π0 è il piano passante per E parallelo a π. Questa funzione si estende ad una funzione da RP3− {E}a RP2. Qui, il piano π è identicato con R2⊂ RP² e i punti di π0− {E} vengono proiettati nei punti all'innito di RP2, cioè un punto all'innito di RP3 viene mandato nel punto dove la retta per E nella direzione individuata dal punto all'innito incontra π. Questa funzione da RP³− {E} a RP2 è continua e rispetta gli allineamenti, ossia ogni retta in RP3− {E}è mandata in una retta o in un punto in RP2.

Figura 3.15: Sopra lo schema della proiezione fatta da un foro stenopeico; sotto viene schematizzata la proiezione dall'occhio di un artista.

A questo punto, sembra lecito chiedersi se ogni immagine tipo quella in gura 3.14 è realmente ottenuta da una proiezione dall'occhio dell'artista su una tela. Inoltre, in caso aermativo, è interessante scoprire dall'immagine in che modo si possa ricostruire la posizione dell'occhio dell'artista e della tela. Quello appena esposto è un problema analogo a localizzare da una pic-cola parte di una foto fatta con una camera obscura la posizione dalla quale la foto è stata scattata. Analizziamo pertanto questo secondo problema. Supponiamo di avere una fotograa di una scatola scattata con una camera obscura e descriviamo in che modo dall'immagine sia possibile risalire a po-sizione e orientazione della fotocamera e alla distanza tra il foro stenopeico e il lm.

Per studiare il problema geometricamente, ci occorre il seguente risultato: Teorema 15. Siano X, Y , Z tre punti su un piano π di R3. Se tutti gli angoli del triangolo XY Z sono acuti, allora ci sono esattamente due posizioni per un punto E ∈ R3 tali che EX, EY ed EZ sono perpendicolari tra loro. Se invece uno degli angoli di XY Z non è acuto, allora non c'è una tale posizione per E.

Dimostrazione. Consideriamo un triangolo XY Z su π ⊂ R3. Così come nel piano, dati due punti X, Y , il luogo geometrico dei punti E tali che EX⊥EY è la circonferenza di diametro XY , nello spazio il luogo geometrico dei punti

Etali che EX⊥EY è la supercie della sfera di diametro XY . Analogamente

EX⊥EZ quando E sta sulla supercie della sfera di diametro XZ.

Osserviamo che le sfere di diametro XY e XZ si intersecano in una circonferenza γ che ha come punti antipodali X e un qualche X0 ∈ Y Z. Se gli angoli Y ˆXZ e X ˆZY sono acuti, allora abbiamo due casi:

1. X ˆY Z è acuto. Allora X0 si trova tra Y e Z e quindi X0 sta all'interno della sfera di diametro Y Z, mentre X si trova all'esterno. Segue che questa sfera interseca γ in esattamente due punti, che sono le possibili posizioni di E.

2. X ˆY Z non è acuto. Allora

• se X ˆY Z è retto, X0 ≡ Y e la sfera di diametro Y Z interseca γ esattamente in X0 ≡ Y. Segue che non esiste E ∈ R3 tale che

EX, EY ed EZ sono perpendicolari tra loro: infatti ci trovi-amo davanti al caso degenere in cui E ≡ Y è l'unico punto dove

EX⊥EZ e il segmento EY si è ridotto a un punto.

• se X ˆY Z è ottuso, X0 non sta fra Y e Z e la sfera di diametro Y Z non interseca γ. Quindi neanche in questo caso esiste un punto

E tale che EX, EY ed EZ sono perpendicolari tra loro.

Torniamo alla scena e alla sua fotograa. Per la scena scegliamo un sistema di coordinate in R3 con x, y, z paralleli agli spigoli della scatola e con l'origine sul foro E della camera obscura. Il lm sia in un certo piano

π in R3. Nel piano della foto, si possono così costruire i punti X, Y , Z prolungando le immagini degli spigoli paralleli nché non si incontrano.

Notiamo che l'immagine di una qualsiasi retta di R3 parallela ad uno degli spigoli passa per uno tra X, Y , Z e, in particolare, le immagini degli assi x, y e z sono rispettivamente i punti X, Y e Z. Dobbiamo immaginarci qualcosa di simile alla gura 3.17.

Per il teorema 3.16, la posizione di E è determinata rispetto alle posizioni di X, Y , Z su π e, in particolare, la distanza tra il foro stenopeico e il lm coincide con la distanza di E da π. In questa situazione, le due possibili posizioni di E trovate nel teorema 3.16, saranno da riferirsi rispettivamente ai casi della camera obscura e al caso del pittore. Vediamo il primo.

Siano d, a ∈ R3 due vertici adiacenti della scatola e supponiamo che

D, A ∈ π siano le loro immagini nella foto. Supponiamo che X sia il punto di fuga di DA. Posizioniamo la rigida congurazione2 EXY Z,

Figura 3.17: Esempio di fotograa della scatola che potremmo avere in mano per il nostro problema.

dente alla camera obscura, in modo tale che EX, EY , EZ siano parallele ai corrispondenti spigoli della scatola e D si trovi sulla retta dE, con E posto fra d e D. In questa situazione esiste un'unica posizione di EXY Z tale che la retta aE passa per A. Quindi la posizione e l'orientazione della camera obscura in R3 risultano completamente e univocamente determinate in relazione alla scena.

3.3.3 Formula per determinare posizioni reciproche di foro