Principi fondamentali

Innanzitutto ripropongo alcuni principi esposti in [6] che si possono riscon-trare nel metodo adottato per pensare e svolgere le lezioni di questa sperimen-tazione. Gli obiettivi principali per l'insegnamento della geometria secondo la Commissione sono:

• Insegnare a pensare geometricamente, ossia davanti ad un problema insegnare ad essere innanzitutto capaci di fare un disegno (cioè di schematizzare il problema), ad appoggiarsi poi all'intuizione geome-trica che si acquisisce con il disegno nel piano, o che si visualizza nello spazio, per applicarla anche a dei casi più complessi (che saranno meno visibili).

• Insegnare ai ragazzi a vedere nello spazio. Si tratta indubbiamente di uno degli obiettivi essenziali per ogni persona ed è l'aspetto della geometria che si impara per primo (già dalla scuola elementare o dalla scuola dell'infanzia), ma oltre ad una conoscenza familiare iniziale, si inserisce una pratica più propriamente geometrica che permette di

per-fezionare la conoscenza dello spazio. Ciò può essere fatto, ad esempio, con l'aiuto di tre tipi di supporto tecnologico-didattico:

1. L'utilizzo di materiale tridimensionale (poliedri, sfere, ...) con tutto il fascino che possono avere i materiali attuali;

2. L'utilizzo di software di geometria che permettono una visua-lizzazione dinamica e sotto angoli dierenti di una gura dello spazio;

3. L'utilizzo del disegno (prospettiva, modelli, sotto-gure, proiezio-ni, sezioproiezio-ni, ...) che collegano la geometria nello spazio alla geome-tria piana. Sicuramente è più dicile disegnare un oggetto dello spazio, ma d'altra parte qualche volta accade che fare la gura dà la soluzione del problema (pensiamo al teorema di Desargues, ad esempio).

• Insegnare a ragionare. Il ragionamento geometrico è molto più ricco della semplice deduzione formale e l'apprendimento di questo ragio-namento, guidato opportunamente, è molto importante, tenendo pre-sente che può essere abbordato abbastanza presto (alla scuola media); il ragionamento interviene dal momento della formulazione del proble-ma e si possono percepire agilmente le articolazioni di una logica la cui portata è universale. Senza dubbio risulta indispensabile per la formazione scientica degli alunni; occorre tuttavia non sottovalutare due dicoltà:

1. Il ragionamento geometrico non deve essere ridotto all'apprendi-mento formale della dimostrazione: innanzitutto si parte dal-l'osservazione della gura, prima di dar luogo ad un vero lavoro di ricerca, con l'elaborazione di congetture, sottomesse ad un esame critico e alla ricerca di controesempi; in seguito, grazie al lavoro precedente, giustichiamo il risultato in modo convincente con una dimostrazione, mantenendo così un dialogo permanente tra l'intuizione e il rigore. Naturalmente, il confronto degli allievi con dei problemi aperti è molto costoso in termini di tempo e non può essere fatto continuamente, ma resta un obiettivo essenziale che merita di essere richiamato.

2. L'apprendimento della matematica in generale, e della geometria in particolare, è dicile. Necessita, infatti, da parte degli allievi, un investimento intellettuale notevole e uno sforzo che non tut-ti sono prontut-ti a fare, soprattutto se l'insieme del sistema non li incita (al contrario, tutti quelli che, stimolati dall'entusiasmo dei loro professori e dalla bellezza delle gure, hanno gustato questa disciplina, sanno bene quale risorsa di piacere essa possa essere, e non soltanto i matematici di professione che spesso le devono

la loro vocazione). Viceversa, agli insegnanti è richiesto di met-tersi in gioco maggiormente, rischiando ad esempio di bloccarsi o di sbagliare davanti alla classe, nel cercare di risolvere o esporre problemi per via sintetica, come la geometria richiede. E' vero che ogni allievo può trovarsi, di fronte ad un problema di geo-metria, nella situazione angosciante di `seccarsi'. E' una real-tà in cui ciascun matematico, ciascun ricercatore, ciascun uomo, si imbatte quando aronta un problema di cui non conosce la soluzione: cominciare a superare questa dicoltà ci sembra un obiettivo essenziale, e non soltanto per i matematici.

Riguardo a quest'ultimo fatto, occorre che gli insegnanti dicano agli alunni che non bisogna vergognarsi e che valorizzino i loro tentativi; inoltre bisogna che facciano capire (sia con le parole, ma vale molto di più con il proprio esempio) che `seccarsi' è un momento naturale di tutte le attività di ricerca. Occorre in seguito che siano capaci di fornire loro dei metodi di investigazione e di riessione che diminuiscano questa angoscia. Si può infatti imparare a ricercare in modo riessivo e metodico; e questo è un obiettivo al quale val la pena dedicare tempo ed energie.

• Evitare l'obsolescenza. La Commissione ha potuto constatare che certe nozioni prendono, nell'insegnamento, uno spazio sproporziona-to in rapporsproporziona-to alla loro reale importanza matematica divenendo così degli stereotipi nell' insegnamento. Ci sono molte ragioni didattiche per cui avviene questo: il peso dei manuali, la presenza di esercizi fa-cili da valutare, il ruolo del diploma, ecc. Sembra dunque importante, al ne di evitare ciò, fare attenzione al fatto che questi temi e le ap-plicazioni suggerite dai programmi accanto del corpus fondamentale, per quanto siano interessanti, siano periodicamente rinnovate, così che allievi e insegnanti siano nuovamente motivati.

• Dare spazio alle nuove tecnologie. Esistono diversi software di geo-metria che procurano un aiuto considerevole a chi vuole imparare la geometria. Ad esempio, l'utilizzo delle funzioni di tipo traccia e ani-mazione, che alcuni propongono, è molto ecace per la ricerca dei luoghi geometrici (e permette di realizzare delle gure molto belle). Si dispone, perciò, di un nuovo strumento di cui non è il caso di privarsi e che può sbloccare certi allievi scoraggiati dalla dicoltà di questa materia.

Tuttavia occorre stare attenti a due fatti:

1. mettere degli alunni davanti a dei software di geometria non si-gnica che stiano facendo geometria;

2. è ancora più dicile convincere i ragazzi della necessità di di-mostrare una proprietà, dal momento che il software risponde loro che è vera. Perciò l'utilizzo di questi strumenti devono avere come scopo un miglioramento dell'insegnamento e non il contrario.

• Legare la geometria alle altre discipline. Per questo obiettivo, la Com-missione raccomanda più un cambiamento da parte degli insegnanti, che un cambiamento dei programmi. Infatti, i temi unicanti esistono: con la geograa (tutto ciò che riguarda la misura della Terra o dei fenomeni astronomici), con la sica (compreso il legame con cinemati-ca e meccinemati-canicinemati-ca), con le arti plastiche (prospettiva e rappresentazione degli oggetti dello spazio), ecc. Il problema maggiore è senza dubbio a livello della formazione dei maestri (di matematica come di altre disci-pline) che non dà quasi mai le conoscenze necessarie per dialogare con le altre materie (o con gli insegnanti di altre materie), né l'abitudine a questo dialogo.