3. Modelli di diffusione
3.2 Modelli di Diffusione “Classici”
I modelli di diffusione “classici” della letteratura di marketing si sono concentrati solamente sull’aspetto evolutivo, escludendo di fatto la fase della decisione di
acquisto/non acquisto da parte degli individui. In questo senso la decisione di adottare o meno una data innovazione avviene senza ritardo nel momento in cui un membro della popolazione viene in contatto con l’informazione, innescando un meccanismo evolutivo “per contagio”.
In questo filone di studio i modelli di rifermento sono essenzialmente tre: il modello esterno di Fourt e Woodlock, il modello interno di Mansfield, e il modello di Bass. Di seguito vengono presentati sinteticamente le principali proprietà di tali modelli.
3.2.1 Il Modello Esterno di Fourt & Woodlock
Il modello ideato da Fourt e Woodlock (1960) si basa sulla premessa che una notizia riguardante una determinata tecnologia sia diffusa in maniera omogenea e ad intensità constante in una popolazione bersaglio di ampiezza costante nel tempo. La decisione di acquisto è subordinata al propagarsi dell’informazione nella popolazione. Il modello è definito in funzione di tre variabili: il tempo, la popolazione suscettibile, ovvero l’insieme degli individui interessati dal processo di contagio (m – Yt) e il tasso
istantaneo di adozione α.
L’equazione che spiega il meccanismo evolutivo è data da: 𝑌̇(𝑡) = 𝛼(𝑚 − 𝑌𝑡)
La formula presentata è un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine, la cui soluzione generale, completata con la condizione iniziale Y(t=0) = Y0 è
{𝑌(𝑡) = 𝐾𝑒
−𝛼𝑡+ 𝑚
𝑌(0) = 0 Da cui otteniamo la soluzione
𝑌(𝑡) = 𝑌0+ (𝑚 − 𝑌0)(1 − 𝑒𝛼𝑡)
che per Y(0) = 0 riduce a:
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L’evoluzione nel tempo delle adozioni cumulative descrive una curva crescente e concava che termina nel punto di saturazione del mercato, m che rappresenta
l’equilibrio di lungo periodo del modello. La velocità del meccanismo di adozione viene così a dipendere da α, ovvero il tasso di contagio a cui la popolazione è sottoposta.
Fig. 19 - Curva cumulata Fourt & Woodlock
Coerentemente, a valori di α molto piccoli corrisponde uno sviluppo nel numero delle adozioni diluito nel tempo, mentre per valori molto grandi di α si ha un’evoluzione repentina. L’intera distribuzione delle adozioni in funzione del tempo s(t) si ottiene derivando la curva cumulativa
𝑠(𝑡) = 𝑌̇(𝑡) =𝑑𝑌(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝑚𝛼𝑒
−𝑎𝑡
Dall’equazione appena presentata è possibile riconoscere una distribuzione di tipo esponenziale, pertanto il modello esterno ideato da Fourt & Woodlook prevede che la maggior parte degli acquisti di una determinata nuova tecnologia siano concentrati nei primi periodi e che successivamente si sperimenti una diminuzione monotonica delle adozioni. 0,0 10000,0 20000,0 30000,0 40000,0 50000,0 60000,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y(t) t
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3.2.2 Modello Interno di Mansfield
Nel modello interno (Mansfiel, 1961), altresì chiamato di “pura imitazione” (Manfredi 1996), il processo evolutivo delle adozioni risulta essere il prodotto della
comunicazione interpersonale fra gli individui presenti nel sistema. L’ipotesi di base è che una notizia riguardante una determinata innovazione venga trasmessa
spontaneamente tra i componenti di una popolazione; le fasi di diffusione e di adozione sono fuse in un unico momento, il contatto tra agenti. La dinamica descrive quindi un andamento per contagio tipico propagarsi delle malattie infettive. In un paradigma così definito le adozioni, in una popolazione di riferimento (m) ad ogni istante di tempo, sono il risultato delle interazioni fra coloro che hanno già adottato
(Yt) e coloro che non hanno ancora adottato (m - Yt).
𝑌(𝑡) = 𝑞
𝑚 𝑌 (𝑚 − 𝑌) Il modello dipende quindi da tre fattori:
a) (Yt) gli individui che hanno già adottato, gli infettivi.
b) (m - Yt) gli individui che non hanno ancora adottato, i suscettibili.
c) q il coefficiente di imitazione. Assumendo che il meccanismo di interazione sociale sia omogeneo e perfettamente casuale allora un individuo del tipo infettivo incontrerà in media b individui in un’unità di tempo, dei quali (m – Y(t))/m saranno del tipo suscettibile. Supponendo che ogni individuo sia capace di infettare una frazione g di suscettibili allora in media ciacun infettivo è in grado di contagiare una quota di suscettibili pari n(t)gb(m-N(t))/m.
Troviamo la soluzione all’ equazione differenziale proposta ponendo come condizione iniziale
Y(0) = Y0, con Y0 > 0. La condizione iniziale Y0 deve necessariamente essere diverso da
zero altrimenti la derivata che compare al primo membro risulta nulla. {𝑌(𝑡) =
𝑞
𝑚 𝑌 (𝑚 − 𝑌) 𝑌(0) = 𝑌0
Risolvendo il problema di Cauchy così definito, otteniamo la soluzione del modello nella sua forma esplicita:
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𝑌(𝑡) = 𝑌0𝑚
𝑌0 + (𝑚 − 𝑌0)𝑒−(𝑚)𝑡
Fig. 20 - Curva cumulata di Mansfield
Il modello di Mansfield ha tre importanti caratteristiche
Presenta due livelli di equilibrio, ovvero situazioni in cui il sistema non presenta alcun moto, Ẏ(t) = 0. Y = 0 e Y = m. Il primo rappresenta un equilibrio banale, corrispondente alla situazione in cui il mercato non presenta alcuna adozione. Il secondo equilibrio, non banale, rappresenta la configurazione di lungo periodo che corrisponde alla saturazione del mercato
𝑌(𝑡) = 𝑞
𝑚 𝑌 (𝑚 − 𝑌)finché Y < m. Una volta che il mercato ha superato il
punto critico di equilibrio banale Y = 0, le adozioni aumentano in maniera inerziale fino al Y < m raggiungimento della saturazione di mercato m. 𝑌′′(𝑡) = 𝑑
𝑑𝑡𝑌(𝑡) = 𝑞
𝑚 𝑌
′(𝑚 − 2𝑌) > 0 per Y(t) < m/2. Le caratteristiche della
derivata seconda ci indicano la sicura presenza di un punto di flesso, ovvero un punto di passaggio da una fase di crescita rapida ad fase di crescita lenta. Pertanto il mercato posto in una condizione iniziale Y0 > 0, sperimenta una dinamica
cumulativa sempre crescente di tipo logistico, fino ad arrivare al punto di equilibrio di lungo periodo m, coincidente con la saturazione del mercato. Nella fase iniziale di
0,00 1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00 6.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Y(t) t
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crescita la dinamica evolutiva è di tipo esponenziale con tasso di crescita q tale che 𝑌(𝑡) ≅ 𝑌0𝑒𝑞𝑡 per poi diminuire nella seconda fase di sviluppo. L’hazard rate tende ad
aumentare nel tempo, in quanto la frazione degli adottanti è crescente rispetto a (t), quindi la probabilità per un individuo di tipo suscettibile di incontrare un individuo infettante cresce monotonicamente.
3.2.3 Il modello di Bass
Frank Bass (1969) ha elaborato il cosiddetto modello standard della teoria
dell’innovazione “mixed information source model” integrando il modello interno di pura imitazione di Mansfield con il modello esterno di Fourt e Woodlock (1960), che esprime la dinamica di adozione innescata dai mass-media. Nel modello di Bass vengono così a coesistere due meccanismi di acquisizione dell’informazione: l’interazione umana (imitazione) e la fonte informativa ufficiale (innovazione). L’ambiente può essere definito attraverso cinque assunzioni:
I. E’ un modello per beni di consumo durevoli II. Nessuno individuo consuma più di un bene
III. La popolazione e quindi i possibili acquirenti sono un numero costante composto da m individui
IV. La popolazione di acquirenti non è omogenea ma suddivisa in due categorie distinte
- Innovatori. Decidono di acquistare la nuova tecnologia in maniera autonoma - Imitatori. Non sono indipendenti nelle loro decisioni di acquisto
V. L’ambiente non discrimina sulle possibilità di interazione sociale fra individui: il processo di contagio è omogeneo e perfettamente casuale
La dinamica del modello prevede che in un primo momento l’innovazione venga adottata da un gruppo ristretto di innovatori che reagiscono prontamene alla
comunicazione ufficiale dei mass-media, successivamente un secondo gruppo replica i comportamenti degli agenti adottanti attraverso meccanismi imitativi. La curva di adozione pertanto, è il risultato della somma tra queste due spinte distinte, innovazione e imitazione.
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𝑌(𝑡) = 𝑝[𝑚 − 𝑌(𝑡)] + 𝑞
𝑚𝑌(𝑡)[𝑚 − 𝑌(𝑡)]
Il contributo degli innovatori 𝑝[𝑚 − 𝑌(𝑡)] è dato dalla ampiezza del mercato residuo (m – Y(t)) e dal coefficiente p, il tasso di imitazione, che esprime l’intensità con cui l’informazione derivante dai mass media viene recepita dagli individui presenti nel mercato.
Il contributo degli innovatori 𝑚𝑞𝑌(𝑡)[𝑚 − 𝑌(𝑡)] è definito esattamente attraverso il modello interno di Mansfield in cui gli individui suscettibili sono soggetti al tasso di imitazione q che determina la velocità di replicazione nella popolazione. La soluzione del modello in corrispondenza di Y(0) = 0 è definita dall’equazione
𝑌(𝑡) = 𝑚 1 − 𝑒
−(𝑝+𝑞)𝑡
1 +𝑞𝑝 𝑒−(𝑝+𝑞)𝑡
Graficamente la relazione di evoluzione descrive la tipica curva s-shaped curve
Fig. 21 - Curva cumulata di Bass
0 50000 100000 150000 200000 250000 Y(t) time
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La densità delle adozioni è data da
𝑆(𝑡) = 𝑚𝑝(𝑝 + 𝑞)
2𝑒−(𝑝+𝑞)𝑡
(𝑝 + 𝑞)𝑒−(𝑝+𝑞)𝑡
Il punto in corrispondenza del quale si ha il picco di adozioni si avrà in t* 𝑡∗ = ln 𝑞 − ln 𝑝
𝑝 + 𝑞
Il modello di Bass possiede due punti di equilibrio, il punto Y(t) = 0 e la saturazione del mercato Y(t) = m.La derivata prima Y’(t) risulta essere maggiore di zero per Y < m pertanto le adozioni registrano un andamento positivo fino al raggiungimento dell’equilibrio di lungo periodo m.
La derivata seconda, 𝑌̈(𝑡) = 𝑌̇(𝑡)[(𝑞 − 𝑝) − 2𝑚𝑞𝑌], mostra come la presenza del punto di flesso sia dipendente dal segno della differenza fra i coefficienti, ed in
particolare la curva sperimenterà un punto di flesso se (q – p) > 0 ovvero il coefficiente di imitazione preponderante sul coefficiente di innovazione.
Lo studio del contributo delle due forze evolutive imitazione e innovazione rivela come nella prima di sviluppo il contributo più rilevante sia quello degli innovatori che si riduce monotonicamente al crescere di (t); nella seconda fase invece è l’apporto degli imitatori ad essere preponderante.