Un modello di Social Learnign

Un approccio alternativo, di tipo economico, alla diffusione delle innovazioni è stato presentato da Peyton Young sull’American Economic Review (Innovation Diffusion in

Heterogeneous Populations, 2009). Young supera la criticità del modello di Bass data

dalla mancanza di un meccanismo causale dell’evoluzione, integrando il modello di Bass con un modello di apprendimento (“learning”) Bayesiano.; in particolare Young subordina l’esito evolutivo ad un processo di valutazione da parte degli agenti del payoff (ovvero del beneficio netto) dell’investimento tramite

Secondo Young la diffusione delle nuove tecnologie infatti segue un meccanismo di apprendimento sociale basato sulla gestione dei segnali che pervengono nel pool informativo del generico agente. L’individuo al fine di decidere se adottare o meno una

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data tecnologia osserva i risultati (payoff) derivanti dall’utilizzo della tecnologia stessa e in base a questi, formula un’aspettativa sulla bontà dell’innovazione che andrà a confrontare con un parametro di riferimento, il suo status quo.

Young definisce il contesto teorico attraverso le seguenti ipotesi: i. I Payoff sono osservabili

ii. Payoff generati da individui diversi o in momenti diversi sono indipendenti ed ugualmente informativi

iii. Gli agenti sono neutrali al rischio e miopi

iv. Non c’è una componente peculiare dei payoff tale dal differenziare gli agenti, ma gli agenti stessi possono avere differenti costi (non necessariamente osservabili)

v. Esistono delle differenze nelle preferenze a priori di quanto buona l’innovazione sia relativamente allo status quo

vi. Ci sono differenze nel numero medio delle persone che osservano e quindi nell’ammontare delle informazioni che hanno

vii. La popolazione è completamente mescolata

Young nel definire il meccanismo di apprendimento sociale introduce tre variabili stocastiche: i payoff derivanti dall’uso della tecnologia, i costi associati alla tecnologia e le informazioni pregresse in possesso al singolo agente. In marito a queste tre

grandezze è doveroso fare un approfondimento di carattere teorico.

 I payoff derivanti dall’innovazione sono una variabile casuale normalmente distribuita con media µ> 0 e varianza σ2 _{, che è i.i.d tra gli agenti ed il tempo.}

Possiamo interpretare µ come la media dei payoff ottenuti in un periodo derivanti dall’uso dell’innovazione e comparati allo status quo della tecnologia. Le persone non conoscono il vero valore di µ a priori, inoltre possono partire con convinzioni sostanzialmente diverse basate sulle loro personali

informazioni. Con l’aumentare degli adottanti, i decisori si ritrovano sempre più informazioni su cui basare la propria scelta, aggiornando le proprie convinzioni tramite un processo efficiente di tipo Bayesiano. Se queste informazioni sono sufficientemente favorevoli, sempre più persone adotteranno la tecnologia,

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creando una sempre più larga base informativa che favorirà l’adozione futura da parte di altre persone.

 I costi sono una variabile stocastica idiosincratica; Ogni agente ha dei costi variabili caratteristici (ci)derivanti dall’uso della tecnologia, così egli adotta se e

solo se crede che la media dei payoff sia almeno pari a ci .

 Ogni agente i è caratterizzato da convinzioni a priori (beliefs) sul livello della media sconosciuta µ e sulla precisione sconosciuta ρ = 1/ σ2 _{, così che il margine}

di ρ sia gamma distribuito e per ogni valore di ρ la distribuzione condizionata di µ sia normale con media µi0 e precisione ρτi.

Viene introdotto la variabile τi, associata ai beliefs che rappresenta il grado di

flessibilità nelle convinzioni. Valori bassi di τi riflettono una buona flessibilità

nelle convinzioni, di modo che per cambiare convinzione sulla media è necessario solo un piccolo ammontare di testimonianze.

Valori bassi di µi0 riflettono pessimismo riguardo ai payoff derivanti

dall’innovazione. In particolare se inizialmente l’agente i crede che la media sia minore dei suoi costi µi0 < ci allora non vorrà adottare. Con l’aumentare delle informazioni in entrata, comunque, la sua stima successiva della media µit può

aumentare sufficientemente da far cambiare idea. Il livello a cui questo cambiamento avviene dipende da quante informazioni l’agente i colleziona e da quanto flessibile siano le sue convinzioni.

Il processo decisionale è definito tramite un meccanismo di social learning; il generico individuo i produce un’aspettativa personale sul livello dei payoff partendo da una credenza pregressa in merito all’ innovazione, e aggiornando questa informazione tramite una stima Bayesiana a posteriori. Il valore della stima viene confrontato con un valore di riferimento, lo status quo, e da questa valutazione dipenderà la scelta di dotarsi meno dell’innovazione.

Al dato tempo t, l’agente i-esimo avrà visto o sentito un assortimento casuale di esiti (payoff), dipendenti dalla chance che egli ha di incontrare altri membri della

popolazione. In uno scenario a tempo continuo il numero totale della misura degli esiti a priori fino al tempo t è dato dall’integrale calcolato sotto la curva di adozione r(t)

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𝑟(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑠) 𝑑𝑠

𝑡 𝑜

Assumendo che i abbia la stessa probabilità di vedere un qualsiasi particolare esito, possiamo modellare il flusso di informazione tramite un processo di Poisson. In particolare lasciamo essere Nit una variabile casuale di Poisson rappresentante il

numero delle osservazioni di un agente i fino al tempo t, dove 𝐸[𝑁𝑖𝑡] = 𝛽𝑖𝑟(𝑡) e il

parametro βi è una misura dell’estensione di i.

Denotiamo con nit la realizzazione di Nit e denotiamo con 𝑥̅𝑖𝑡 la media dei payoff fra

queste osservazioni. Date le nostre assunzioni, 𝑥̅𝑖𝑡 è normale con media µ e deviazione

standard 𝜎 √𝑛⁄ 𝑖𝑡 .

Il processo di aggiornamento del pool informativo del generico agente i è espresso tramite stima Bayesiana della media 𝜇𝑖𝑡 che può essere resa semplicemente grazie ad

una combinazione convessa di µi0 e 𝑥̅𝑖𝑡:

𝜇_𝑖𝑡 = 𝑛𝑖𝑡𝑥̅𝑖𝑡 + 𝜏𝑖𝜇𝑖0 𝑛_𝑖𝑡 + 𝜏_𝑖

In altre parole, la stima a posteriori è la media pesata della media a priori e la media osservata, dove il peso della media è il numero di osservazioni indipendenti che l’hanno prodotta.

Vista l’assunzione di miopia degli agenti, essi sono pronti ad adottare una volta che 𝜇_𝑖𝑡è almeno uguale alla variabile 𝑐𝑖. Che dall’equazione sopra è equivalente a dire

(µ𝑥̅𝑖𝑡− 𝑐𝑖)𝑛𝑖𝑡 ≥ 𝜏𝑖(𝑐𝑖− 𝜇𝑖0)

Secondo l’assunzione (𝑥̅𝑖𝑡 − 𝜇)(√𝑛𝑖𝑡⁄ ) = 𝑧𝜎 𝑖𝑡 è N(0,1), l’equazione sopra può

essere riscritta come

(𝜎 𝑧𝑖𝑡 √𝑛𝑖𝑡

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Per comprendere questa espressione, focalizziamoci sulla sub popolazione di agenti per i quali vale la pena adottare 𝑃0 = {𝑖: 𝜇 > 𝑐_𝑖} e sostituiamo il valore atteso 𝐸[𝑁𝑖𝑡] = 𝛽𝑖𝑟(𝑡) nell’equazione sopra. Otteniamo

𝑟(𝑡) ≥ 𝜏𝑖(𝑐𝑖− 𝜇𝑖0) 𝛽𝑖(𝜇 − 𝑐𝑖)

− 𝜎√𝑟(𝑡)𝑧𝑖𝑡 (𝜇 − 𝑐𝑖)√𝛽𝑖

Definiamo il livello di resistenza

𝑟_𝑖 = 𝜏𝑖(𝑐𝑖− 𝜇𝑖0) 𝛽_𝑖(𝜇 − 𝑐𝑖)

Possiamo dire che un individuo del tipo i se possiede un vettore di caratteristiche (ci , τi , βi , µi0)

e inoltre ha sempre più probabilità di adottare come r(t) passa la soglia ri . Questa

soglia ha una naturale interpretazione; individui con alti livelli in ri sono quelli che

inizialmente sono:

1. Pessimisti sul fatto che l’innovazione coprirà i loro costi (𝑐𝑖− 𝜇𝑖0) è grande

2. Inflessibili nelle loro convinzioni iniziali τi è grande

3. Marginalmente profittabili (µ - ci) è piccolo

4. Relativamente disinformati βi è piccolo

In aggregato, qualsiasi individuo i ha una funzione di risposta 𝜑𝑖(𝑟) che rappresenta la

probabilità che egli creda che l’innovazione sia conveniente da adottare, dato che l’ammontare totale delle informazioni generate dagli adottanti precedenti sia uguale a

r.

Supponiamo che ogni agente nella popolazione sia di tipo i e sia caratterizzato da una funzione di risposta 𝜑𝑖: 𝑅+ → [0,1] dove 𝜑𝑖(𝑟) è la probabilità che la soglia informativa

dell’individuo i sia passata quando l’ammontare totale dell’informazione generata dagli adottanti precedenti sia r.

Assumiamo che la funzione 𝜑𝑖(𝑟) sia monotona non decrescente. Notiamo che un

individuo conosce tipicamente solo una piccola frazione degli esiti anteriori, questo è,

r, è una variabile di stato che rappresenta il comune pool informativo ma non è

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Assumiamo che esistano un numero finito di profili nella popolazione, e lasciamo essere pi la proporzione dei profili i. Quando l’informazione totale generata dagli

adottanti precedenti uguaglia r, la proporzione della popolazione la cui soglia è stata attraversata è data dalla funzione:

𝐹(𝑟) = ∑ 𝑝𝑖𝜑𝑖(𝑟) 𝑖

F(r) è una funzione monotona non decrescente che possiamo interpretare come una

funzione di distribuzione teorica della soglia informativa degli agenti. Ricordando che 𝑟(𝑡) = ∫ 𝑝(𝑠) 𝑑𝑠

𝑡 𝑜

Ne consegue che la dinamica in aggregato è descritta dall’equazione differenziale

𝑝̇(𝑡) = 𝜆 [𝐹 (∫ 𝑝(𝑠)𝑑𝑠

𝑡 0

) − 𝑝(𝑡)] , 𝜆 > 0

Gli agenti per prendere la loro decisione di acquisto usano tutta l’informazione generata dagli adottanti precedenti. La funzione cumulata del modello di social learning ha alcune importanti implicazioni per la forma della curva di adozione. Comparata con il modello di social influence, l’accelerazione inizialmente è piuttosto debole, in fatti vicino all’origine il processo decelera indipendentemente dalla distribuzione che li genera. Per vedere ciò possiamo differenziare la equazione soprastante ed ottenere l’equazione di accelerazione:

(1 𝜆⁄ )𝑝̈(𝑡) = 𝑝(𝑡)𝑓(𝑟(𝑡)) − 𝑝(𝑡)̇

In conclusione è possibile effettuare alcune osservazioni sul modello.

La prima osservazione riguarda l’andamento evolutivo: la curva di diffusione generata dal processo di Social Learning generalmente sperimenta una prima fase, anche estesa temporalmente, caratterizzata da crescita debole; ciò è dovuto al fatto che il blocco iniziale di ottimisti F(0) generato dal meccanismo Bayesiano esprime un effetto decelerante sulla diffusione. Banalmente, è possibile verificare che la velocità di diffusione dipende dai livelli di adozione nei primissimi periodi.

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La seconda osservazione riguarda la soglia di adozione: nel modello, la soglia di adozione riflette differenze in una varietà di fattori come preferenze iniziali,

ammontare di informazioni acquisite, payoff ottenuti dall’innovazione. Alcuni di questi fattori sono difficili da osservare pertanto la stima degli stessi può risultare complicata; in particolare la stima del parametro µ, quanto è possibile, può essere effettuata partendo dai dati.

Infine, di grande rilevanza è la corrispondenza fra media dei payoff percepiti e

adozione: l’aumento della media dei payoff derivanti dall’innovazione si traduce con lo spostamento della funzione di risposta individuale verso l’alto, così che se due

popolazioni 1 e 2 sono caratterizzate rispettivamente dai payoff µ1 e µ2, con µ1 > µ2,

allora avremo che la distribuzione di resistenza F1R > F2R. In questa circostanza

l’adozione avviene più velocemente nella popolazione 1 rispetto alla popolazione 2; la soluzione soddisfa la disequazione p1(t) > p2(t) per ogni t.