1.2 Modelli di propagazione nei mezzi porosi
1.2.2 Parametri acustici
Il modello presentato nella sezione precedente, a meno di effetti non lineari e ter- mini al second’ordine, è esatto: rappresenta completamente i fenomeni fisici della conduzione del suono in pori rettilinei di sezione circolare senza ulteriori approssi- mazioni. E’ estendibile poi a canali di sezione qualsiasi, basti vedere il testo di Allard [3].
Pur mantenendo l’impostazione di un fluido che satura una struttura solida perfet- tamente rigida, definito genericamente modello a fluido equivalente, sarà necessario introdurre alcuni parametri addizionali che tengano conto sia della geometria che della diversa struttura microscopica del materiale che compone lo scheletro di un mezzo poroso.
L’assunzione necessaria ad ottenere modelli predittivi è di una sufficiente omogeneità della struttura in esame (o di chiara gerarchizzazione geometrica) in modo da poter definire parametri geometrici mediati significativi.
Dei parametri trattati la porosità φ, la tortuosità α∞e le lunghezze caratteristiche
termica e viscosa Λ e Λ0 sono legati alla struttura geometrica del materiale mentre
la resistività σ e le permeabilità viscosa e termica q0 e q00 dipendono dal tipo di
interazione tra il fluido e la struttura.
1.2.2.1 Porosità
Definita semplicemente come il rapporto tra il volume di fluido in un poroso e il suo volume totale (dunque fluido più struttura rigida)
φ= Vf luido Vtotale
(1.103) Nota ad esempio l’impedenza di un poro circolare, ricavabile dalle equazioni pre- sentate in precedenza, si può così determinare l’impedenza di un pannello forato. Innanzitutto si può riscrivere la porosità come
φ= Sf ori
Stot (1.104)
poi si può notare che un’onda piana che incontra un pannello forato, si suppone per semplicità ad incidenza normale, incontra in parallelo l’impedenza dei fori e quella della parte rigida del pannello. L’impedenza totale superficiale sarà dunque un parallelo di impedenza di fondo rigido e di poro, sommate pesandole con la
1.2 Modelli di propagazione nei mezzi porosi
superficie che compete a ciascuna: Saper la superficie complessiva dei fori ed Sb per
la parte rigida 1 Ztot = 1 Stot Sa Zf oro + Sb Zrigido ! (1.105) dove tuttavia Zrigido → ∞, quindi
Ztot = 1
φZf oro (1.106)
in alternativa si può considerare la continuità di pressione e velocità ai due lati dell’imboccatura di un foro:
Pin= Pout (1.107)
vin = vout
φ (1.108)
al che consegue la stessa relazione appena scritta che lega le due impedenze.
1.2.2.2 Resistività al flusso
Determina un termine di resistenza al passaggio di un flusso nel mezzo poroso, definita come rapporto tra il differenziale di pressione ai capi di un campione di spessore d e la velocità del flusso il tutto preso per unità di lunghezza:
σ = 4P
vf lusso· d N s m
−4 (1.109)
Sempre nel caso di un pannello forato di porosità φ varrà quindi
vf oro=
vf lusso
φ ⇒ σ =
4P
Chapter 1 Teoria generale Usando questa definizione si può scrivere, nel limite a bassa frequenza in cui la variazione di pressione è sostituibile col suo differenziale, con l’equazione [1.83]
ρ= φσ
ıω (1.111)
Essendo una proprietà valida a flusso costante può essere descritta considerando appunto limite a bassa frequenza, cioè più correttamente R δ, per l’espressione della velocità nel foro:
2 s J1(s) J0(s) '1 + s 2 8 (1.112)
per cui, sostituendo in [1.78]
vf oro = − ∂P
∂z R2
8η (1.113)
utilizzando il risultato nell’equazione [1.110] si può quindi scrivere la resistività di un pannello forato come
σ= 8η
φR2 (1.114)
E’ utile ricavare lo stesso parametro in caso di fori inclinati rispetto alla superficie: osservando che in questo caso
φθ = φθ=0
cos (θ) (1.115)
l= d
cos (θ) (1.116)
dove θ è l’angolo rispetto alla normale, l è la lunghezza del poro, rispetto alla quale si calcola il gradiente di pressione. Vale pertanto
σ= 8η
φR2cos2(θ) (1.117)
1.2 Modelli di propagazione nei mezzi porosi
1.2.2.3 Tortuosità
In una situazione di assenza di interazioni viscose e termiche, analoga in effetti a spessore di pelle tendente a zero come a frequenza elevata, la densità effettiva del fluido che satura un mezzo poroso si può indicare con
ρ= α∞ρ0 (1.118)
E’ possibile giustificare questo approccio considerando l’energia cinetica del fluido stesso per un elemento infinitesimo di volume, le cui particelle saranno in moto alla velocità microscopica vm:
dEc = 1
2ρ0vm2 (1.119)
la velocità media in un volume esteso V si può indicare come
v = 1 V
ˆ
vmdV (1.120)
e l’energia nel volume stesso sarà pertanto
Ec = 1 2ρ01 V ˆ v2mdV (1.121) Ec = 1 2ρ0 1 V ´ v2mdV v2 v 2 (1.122)
definendo pertanto la tortuosità come rapporto tra la media della velocità micro- scopica al quadrato e del quadrato della velocità media si ha
α∞ = 1 V ´ v2 mdV v2 = ´ v2 mdV ´ vmdV2 (1.123) Ec = 1 2α∞ρ0v2 (1.124)
Chapter 1 Teoria generale La disuguaglianza di Cauchy-Schwarz garantisce che α∞ ≥1.
La tortuosità quindi è legata alla dispersione delle velocità nel mezzo poroso rispetto alla velocità media di flusso che lo attraversa. E’ possibile anche valutarla, in modo del tutto analogo, come il percorso efficace del fluido nel mezzo, rispetto allo spessore, sempre in assenza di interazioni viscose.
Nel caso di fori inclinati il parametro che corregge l’espressione della resistività nell’equazione [1.117] è proprio la tortuosità:
α∞= 1
cos2(θ) (1.125)
L’equazione [1.84] viene corretta in
ρ= α∞ρ0 1 − 2 s J1(s) J0(s) (1.126)
1.2.2.4 Lunghezza caratteristica viscosa e termica
In una struttura porosa qualsiasi il concetto di raggio del poro chiaramente non ha più un valore immediato. Johnson [10] definisce dunque una lunghezza caratteristica viscosa Λ = 12 ´ V v 2(r) dV ´ Av2(r) dA (1.127) sempre nel caso di viscosità assente, descrive quindi il rapporto tra velocità integrata alla superficie e quella integrata nel volume del poro ed è chiaramente pari al raggio per un canale di sezione cilindrica (infatti la velocità in quella condizione è uguale ovunque).
Analogamente Champoux e Allard [11] un secondo parametro geometrico, la lun- ghezza caratteristica termica, che permetta di trattare meglio il comportamento del sistema dal punto di vista termico, nuovamente come limite ad alta frequenza
Λ0 = 1 2 ´ V dV ´ AdA (1.128) Anche in questo caso per un poro cilindrico il risultato è il raggio del poro stesso.
1.2 Modelli di propagazione nei mezzi porosi
1.2.2.5 Permeabilità viscosa e termica
Dato un mezzo poroso omogeneo si può definire una permeabilità viscosa dinamica
q(ω) legando il gradiente della pressione alla velocità mediata del fluido in un dato
volume elementare:
−q(ω) ∇P = ηφ < v > (1.129)
quindi estendendo l’equazione [1.18] [qui va ricontrollato cosa usare, non è il riferi- mento corretto]
q(ω) = ηφ
ıωρ(ω) (1.130)
La permeabilità viscosa statica, o semplicemente permeabilità viscosa, si ricava nel limite ω → 0 usando [1.111]
q0 =
η
σ (1.131)
Analogamente si procede per la permeabilità termica q0(ω), usando questa volta il
legame dato da:
q0(ω) ıωP = φκ < τ > (1.132)
E’ possibile pertanto riscrivere l’equazione [1.86] ed infine l’espressione per il modulo di compressibilità K = P0 1 −γ−1 γ ıNprωρ0q0(ω) ηφ (1.133) Nel caso- particolare di fori cilindrici identici si può dimostrare [3] che q0(ω) =
q(Nprω) ed è possibile scrivere, usando le definizioni precedenti la permeabilità
termica statica come
q00 = φ(Λ
0)2
Chapter 1 Teoria generale