0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 Assorbimento a 300 250 200 150 100 50 Frequenza (Hz)
(a) Tubo grande - Ø = 10 cm
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 Assorbimento a 600 500 400 300 200 100 Frequenza (Hz) (b) Tubo piccolo - Ø = 2.8 cm
Figure 2.6: Limite ad alta frequenza
Il comportamento di un campione a frequenze molto basse può essere difficile da caratterizzare anche tramite sensori microfonici “perfetti”. Lo strumento dovrebbe garantire un buon isolamento rispetto all’esterno, presentando in sostanza un’elevata impedenza acustico/meccanica nella zona in frequenza di interesse: essendo Z ∼
ω · m, dove m è la massa del tubo, chiaramente a bassa frequenza è necessaria una
massa maggiore che ad alta, il che può rendere poco affidabili le misure in tale regime.
Altre limitazioni nelle distanze del tubo si possono determinare considerando la posizione della sorgente e del campione rispetto ai microfoni [4]. Il campo generato da un altoparlante non sarà necessariamente di onda piana, almeno in prossimità del generatore: è necessario quindi che una certa distanza sia posta tra questo ed i sensori, indicativamente dell’ordine di alcuni diametri. La riflessione dell’onda sul campione poi può comportare la presenza di una componente evanescente, dunque anche in questo caso è bene che una certa distanza sia posta tra microfono e superficie da misurare. In questo caso viene suggerita una distanza minima del doppio del diametro del tubo stesso.
2.3 Tubo aperto
Si può analizzare come caso particolare di tubo di Kundt, dove l’impedenza super- ficiale corrisponde al carico dovuto all’apertura. Il problema è stato trattato nel caso di tubo con flangia esterna infinita da Rayleigh [6], configurazione analoga ad un canale circolare in pannello infinito. Il caso di tubo senza flangia è invece stato risolto da Levine e Schwinger [7] e rappresenta una soluzione molto simile al caso fisico reale di tubo di Kundt aperto. Nonostante la soluzione laboriosa il risultato si basa sulla premessa della connessione del campo ad onde piane che viene ad in- staurarsi all’interno del tubo e di quello sferico a grande distanza dall’imboccatura.
Chapter 2 Teoria del tubo di Kundt All’equazione [2.15], valida con x → −∞, si connette dunque
P(r) = f (θ)e ıkr
r (2.34)
che descrive il campo con r → ∞. Il metodo utilizzato prevede poi la valutazione del campo lungo la superficie interna ed esterna del tubo, utilizzandolo come condizione al contorno che permette la definizione univoca del campo nel resto dello spazio. Viene ricavato infine il coefficiente di riflessione rilevato all’interno del tubo rispetto all’apertura.
Similmente a quanto già determinato da Rayleigh parte dell’aria in prossimità dell’apertura fornisce una massa aggiuntiva che viene messa in moto dall’onda incidente dall’interno del tubo: questo si comporta dunque come un tubo allun- gato di ξØ/2 con ξ ' 0.6133, avendo tale massa aggiuntiva il comportamento di
un’impedenza puramente immaginaria (contributo interamente inerziale).
Questa soluzione teorica non è tuttavia sufficiente ad ottenere una previsione ac- curata del caso reale a disposizione: la zona terminale del tubo infatti presenta un allargamento nella sezione prima del termine del tubo stesso, che non è chiaramente di spessore infinitesimo. Partendo dalla possibilità di ottenere un risultato valido utilizzando una simulazione FEM in un caso simile, in cui si dimostra che all’infinito il campo assume andamento sferico [20], è stata ricostruita la geometria corretta del tubo di Kundt costruito. Viene così calcolato il campo acustico generato da una sorgente oscillante all’interno del tubo, in grado di propagarsi in uno spazio esterno al condotto di forma sferica. Attorno allo spazio esterno è imposta una condizione quanto più vicina possibile al perfetto assorbimento: un volume in grado di adattare quasi perfettamente l’impedenza al sistema cui è connesso (PML - perfectly matched layer). Si simula in questo modo uno spazio di dimensione idealmente infinita. In figura [Fig. 2.7] una sezione che mostra la geometria ed il campo risolto.
Le parti in bianco corrispondono alle pareti del tubo, in prima approssimazione non viene considerata l’interazione acustico - strutturale. All’interno del tubo simulato è possibile avere la valutazione del campo di pressione complesso, in modo del tutto analogo alla misura reale tramite microfoni. Si può notare comunque immediata- mente che viene in effetti determinata una soluzione stazionaria come voluto e che all’imboccatura il campo non è più piano; dall’interno del tubo tale situazione è vista semplicemente come una variazione di impedenza, che comporta un’onda rif- lessa (e dunque un campo stazionario). Nell’immagine i colori rappresentano i livelli di pressione: il giallo corrisponde a pressione nulla, più correttamente P = P0: la
zona di aria in azzurro presso l’imboccatura è di fatto quanto descritto in precedenza. L’estensione di tale volume è, lungo la verticale, molto vicina al valore previsto nel lavoro teorico di Levine.
Un confronto tra i valori di assorbimento misurati, la previsione FEM e quella di Levine è mostrato in figura [Fig. 2.8]. Si vede come chiaramente il calcolo FEM sia in
2.3 Tubo aperto
Chapter 2 Teoria del tubo di Kundt 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Assorbimento a 2000 1500 1000 500 0 Frequenza (Hz) Coefficiente di assorbimento Sperimentale FEM Teorico (Levine)
Figure 2.8: Confronto di assorbimento per il tubo aperto
grado di ottenere un andamento migliore che la previsione teorica, anche se la misura di confronto presenta un elevato rumore, non essendo stato possibile effettuare la misura in camera anecoica. Sia il rumore esterno che possibili modi formati nella stanza in cui è stata effettuata la misura influiscono pesantemente sulla stessa.