Valutazione generale di ripetibilità della misura

In considerazione a quanto visto fin’ora una sessione di misura è bene che preveda inizialmente una misura a tubo vuoto, per valutare l’effetto complessivo di assor- bimento dello strumento in sè e per determinare il valore corretto della velocità del suono. Tale misura può essere ripetuta durante una sessione per garantire la stabilità delle condizioni dello strumento.

3.3 Errore nella misura tramite tubo di Kundt 100x10-3 80 60 40 20 0 Assorbimento a 1500 1000 500 Frequenza (Hz) Tubo grande previsione teorica smooth misura, fondo 2 mic misura, fondo 3 mic smooth misura, fondo 3 mic

Figure 3.23: Assorbimento del tubo, fondo utilizzato nell’apparato a 3 microfoni

0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 Assorbimento a 1500 1000 500 Frequenza (Hz) Risonanza strutturale Aumento di assorbimento (perdita di flusso) Errore microfonico Tubo grande assorbimento teorico misura

Capitolo 3 Sorgenti di errore nel tubo di Kundt 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Assorbimento a 2000 1500 1000 500 Frequenza (Hz) Melammina bianca misura 1 misura 2 (a) Melammina 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 Assorbimento a 2000 1500 1000 500 Frequenza (Hz) Asfalto Massa misura 1 misura 2 (b) Tubo piccolo

Figure 3.25: Valutazione di ripetibilità della misura

La stima della deviazione standard può essere una prima indicazione valida di er- rore, pari come visto a 0.04 per l’assorbimento. Le condizioni di montaggio del campione possono tuttavia influire considerevolmente sulla misura, perciò è neces- sario garantire che in sessioni differenti sia utilizzato lo stesso metodo, in particolare per i campioni soggetti a compressione come le schiume. Per quanto riguarda questo lavoro alcuni dei campioni utilizzati hanno un diametro molto vicino a quello dello strumento (melammina nera, gialla e grigia) mentre è di poco inferiore per altri (melammina bianca, sughero, pavimentazioni). In questi casi il campione è stato avvolto lateralmente in nastro adesivo spesso (qualora necessario) ed è stato posto ai margini uno strato di vasellina in gel. Nel caso delle pavimentazioni e dei cam- pioni forati in certi casi è stato utilizzato del mastice o della plastilina. In tutti i casi dunque è stata garantita l’assenza di cavità e canali ai bordi del campione. Es- sendo impossibile costruire campioni cilindrici esatti nel caso degli aggregati di sfere metalliche è stata scelta una forma dipendente dal reticolo base, quindi con sezione rettangolare o con sezione esagonale in modo da massimizzare l’area inscritta nel tubo. I campioni, circondati di nastro adesivo, sono poi immersi in una struttura in mastice che occupa lo spazio residuo tra tubo e reticolo.

In figura [Fig. 3.25] si può avere un’idea della ripetibilità delle misure. Sono riportate infatti due misure, sia per una melammina che per una pavimentazione, ottenute in sessioni differenti. Non è stata applicata la correzione data dall’equazione [3.10]. La differenza massima tra le curve di assorbimento si può vedere nel picco a circa 800 Hz della pavimentazione ed è pari a circa 0.038, inferiore quindi al possibile errore casuale. Sia per la melammina che per la regione a destra del picco per la pavimentazione la differenza tra le due sessioni di misura si attesta su circa 0.033.

4 Pannelli forati

Per verificare le prestazioni del tubo di Kundt e poterne confrontare i risultati sper- imentali coi modelli esistenti per i mezzi porosi è utile verificare il comportamento dello strumento in un caso di più semplice schematizzazione teorica. L’assorbimento dato da un pannello forato consente questo genere di verifica, permettendo la co- struzione di sistemi risonanti con un fattore di merito molto elevato per i picchi di assorbimento: si può valutare quindi con precisione la capacità dello strumento di valutare posizione ed intensità di tali picchi, generabili in linea teorica lungo tutto lo spettro di misura e con un certo controllo anche sul valore assunto, in modo da testare l’effettiva risposta dinamica del tubo. L’elemento forato seguito da una cavità si comporta infatti come un risonatore di Helmoltz, in cui [2] l’aria nei fori as- sume il comportamento di un’impedenza inerziale, meccanicamente corrispondente ad una massa, mentre l’aria nella cavità retrostante agisce come elemento capacitivo, una molla nel paragone meccanico. Tale modellizzazione, valida nel limite k0L 1,

dove L è il massimo tra lo spessore del pannello forato e la lunghezza della cavità, come nello schema di figura [Fig. 4.1], comporta dunque un’impedenza del tipo

Z = ıρ0S1 ωL S2 − c 2 0 ωS1L0 ! (4.1) che comporta una risonanza alla frequenza f0

f0 = c0 2π s S2 L · L0_S 1 (4.2)

L’equazione [4.1] non contiene termini puramente dissipativi, dunque una parte reale, ma è evidente che in un sistema fisico dovranno essere presenti e sarà la responsabile dell’ampiezza dell’assorbimento.

4.1 Impedenza di un pannello forato

L’impedenza data da un pannello forato può essere schematizzata come l’impedenza di un canale a sezione costante, in questo caso circolare, già espressa nel capitolo

Chapter 4 Pannelli forati

Figure 4.1: Risonatore di Helmoltz

di teoria di base [rif. capitolo 1]. L’espressione determinata tuttavia è valida for- malmente solo per pori di lunghezza infinita, non permette infatti di considerare i fenomeni al bordo che si verificano alle imboccature del canale. I pannelli forati hanno poi generalmente uno spessore d piuttosto contenuto, il che consente di ver- ificare la condizione k0d  1 fino ad una frequenza piuttosto elevata. k0d ≈ 1

comporta infatti una frequenza di 5460 Hz circa. La condizione di piccolo spes- sore consente una semplificazione del modello alla base dell’impedenza, supponendo infatti che nel foro non avvengano scambi termici: è sufficiente quindi trattare il modello della densità dinamica per l’aria nella perforazione.

In figura [Fig. 4.2] una schematizzazione dei fenomeni che avvengono alle imbocca- ture del foro. Il flusso d’aria nei pressi della perforazione sarà notevolmente distorto, dovendo essere canalizzato o espanso. Oltre agli effetti viscosi all’interno del canale, agenti ortogonalmente al flusso sulla scala della lunghezza caratteristica viscosa [rif. capitolo 1], si avrà un fenomeno simile anche vicino alle pareti prossime alla per- forazione, agente per una data lunghezza di correzione viscosa lungo le stesse. Il fenomeno è stato studiato già da Rayleigh [6] che ha determinato tale resistenza superficiale, causata da un flusso oscillante lungo una piano infinito, come

Rs =

1 2

√

2ηρ0ω (4.3)

Allam e Abom [38] suggeriscono, riprendendo le osservazioni di Ingard [39] e di Maa [40], che l’effettiva resistenza possa essere 4Rs per fori dall’imboccatura netta e 2Rs

per margini smussati. Successivamente sarà utilizzata la prima delle due forme, dato il tipo di fori presenti nei campioni.

4.1 Impedenza di un pannello forato

La distorsione di flusso comporta anche una correzione alla componente inerziale dell’impedenza, in modo molto simile a quanto già visto per la soluzione di tubo aperto [rif. sez. 2.3]. La massa d’aria coinvolta dal flusso passante nel foro è maggiore, il che viene schematizzato generalmente considerando il foro stesso esteso di una quantità εe, determinata da Crandall [41] e da Sivian [42] come

εe= 2

8r

3π ≈0.85r (4.4)

in cui il fattore 2 è dovuto alla presenza di tale correzione su entrambi i lati del foro ed r è il suo raggio.

Un ulteriore effetto da considerare è la mutua interazione tra i fori: essa determina un’ulteriore correzione al flusso in prossimità della perforazione che incide principal- mente sulla parte inerziale. Ingard [39] ha ricavato una soluzione nel caso di inter- azione tra due fori, poi generalizzata nel lavoro di Fok e Rzhevkin [43]. Sarà tuttavia mostrato qui il risultato determinato da Allard [rif. cap 9.2.2 di [3]]: considerando un piano perforato di estensione infinita viene riscritto il termine di correzione alla lunghezza del foro come

εe = 0.85r



1 − 1.14qφ



(4.5) Nel caso di un solo foro la porosità tende a zero: si ha quindi nuovamente la cor- rezione già determinata in [4.4], sebbene non sia possibile ottenere tale condizione nel caso di un campione limitato nel tubo. Il sistema infatti è equivalente ad un piano infinito nel quale sia presente una densità di perforazioni pari ad uno per la superficie del campione.

L’impedenza per un pannello forato in condizione di k0d 1 può essere scritta come

[44]

Zsup = Zc+ Zback (4.6)

dove Zback è l’impedenza presente sul retro del pannello e, tralasciando come detto

gli scambi termici

Chapter 4 Pannelli forati

Figure 4.2: Effetti al bordo di un poro cilindrico

con ρ espressa secondo il modello Johnson - Champoux - Allard, avendo come già espresso nella teoria di base [rif. capitolo 1] Λ = r, α∞ = _cos12_θ e σ =

8η

φR2_cos2_(θ) per

fori circolari inclinati di un angolo θ rispetto alla superficie.

Per raggi di perforazione superiori al millimetro è ragionevole considerare un’ap- prossimazione ad alta frequenza:

Zc= α∞2d r Rs φ + ıρ0ωα∞d φ + ıα∞ 2d r Rs φ (4.8)

Il lavoro di Allard, ripreso da Atalla e Sgard [44] applicano le correzioni per gli effetti al bordo in caso di α∞= 1 sostituendo alla tortuosità del caso imperturbato con

α0_∞= 1 + 2εe

d (4.9)

Nel lavoro di tesi l’espressione è stata generalizzata per tortuosità qualsiasi come

α0_∞= α∞+ 2ε

e

d (4.10)

Volendo trattare infine il caso di risonatore di Helmoltz è sufficiente sostituire a Zback

l’espressione dell’impendenza per una cavità di lunghezza L, già vista nella teoria generale:

Zback = −ıZ0cot (k0L) (4.11)

4.2 Confronto tra pannelli di materiale differente