Presentazione analitica

La produzione interna di beni e servizi di un sistema economico è data dalla seguente equazione5:

x't = At,t x't + yt [1] , con At,t e yt rispettivamente la matrice dei coefficienti tecnici e la domanda finale di beni e servizi interni.

At,t è espressa come:

At,t = Ft,t xi^-1 [2]

, con Ft,t che rappresenta la matrice dei flussi intersettoriali di beni e servizi intermedi interni.

Fissato l‟output totale a un euro, la tavola At,t letta per riga segnala la frazione di euro che ciascuna branca i vende alla branca j; letta per colonna evidenzia la frazione di euro che ciascuna branca j acquista dalla branca i. Sommando per colonna e per riga si ottiene rispettivamente il valore degli acquisti intermedi della branca j e il valore dell‟output intermedio venduto dalla branca j:

u‟ At,t [3a]

5 Esprimibile anche come x't = u' F t,t + va'. L‟apice ' indica l‟operazione di trasposizione da un vettore colonna a un vettore riga, mentre l‟accento circonflesso segnala la diagonalizzazione di un vettore.

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At,t u‟ [3b]

La produzione netta di beni e servizi, o valore aggiunto, di un sistema economico è definita dalla differenza tra l‟output totale e l‟output intermedio impiegato per ottenerlo:

vat' = xt – u' Ft,t [4a]

Adottando la misura unitaria dell‟output, si ricava il vettore dei coefficienti di valore aggiunto:

vt = vat'xt^-1 [4b]

2.3.2 Caso generale

Abitualmente l‟analisi input/output viene utilizzata per quantificare l‟impatto che una variazione della domanda finale (p.e. un aumento degli investimenti) di una branca economica genera sull‟output totale. Quindi, non solamente sul settore interessato dal mutamento degli impieghi finali, ma anche sugli altri settori, in base alle relazioni di interdipendenza produttiva. Il motore del modello è perciò la domanda finale (demand driven model).

Il valore della produzione del sistema economico può essere scritto anche nel modo seguente, isolando la x't nell‟equazione [1]:

x't = Bt,t yt [5]

, con Bt,t = (I – At,t)-1.

Bt,t è la classica matrice di Leontief. Sommata per colonna restituisce l‟output del sistema economico attivato direttamente e indirettamente da una variazione unitaria della domanda finale della branca j:

μ‟1 = u‟ Bt,t [6]

, μ‟1 è comunemente conosciuto come il vettore dei moltiplicatori (diretti e indiretti) della produzione.

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Il passaggio successivo riguarda l‟endogenizzazione dei consumi delle famiglie. Come è stato spiegato in precedenza, la domanda finale è il fattore guida del modello, ovvero è la variabile data (esogena). In realtà, però, essa contiene i consumi delle famiglie, che sono funzione del loro reddito e quindi della parte del valore aggiunto generato dal sistema economico che serve a remunerare i fattori della produzione. Per tale motivo, anche i consumi possono essere trattati come variabili endogene del modello, in quanto determinati dal livello dell‟attività economica (xt).

Il vettore delle variabili esogene diventa perciò z:

zt = yt – ct [7]

e l‟equazione della produzione interna è data da:

xt = At,t xt + zt + ct [8a]

L‟equazione [8a] può essere scritta equivalentemente come:

xt = At,t xt + zt + ct* (v't xt) [8b]

, con ct* = ct/(v't xt).

Con alcuni semplici passaggi si ottiene che:

xt = B2t,t zt [9]

, con B2t,t = (I – At,t – ct* v't)-1.

La somma per colonna della matrice di attivazione fornisce gli effetti diretto, indiretto e indotto in termini di output complessivo mobilitato da una variazione unitaria di zt:

μ‟2 = u‟ B2t,t [10]

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2.3.3 Caso con due sottosistemi

Il sistema economico rappresentato dal modello precedente può essere interpretato anche come aggregazione di due sottosistemi, cooperativo (xi) e non cooperativo (xj).

L‟equazione che definisce il sistema economico totale assume in questo caso la seguente forma:

xt = xi + xj

= [Ai,i xi + Ai,j xj + yi] + [Aj,j xj + Aj,i xi + yj] [11] Sviluppando separatamente xc e xn si ottengono le seguenti identità:

xi = Bi,i Ai,j xj + Bi,i yi [12a] xj =Bj,j Aj,i xi + Bj,j yj [12b] , con Bi,i = (I – Ai,i)-1 e Bj,j = (I – Aj,j)-1

Sostituendo nella [12a] xj con la [12b] e nella [12b] xi con la [12a] si ha:

xi = [Bi,i Ai,j (Bj,j Aj,i xi) + Bi,i Ai,j (Bj,j yj)] + Bi,i yi [13a] xj = [Bj,j Aj,i (Bi,i Ai,j xj) + Bj,j Aj,i (Bi,i yi)] + Bj,j yj [13b] La produzione cooperativa (xi) e la produzione non cooperativa (xj) sono date quindi dalle seguenti equazioni:

[14a]:

xi = {[I – Bi,i Ai,j Bj,j Aj,i]-1 [Bi,i Ai,j Bj,j yj]} + {[I – Bi,i Ai,j Bj,j Aj,i]-1 [Bi,i yi]} [14b]:

xj = {[I – Bj,j Aj,i Bj,i Ai,j]-1 [Bj,j Aj,i Bi,i yi]} + {[I – Bj,j Aj,i Bi,i Ai,j]-1 [Bj,j yj]}

Il primo addendo del secondo membro di ciascuna equazione mostra la parte dell‟output dei rispettivi sottosistemi attivato dalla domanda finale dell‟altro sottosistema.

Per semplificare, le equazioni [14a] e [14b] possono essere riscritte nel seguente modo:

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xi = E1 + E2 [15a]

xj = F1 + F2 [15b]

Per una migliore comprensione, i termini E1 e F1 possono essere scritti anche come:

E1 = [Bj,j Aj,i] [(I – Bi,i Ai,j Bj,j Aj,i)-1 Bi,i yi] [16a] F1 = [Bi,i Ai,j] [(I – Bj,j Aj,i Bi,i Ai,j)-1 Bj,j yj] [16b] Definita la scomposizione analitica del sistema economico complessivo nei due sottosistemi, i e j, si è in possesso dell‟informazione riferita al processo di formazione dei rispettivi output. Seguendo l‟impostazione classica dell‟analisi input/output, si può definire la parte di produzione totale (del sistema economico nel suo complesso) riconducibile a ciascun sottosistema produttivo, in quanto attivata dalle rispettive domande finali.

Attenendosi esclusivamente alle attivazioni diretta e indiretta, si evince che: - la domanda finale di prodotti i (yi) attiva le componenti E2 di xi e F1 di xj; - la domanda finale di prodotti j (yj) attiva le componenti F2 di xj e E1 di xi. Ovvero:

[17a]:

Miatt1 = {[I – Bi,i Ai,j Bj,j Aj,i]-1 [Bi,i yi] + [Bj,j Aj,i] [(I – Bi,i Ai,j Bj,j Aj,i)-1 Bi,i yi]} [17b]:

Mjatt1 = {[I – Bj,j Aj,i Bi,i Ai,j]-1 [Bj,j yj] + [Bi,i Ai,j][(I – Bj,j Aj,i Bi,i Ai,j)-1 Bj,j yj]}

Matt1 è il vettore che rappresenta la produzione (i e j) attivata da ciascun sottosistema per soddisfare la propria domanda finale y, ossia gli effetti diretto e indiretto del processo di attivazione.

L‟introduzione dell‟effetto indotto segue il medesimo ragionamento esposto nel caso generale (cfr. par. 2.2.2).

Le equazioni [12a] e [12b] si modificano in:

23 xj = Aj,j xj + Aj,i xi + zj + cj* (v't xt) [18b] , con ci* = ci/(v't xt) e cj* = cj/(v't xt)

Attraverso dei passaggi simili a quelli mostrati nell‟esplicitazione delle attivazioni diretta e indiretta, si definiscono le produzioni cooperativa e non cooperativa in termini di effetto diretto, indiretto e indotto:

[19a]:

xi = {[I – Ai,i – ((Ai,j + ci* v'j) (I – Aj,j – cj* v'j)-1 (Aj,i + cj* v'i)) – ci* v'i]-1 [((Ai,j + ci* v'j) (I – Aj,j – cj* v'j)-1 (zj)) + zi]}

[19b]:

xj = {[I – Aj,j – ((Aj,i + cj* v'i) (I – Ai,i – ci* v'i)-1 (Ai,j + ci* v'j)) – cj* v'i]-1 [((Aj,i + cj* v'j) (I – Ai,i – ci* v'i)-1 (zi)) + zj]}

La produzione attivata da ciascun sottosistema è legata alle risorse mobilitate dalla domanda finale z e perciò l‟equazione [19] deve essere riorganizzata nel seguente modo:

[20a]:

Miatt2 = {[I – Ai,i – ((Ai,j + ci* v'j) (I – Aj,j – cj* v'j)-1 (Aj,i + cj* v'i)) – ci* v'i]-1 [zi] + [I – Aj,j

– ((Aj,i + cj* v'i) (I – Ai,i – ci* v'i)-1 (Ai,j + ci* v'j)) – cj* v'j]-1 [((Aj,i + cj* v'j) (I – Ai,i – ci* v'i)-1 (zi))]}

[20b]:

Mjatt2 = {[I – Aj,j – ((Aj,i + cj* v'i) (I – Ai,i – ci* v'i)-1 (Ai,j + ci* v'j)) – cj* v'j]-1 [zj] + [I – Ai,i

– ((Ai,j + ci* v'j) (I – Aj,j – cj* v'j)-1 (Aj,i + cj* v'i)) – ci* v'i]-1 [((Ai,j + ci* v'i) (I – Aj,j – cj* v'j)-1 (zj))]}

Matt2 costituisce il vettore degli effetti diretto, indiretto e indotto di ciascun sottosistema sul sistema economico complessivo.

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Riprendendo l‟equazione [17a] e combinandola con la [20a], si possono isolare i tre tipi di effetto (diretto6 = α; indiretto = β; indotto = γ) riferiti al sottosistema i:

αi = yi [21a]

βi = Miatt1 – αi [21b] γi = Miatt2 – Miatt1 [21c]

2.3.4 Impostazione alternativa

Una trattazione differente del caso con due sottosistemi, il cui sviluppo logico è stato sintetizzato al par. 2.2, si basa sull‟introduzione di un effetto „spiazzamento‟ nel sistema economico, ovvero sulla sottrazione di una determinata componente dall‟economia in esame e sulla successiva ricostruzione degli impatti diretto, indiretto e indotto.

Con riferimento al sottosistema i, definendo α°, β° e γ°, rispettivamente gli impatti diretto, indiretto e indotto, si ha che i primi due diventano:

[22]:

α° = {[I – Bi,j Ai,j Bj,j Aj,i]-1 [Bi,i Ai,j Bj,j yj]} + {[I – Bi,i Ai,j Bj,j Aj,i]-1 [Bi,i yi]} [23]:

β° = {[(I – Bj,j Aj,i Bi,i Ai,j)-1 (Bj,j Aj,i Bi,i yi)] + [(Bj,j Aj,i) (Bi,i Ai,j) (I – Bj,j Aj,i Bi,i Ai,j)-1 (Bj,j

yj)]}

La formulazione finale dell‟impatto indotto necessita invece di alcuni passaggi preliminari.

In primo luogo, va definito il valore aggiunto generato negli impatti diretto e indiretto:

vagi = α° v'i [24a]

vagj = β° v'j [24b]

6 Si usa la concezione più stretta di effetto diretto, che lo identifica con la sola domanda finale; in alternativa, esiste un‟altra interpretazione, che considera nell‟effetto diretto anche il primo round di attivazione di output intermedio.

25 Dopodiché vanno ricavati i consumi finali in prodotti j:

cgj = cj* vagi + cj* vagj [24c]

Infine, va quantificata la produzione j attivata dai consumi cgj e impostato il ciclo di calcolo dell‟attivazione indotta di produzione j:

xgj = Bj,j cgj [24d]

vagj = v'j xgj [24e]

cgj = cj* vagj [24f] Il ciclo di calcolo termina quando cgj assume valore pari a 0.

Sia ç il vettore della produzione non cooperativa xgj espressa dal sistema di equazioni [24d-f], l‟impatto indotto è dato dalla sua somma:

γ° = ç u‟ [25]

L‟attivazione totale si ottiene dunque dall‟aggregazione dell‟impatto diretto, indiretto e indotto:

M* = α° + β° + γ° [26]

L‟equazione [26] definisce quindi l‟impatto della cooperazione determinato dall‟introduzione nel sistema economico dell‟effetto „spiazzamento‟.

Nei prossimi paragrafi si adotta tale metodo per quantificare le risorse interne mobilitate dalla cooperazione italiana.