COME ENTRARE NEL MONDO MATEMATICO
2.3 PROCESSO DI MATEMATIZZAZIONE E PROCESSO DI DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Transcodifica, matematizzazione e didattica sono, fra i diritti degli alunni, quelli alla cui realizzazione la matematica è chiamata, e tali diritti riguardano tutti i bambini, anche quelli in situazione di deficit sensoriale.
Pur senza minimizzare le difficoltà, infatti, si crede che sia fortemente da sostenere il diritto di ogni alunno ad apprendere la matematica, disciplina amata e, al tempo stesso, temuta.
L’importanza dell’ambiente di apprendimento e della transcodifica sono i primi passi per imparare la matematica. I successivi passi sono i processi di matematizzazione e della didattica.
La peculiarità del processo di matematizzazione è quella di promuovere la scoperta dei concetti, delle regole e delle strutture, di rappresentare i concetti complessi dell’aritmetica e della geometria in vari esempi e di costruire le stesse rappresentazioni con un codice sempre più formalizzato e, quindi, proiettato verso
187 Vygotskij L. S., op.cit. 188 Approfondimento:Ibidem.
189 Peja Olmetti D., Towards the construction of a system of math teaching, in Piu A. Fregola C.,op.cit. 190
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l’acquisizione del linguaggio logico-matematico in ambienti di apprendimento reali e/o virtuali. Per raggiungere questo scopo, occorre progettare i percorsi didattici che muovono dalla realtà verso l’astrazione. In questo muoversi graduale da un posto all’altro, gli alunni si trovano immersi in un ambiente di apprendimento dove essi vivono da protagonisti, respirano a pieni polmoni l’aria matematica e maneggiano con le proprie mani la realtà predisposta per l’acquisizione dei concetti matematici. È solo attraverso il toccare, un percorso didattico progettato all’interno di un ambiente di apprendimento, che si possono acquisire concetti matematici, utilizzando un registro semiotico specifico.
Non meno importante è la scelta dei modelli di apprendimento e delle modalità di insegnamento che gioca un ruolo fondamentale nella costruzione dei percorsi didattici.
I processi di astrazione, di codificazione, di decodificazione e di transcodifica e di transfert - importanti per l’apprendimento della matematica e in particolar modo nelle fasi dell’età evolutiva – possono essere considerati come tasselli della costruzione di tali percorsi; tasselli che possono essere rivisti alla luce delle interconnessioni intenzionali fra i saperi della didattica della matematica e i saperi della psicologia dell’apprendimento e della pedagogia sperimentale, con un diverso livello di approfondimento. Da tali interconnessioni, si possono estrapolare i tasselli concettuali, teorici e applicativi che consentono di costruire un metodo per avviare un processo di costruzione e di ricostruzione dei codici del linguaggio logico e matematico da parte di chi apprende in un contesto semantico specifico all’interno di
un ambiente di apprendimento predisposto191.
Ambienti di apprendimento come questo possono essere considerati come luoghi di incontro fra mappe interdisciplinari con indicazioni metodologiche specifiche, che continuano ad ampliarsi grazie all’esperienza di apprendimento da parte degli alunni in luoghi reali e virtuali.
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In ambienti di apprendimento reali e virtuali progettati per la matematica e la geometria, gli alunni esplorano una parte della realtà messa a disposizione, acquisiscono le esperienze percettive, entrano in interazione tra di loro, sviluppando il pensiero critico e acquisendo gradualmente le rappresentazioni razionali.
Si tratta, quindi, del processo di matematizzazione della realtà che rappresenta inizialmente il passaggio dal mondo fisico e dell’esperienza a quello della
rappresentazione razionale.192
Si passa da uno schema astratto, di cui l’alunno diventa padrone, ad un altro di più elevato livello. In questo modo, gli schemi astratti precedenti diventano utilizzabili in altre situazioni e contesti, come si ritrova anche nel concetto di assimilazione di Piaget.
Da questi processi si arriva a prendere così una decisione didattica per la progettazione e la realizzazione di un ambiente di apprendimento ricco di stimoli che permette all’alunno di costruire le sue conoscenze matematiche.
È a tale proposito che Dienes Zoltan193 afferma che <<immergere [l’alunno]
nell’acqua profonda194
>> facilita il suo processo di astrazione, generalizzazione195 e di transfert. Sostenendo questa tesi, egli propone sei tappe per lo sviluppo del processo di apprendimento.
L’analisi di queste differenti tappe, che verrà qui presentata, dimostra come sia possibile <<portare [l’alunno], a partire dal gioco libero, attraverso le tappe che verranno descritte, fino alla sesta nella quale sarà capace di giocare il gioco della
dimostrazione, cioè di manipolare un sistema formale196>>.
La prima tappa (gioco libero) riguarda la nozione di ambiente che è da considerare importante perché <<ogni tipo di apprendimento equivale a un processo
d’adattamento dell’organismo al suo ambiente197
>>. Tale processo è definito
192 Piu A., Fregola C., op.cit.
193 Il matematico Dienes è impegnato con interesse vivo nel rinnovamento continuo della metodologia e della didattica della matematica. Si tiene
presente che all’inizio è ispirato al lavoro di Piaget, e che se ne è discostato per un punto qualificante della sua “pedagogia matematica”: il principio di costruttività. Cfr. Cfr. Dienes, Z. P., Construction des mathématiques, Paris, “Presses Universitaires de France”, 1966.
194 Dienes Z. P., Le sei tappe del processo d’apprendimento in matematica, Edizioni Organizzazioni Speciali, Firenze, 1978, pag. 5. 195 Breve definizione di generalizzazione. Cfr.
196 Dienes Z.P., op.cit., pag. 11 197
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apprendimento da parte dei pedagogisti e, per essere precisi, ha luogo in una fase che si può denominare come <<fase del gioco libero198>> predeterminata a partire dalle strutture matematiche da astrarre.
I giochi liberi rappresentano un tipo di esercizio che consente al bambino sia di conoscere la forma, il colore, lo spessore e la grandezza utili per un apprendimento più complesso tipico della seconda tappa e sia di adattarsi alle situazioni che incontrerà successivamente.
Dopo un certo periodo di adattamento, ossia di gioco libero, avviene la seconda tappa (gioco strutturato) in cui vengono assegnate le regole, basate sulle strutture
matematiche pertinenti199, e un fine ai giochi.
La manipolazione dei materiali didattici, ossia dei giochi, comprese le regole – che anche la Montessori privilegia per la costruzione della conoscenza - rappresenta, quindi, la costruzione della situazione matematica come indice di apprendimento. La terza tappa (consapevolezza) è quella di favorire in modo consapevole la comparazione tra la situazione del gioco e la situazione matematica a partire dal processo di partecipazione al gioco che il bambino ha seguito.
Da questo confronto si arriva alla costruzione di un processo di rappresentazione, precedente quello dell’astrazione. In tale processo – che riguarda la quarta tappa – il bambino, essendosi reso conto della struttura comune ai giochi strutturati che ha svolto nella precedente tappa, inizia a parlare di ciò che ha appena astratto, a osservare i giochi e a riflettere su di essi. Una graduale rappresentazione di questo tipo può essere definita <<da un insieme di graffe, da un sistema cartesiano, da un
diagramma di Venn, o ancora da altre rappresentazioni visive, o anche uditive200>>.
Rappresentazioni come questa meritano di essere esaminate con attenzione e il fine della quinta tappa (formalizzazione) è proprio quella di studiare le proprietà insite nell’astrazione che è stata realizzata. In questa tappa, si avvia la descrizione di ciò
198 Ibidem, pag.6. 199
I giochi, in questo caso, sono realizzati con certi materiali strutturati. Un bell’esempio del materiale di Dienes riguarda i noti MAB (blocchi
aritmetici multibase) utili sia per avviare gli alunni ai diversi sistemi di numerazione e sia per i laboratori di matematica della scuola primaria. Cfr. DIENES, Z. P., op.cit., 1966. Un esempio di apprendimento di certi connettori logici è dato dall’utilizzo dei giochi di negazione, congiunzione, disgiunzione, implicazione mediante l’uso dei blocchi logici. Cfr. Dienes Z.P., op.cit., 1978.
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che è stato rappresentato. Per poter descrivere, è necessario un linguaggio. È preferibile che ogni alunno inventi un suo linguaggio e che, in seguito, tutti gli alunni, con l’intervento dell’insegnante, discutano tra loro quale dei linguaggi inventati è più vantaggioso. Si tratta di una fase di formalizzazione in cui avviene la proposta o la costruzione di un codice simbolico.
Occorre evidenziare che in questa descrizione – si è alla sesta tappa - non è possibile definire tutte le proprietà e che bisogna prenderne un numero minimo e creare un procedimento per dedurre le altre. Questo numero minimo di descrizioni richiama:
il concetto di assiomi e il procedimento per dedurre dagli assiomi le regole, le
proposizioni e altro;
il concetto di dimostrazione;
una prima idea di teorema quando si evidenziano le proprietà e i criteri.
Uno degli aspetti di notevole interesse dello studio di Dienes è quello di aver diffuso un approccio che inverte il verso di percorrenza del processo fino ad allora prassi nella didattica della matematica.
Alla luce di quanto esposto, per Dienes è il gioco (gioco di manipolazione, gioco di rappresentazione, gioco basato su regole) a detenere, infatti, un ruolo privilegiato nell’apprendimento matematico per le seguenti asserzioni:
o il gioco di manipolazione tende a condurre alla costruzione di concetti,
o il gioco basato su regole induce all’analisi, in particolare alla generalizzazione,
o il gioco basato su regole ha un considerevole valore di stimolo di attività.
Il desiderio di arrivare a dominare una struttura di regole sembra dare <<al soggetto le motivazioni per continuare le ricerche, purché questi non sia stato in precedenza
condizionato da promesse di punizione e ricompensa201>> .
È la motivazione all’apprendimento, una delle parole chiave della ricerca sui giochi di simulazione secondo cui la costruzione di ambienti di apprendimento con il rigore metodologico della transcodifica possa promuovere la motivazione all’apprendimento
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anche per gli alunni in difficoltà di apprendimento, per gli alunni con deficit sensoriale, oltre quelli cosiddetti normali.
I percorsi didattici in ambito matematico possono essere progettati in base ai quattro principi della “pedagogia matematica” di Dienes:
Principio di costruttività
Il pensare in modo costruttivo precede lo sviluppo del pensiero logico nei bambini. È preferibile favorire la comprensione costruttiva rispetto a quella analitica.
Principio dinamico
Ogni astrazione deriva dall’esperienza per cui è opportuno stimolare l’analisi delle situazioni della realtà quotidiana del bambino in modo da focalizzare l’attenzione sugli aspetti matematizzabili.
Principio variabilità percettiva
È importante predisporre situazioni/contesti percettivamente differenti di una stessa struttura concettuale in quanto le caratteristiche comuni sono le astrazioni di cui il bambino dovrà diventare cosciente.
Principio di variabilità matematica
Tale principio riguarda la variazione delle situazioni simboliche, per astrazioni successive, verso un’espressione “più formalizzata”. Tutti gli elementi che non sono indispensabili alla costruzione, infatti, del concetto vanno modificati per mettere in
luce in modo inalterato il concetto base che si vuole formulare202.
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CAP. 3
PERCEZIONE, ASTRAZIONE E DEFICIT SENSORIALE IN