Progettazione di un survey Common Offset: parametri di acquisizione

Nella progettazione di un’acquisizione Common Offset, oltre alla disposizione delle linee di acquisizione, bisogna scegliere alcuni parametri da utilizzare in base al tipo di bersaglio che si vuole rilevare: la frequenza dell’antenna, la time window e gli intervalli di campionamento temporali e spaziali.

Frequenza

Molti fattori influenzano la scelta della frequenza:

 le dimensioni dell’antenna, che crescono al diminuire della frequenza;

 gli effetti di scattering, che aumentano al crescere della frequenza utilizza;

 la penetrazione del segnale, che, in generale, aumenta al diminuire della frequenza;

 la risoluzione: le alte frequenze assicurano migliori risoluzioni.

La risoluzione indica il limite d’incertezza nella determinazione della posizione e degli attri- buti geometrici (dimensione, forma e spessore) di un dato oggetto (Jol H.M., 2009). Per com- prendere meglio consideriamo un sistema in grado di generare e ricevere impulsi. General- mente l’arrivo degli impulsi riflessi (echi) al ricevitore non avviene in modo univoco; infatti essi possono arrivare simultaneamente, risultando sovrapposti parzialmente o totalmente, op- pure separati nel tempo. Se, ad esempio, al ricevitore arrivano due echi, è necessario determi- narne la distanza temporale minima affinché possano essere considerati come due eventi di- stinti. In Figura 5.8 vengono mostrati due impulsi uguali caratterizzati da una larghezza a mezza altezza W. I due impulsi saranno considerati come due eventi distinti se risulteranno separati da un tempo T maggiore o uguale a W/2 (Figura 5.8.a), in caso contrario (Figura 5.8.b), risulterà molto difficile distinguerli e molto probabilmente verranno percepiti come un unico evento. Se invece i due impulsi coincideranno nel tempo (Figura 5.8.c), daranno luogo ad un unico evento con ampiezza uguale alla somma delle ampiezze dei singoli impulsi.

Figura 5.8: Coppia di impulsi con larghezza a metà altezza pari a W e distanza T. a) Per T >> W gli im- pulsi sono ben separati; b) per T ≈ W gli impulsi risultano parzialmente sovrapposti ma ancora distingui- bili; c) T << W gli impulsi sono sovrapposti e non distinguibili (Jol H.M., 2009).

E’ possibile distinguere due tipi di risoluzione: la risoluzione verticale e quella orizzontale.

Risoluzione verticale

La risoluzione verticale indica la capacità di determinare la posizione di più oggetti riflettori disposti lungo la verticale al piano di acquisizione.

Consideriamo il caso in cui all’interno di uno strato omogeneo siano posti due oggetti a pro- fondità Z1 e Z2 rispettivamente (Figura 5.9). Sia v la velocità delle onde elettromagnetiche nel mezzo all’interno del quale i due oggetti sono sepolti; i tempi di arrivo in superficie dei due raggi riflessi dai due oggetti sono dati da:

Figura 5.9: Due oggetti posti in un mezzo omogeneo a profondità Z1 e Z2 rispetto alla superficie (Ribolini A., 2012).

La differenza ∆T dei tempi di arrivo dei due raggi in superficie risulta essere quindi:

(eq. 5.16)

Poiché (dove λ è la lunghezza d’onda calcolata a partire dalle frequenza nomi- nale (o centrale) dell’antenna e T0 è il periodo dell’onda) e sapendo che due eventi sinusoidali con la stessa frequenza vengono risolti se la differenza tra i loro tempi di arrivo è maggiore rispetto alla metà del periodo, si ha:

allora

e quindi

(eq. 5.17) λ

Affinché due oggetti possano essere registrati come eventi distinti, la loro distanza Z deve es- sere maggiore di un quarto della lunghezza d’onda del segnale trasmesso.

Da quanto detto si deduce che la risoluzione verticale è funzione della frequenza: a frequenze nominali maggiori corrisponderanno migliori risoluzioni verticali. In Figura 5.10 vengono mostrate delle A-scan3 ottenute nella stessa situazione ma con frequenze diverse, per confer- mare quanto appena detto: come si può osservare, il segnale con una frequenza maggiore arri- va infatti al ricevitore con maggiore risoluzione: i picchi in corrispondenza delle interfacce si presentano più stretti e quindi più facilmente distinguibili.

Come è possibile osservare in Figura 5.10 le ampiezze del segnale registrato vengono mag- giormente attenuate in profondità quando si utilizzano GPR con frequenze maggiori: quando un’onda elettromagnetica si propaga all’interno del terreno, questo agisce come un filtro passa basso; di conseguenza la frequenza di ritorno che viene registrata al ricevitore è più bassa ri- spetto a quella inviata. Questo implica un allargamento del segnale nel dominio del tempo con una conseguente diminuzione della risoluzione con la profondità. Quindi, stime di risoluzione verticale più realistiche potranno essere ottenute utilizzando la frequenza centrale di ritorno.

Figura 5.10: Simulazioni di A-scan ottenute con una frequenza centrale di a) 100 MHz; b) 300 MHz; c) 500 MHz; d) 750 MHz. Le ampiezze vengano maggiormente attenuate con frequenze maggiori (Daniel D.J., 2004).

Risoluzione orizzontale

La risoluzione orizzontale è definita come la capacità di distinguere due oggetti separati oriz- zontalmente e spazialmente vicini e dipende dal raggio della prima zona di Fresnel, che indi- ca la zona al cui interno due riflettori adiacenti sono indistinguibili poiché le riflessioni inter- feriscono costruttivamente a formare una singola riflessione (Figura 5.11).

Figura 5.11: a) Le onde elettromagnetiche si propagano all’interno del terreno descrivendo un cono diver- gente con la propagazione. b) Ampiezza ottenuta dall’interferenza costruttiva degli impulsi all’interno della zona di Fresnel. c) Relazione tra la frequenza e il raggio della prima zona di Fresnel (Neal A., 2004).

La larghezza della zona di Fresnel è funzione della frequenza trasmessa e della profondità del riflettore: più alta è la frequenza (più corta la λ) migliore sarà la risoluzione orizzontale; poiché l’energia irradiata si espande lateralmente con il propagarsi dell’onda verso il basso (con conseguente aumento della larghezza della zona di Fresnel) si ha che la risoluzione oriz- zontale diminuisce all’aumentare della profondità.

Figura 5.12: Relazione tra zona di Fresnel e profondità z.

Si consideri la situazione mostrata in Figura 5.12; il raggio della prima zona di Fresnel si può ricavare dall’equazione: (eq. 5.18) λ λ λ λ λ λ per λ Da cui segue: (eq. 5.19) λ

che esprime la relazione tra il raggio della prima zona di Fresnel, la velocità dell’onda v, la profondità z e la frequenza nominale (o centrale) F dell’antenna utilizzata. A parità di profon- dità z, maggiore sarà la frequenza (minore sarà λ) migliore risulterà essere la risoluzione oriz- zontale.

Un altro modo per esprimere la risoluzione orizzontale lo si ottiene considerando la larghezza dell’impulso a metà altezza W (che è uguale a 1/B, dove B è la larghezza di banda del segna- le4), la velocità v e la frequenza nominale dell’antenna F: due oggetti separati orizzontalmente e spazialmente vicini saranno distinguibili se separati da una distanza minima pari a ∆l:

(eq. 5.20) λ

Si noti che ∆l è uguale al raggio della prima zona di Fresnel.

Possiamo quindi concludere che in generale maggiore sarà la frequenza, migliori saranno sia la risoluzione verticale che orizzontale. All’aumentare della frequenza diminuisce però la pro- fondità di indagine: nell’acquisizione GPR bisognerà quindi trovare un compromesso, per la scelta della frequenza da utilizzare, tra la profondità da raggiungere e la risoluzione cercata.

4 _{La larghezza di banda di un segnale è riferita alla larghezza dell’intervallo di frequenze compreso tra la minima}

e la massima frequenza contenute nello spettro di ampiezza (differenza tra frequenza massima e frequenza mi- nima). In particolare un l’impulso GPR è caratterizzato dal rapporto R=B/F (con F frequenza centrale dell’antenna). Nei GPR commerciali si cerca di mantenere R=1.

Time window (o finestra temporale)

La time window indica il tempo di attesa degli echi riflessi da parte dell’antenna di ricezione; è direttamente proporzionale alla profondità che si pensa di poter raggiungere con la frequen- za dell’antenna utilizzata per l’acquisizione ed è data da:

(eq. 5.21)

Per poter calcolare la time window è necessario conoscere, almeno approssimativamente, la profondità del target e la velocità più bassa tra quelle degli strati coinvolti. Il rapporto tra pro- fondità e velocità viene raddoppiato in quanto si considerano tempi doppi (TWT), cioè il tem- po necessario all’onda per essere inviata dall’antenna trasmittente, propagarsi e arrivare all’antenna di ricezione.

Non è opportuno aumentare troppo il valore della finestra temporale perché si rischia di regi- strare anche una grande quantità di rumore.

Campionamento

Poiché il segnale GPR è una funzione continua dello spazio e del tempo, prima di essere regi- strato deve essere campionato; durante la fase di progettazione dell’indagine, bisogna quindi tener conto dei principi fondamentali del campionamento per evitare fenomeni di aliasing (Jol H.M., 2009).

La corretta rappresentazione di una funzione continua tramite il processo del campionamento è legata alla frequenza di campionamento. In base alla teoria, un campionamento corretto, cioè senza perdita di informazioni, è possibile se il segnale da campionare possiede una banda di frequenza limitata (o limitato è il numero di armoniche che cadono in una data banda di frequenza). Tutto ciò è regolato dal teorema di Nyquist (o teorema del campionamento). Nel caso di una sinusoide (armonica) di periodo T, si ottiene una corretta rappresentazione so- lo se essa viene campionata almeno due volte per ogni periodo, o se la frequenza di campio- namento Fc è almeno doppia rispetto alla frequenza F dell’armonica:

(eq. 5.22)

(eq. 5.23)

Se invece un segnale possiede una banda di frequenza limitata (come avviene per un segnale GPR), per una fedele ricostruzione a partire dai suoi campioni la frequenza di campionamento deve essere scelta in relazione alla frequenza più alta posseduta dallo spettro del segnale (Fmax); per la maggior parte dei sistemi radar la massima frequenza è circa 1.5 volte la fre- quenza nominale dell’antenna (Fmax = 1.5F). Per il teorema del campionamento la frequenza massima dello spettro del segnale da campionare dovrà essere minore o uguale alla metà della frequenza di campionamento (viceversa la frequenza di campionamento dovrà essere almeno il doppio della frequenza massima presente nello spettro del segnale originale):

(eq. 5.24)

da cui segue:

(eq. 5.25)

FN, pari alla metà della frequenza di campionamento, è nota come frequenza di Nyquist e in- dica la massima frequenza correttamente campionabile in un processo di discretizzazione. Se le condizioni di campionamento non vengono rispettate si avrà il fenomeno dell’aliasing, che comporta una distorsione del segnale analogico rispetto a quello campionato con la gene- razione di frequenze non proprie del segnale originario. In particolare la ricostruzione di un

segnale analogico composto da armoniche di frequenza maggiore rispetto alla frequenza di Nyquist fornisce un segnale campionato nel quale tali componenti armoniche hanno una fre- quenza ribaltata all’indietro (folding back), cioè simmetrica rispetto alla frequenza di Nyquist del segnale analogico (Figura 5.13); sono queste frequenze a provocare la distorsione del se- gnale. Le frequenze ribaltate sono note come frequenze apparenti FA (alias) e sono definite dalla relazione:

(eq. 5.26)

Figura 5.13: Rappresentazione schematica del fenomeno dell'aliasing; le frequenze superiori a FN (area in nero) ricompaiono specularmente nel quadrante negativo come frequenze fittizie; le linee tratteggiate formano un filtro anti-aliasing ideale (Mazzotti A, 2012).

Per evitare l’aliasing è necessario aumentare la frequenza di campionamento (oppure ridurre il tempo Tc); se ciò non è possibile, si può effettuare un filtraggio anti-aliasing (passa-basso) con frequenza di taglio uguale alla frequenza di Nyquist FN prima della conversione analogi- co-digitale.

Il teorema di Nyquist ha validità non solo nel tempo ma anche nello spazio. Per evitare alia- sing spaziale è necessario applicare il teorema del campionamento nello spazio sia lungo la direzione di avanzamento dell’antenna (x) che lungo la direzione ortogonale (y). Nel caso GPR il criterio di campionamento spaziale richiede che le distanze lungo il profilo (in-line, Δx) e tra i profili (cross-line, Δy) non superino un quarto della lunghezza d’onda minima (λmin) associata alla massima frequenza (Fmax= 1.5F) e alla velocità minima (v ) del segna- le (Figura 5.14):

(eq. 5.27) λ

dove dx è il passo di campionamento spaziale lungo la direzione x e dy è quello lungo y.

Figura 5.14: Maglia regolare di dati; ogni cerchio indica una traccia; le frecce tratteggiate rappresentano i profili di acquisizione con origine in x = 0 (Ribolini A., 2012).

Se i criteri di campionamento spaziale non vengono rispettati si potrebbe avere aliasing spa- ziale dei dati acquisiti, cioè i riflettori pendenti o le iperboli di diffrazione potrebbero essere distorte.

E’ possibile calcolare la massima frequenza spaziale campionabile (KN) che è data dall’inverso del doppio del passo di campionamento spaziale dx:

(eq. 5.28)

Così come avviene nel caso temporale, le frequenze spaziali maggiori di KN risulteranno co- me frequenze ribaltate nello spettro a valori minori lungo l’asse dei numeri d’onda.

Per capire meglio gli effetti della variazione delle spaziature ∆x e ∆y sulle figure di riflessione si osservi la Figura 5.15, in cui è schematizzato un deposito con stratificazione incrociata con punti di massima concavità/convessità uguali a λ. Con una spaziatura maggiore o uguale a λ non si riesce a costruire un’immagine corretta (Figura 5.15.a); con una spaziatura di λ/2 le dimensioni del target vengono sottostimate (Figura 5.15.b); con la stessa spaziatura, ma con una diversa localizzazione delle tracce, non viene restituita un’immagine corretta (Figura 5.15.c); infine, con una spaziatura uguale a λ/4 si ha un’immagine che rappresenta in maniera corretta la forma del target (Figura 5.15.d)

Figura 5.15: Effetti della variazione della distanza S (corrispondente a ∆x o ∆y) tra due stazioni di misura successive su un deposito con stratificazione incrociata con distanza tra i punti di massima concavi- tà/convessità (L) approssimabile alla lunghezza d’onda dell’andamento della stratificazione. A destra sono raffigurate le riflessioni che si osserverebbero su un ipotetico radargramma (Ribolini A., 2012).