PUNTI DEBOLI E PRE-REQUISITI DEI MODELLI NUMERICI Limiti dei modelli numeric

Non si dovrebbe mai dimenticare che un modello non può spiegare qualcosa di totalmente sconosciuto e inaspettato. I modelli matematici sono invenzioni della mente umana, e possono “sapere” solo ciò che è già in parte conosciuto. Pertanto, i modelli numerici possono essere utilizzati solo per indagare scenari noti (o almeno plausibili). In una certa misura questo è vero anche per i modelli sperimentali: gli esperimenti in vitro vengono progettati tenendo a mente alcuni scenari di fallimento specifici. Tuttavia, non è raro che durante un esperimento in vitro qualcosa di totalmente atteso accada, che indica l’esistenza di altri potenziali scenari di fallimento; questo non può accadere a un modello numerico.

Oltre a tale limitazione primaria, ci sono altri limiti legati alla specificità dei modelli numerici. La limitazione più grande viene dal processo alla base di ogni modello: l’idealizzazione. Osserviamo la realtà fisica, e da questa osservazione sviluppiamo una rappresentazione idealizzata del fenomeno di interesse, che descriveremo in termini matematici [52]. Tale idealizzazione può trascurare alcuni aspetti (idealizzazione aristotelica), o può assumere per vero qualcosa che sappiamo essere falso (idealizzazione galileiana: ad esempio, un oggetto di massa nulla). In entrambi i casi, questo processo è associato con alcune limitazioni della validità del modello, che non possono essere eliminate. Per esempio, un modello in cui il contatto viene considerato senza attrito non sarà mai in grado di chiarire nulla sull’abrasione.

Un secondo limite di modelli numerici deriva dagli strumenti numerici utilizzati [22]. Qualsiasi soluzione numerica è approssimata: tale approssimazione definisce una “risoluzione” per il nostro modello. Dettagli ed eventi che sono più fini di questa risoluzione non possono essere studiati con quel modello. Alcune approssimazioni numeriche, come quelle causate da precisione finita di calcolo, sono generalmente trascurabili. Tuttavia, nel metodo FE ci sono altri problemi come la discretizzazione del dominio di integrazione che potrebbe indurre errori critici. Per esempio, una stima FE del contatto alla punta di un oggetto appuntito (ad esempio la punta o la filettatura di una vite ossea) non è affidabile fino a due-tre elementi di distanza (a meno che sono si utilizzino strumenti FE dedicati per modellare adeguatamente tale contatto localizzato).

Il terzo problema del metodo FE riguarda la cosiddetta identificazione del modello. Questa consiste nella determinazione dei valori da assegnare ai parametri del modello (ad esempio: modulo di Young, coefficiente di attrito, proprietà dei materiali anisotropi, tasso di rimodellamento osseo, vincoli, carichi). In generale, questi valori derivano da misure sperimentali o da altra stima: in entrambi i casi tale informazione è disponibile con precisione limitata. Tale incertezza nei parametri del modello si propaga alle previsioni del modello. Qualsiasi tentativo di investigare numericamente fenomeni il cui effetto è paragonabile a tale incertezza di previsione è per definizione impossibile.

Requisiti dei modelli FE: identificazione dello scopo del modello

Come detto sopra, un modello di un segmento osseo determinato o ragione anatomica non è universale e non è in grado di rimediare ad eventuali domande biomeccanici. Pertanto, il campo di applicazione del modello dovrebbe essere definito in modo chiaro e poco ambiguo possibile. I modelli possono essere utilizzati semplicemente per rappresentare un fenomeno (ad esempio a scopo didattico, per la memorizzazione). Modelli possono essere utilizzati anche per valutare correlazioni tra porzioni di realtà. Se un modello in grado di indagare la correlazione, si è tentati di citare in giudizio anche per la quantificazione e la previsione dei fenomeni biomeccanici. Si tratta di categorie generali, ma il campo di applicazione di modellazione devono essere definiti con maggiore dettaglio: ipotizzando perseguiamo un ambito di modellazione predittiva, dovremmo definire quale porzione della realtà vogliamo catturare, quale quantità biomeccaniche abbiamo bisogno di stimare, a quali condizioni (ad esempio, quello che scenari di carico, le condizioni del paziente, ecc.).

Requisiti dei modelli FE: idealizzazione e sviluppo

Un modello consiste in un’idealizzazione di una porzione di realtà, osservando come grandezze meccaniche/biologiche sono organizzate nello spazio e nel tempo, e come interagiscono tra di loro. Nella modellazione scientifica, questo artefatto cognitivo deve

essere espresoa in termini logici: i modelli possono essere suddivisi in modelli induttivi (cioè modelli di regressione, modelli di dati), modelli deduttivi (cioè modelli basati sulle leggi della fisica) o modelli abduttivi (cioè i modelli bayesiani).

Il modello è ora trasformato in uno strumento che può essere utilizzato praticamente per affrontare il problema pratico. Tipicamente, l’idealizzazione si traduce in una forma matematica, che viene poi risolta per un insieme di valori iniziali per via analitica (cioè esatta) o numerica (in forma approssimata). A causa della complessità dei modelli coinvolti nella biomedicina, la maggior parte dei modelli sono risolti numericamente.

Requisiti dei modelli FE: verifica

Quando un modello matematico è risolto numericamente, è importante quantificare la precisione di tale soluzione approssimata. Per i modelli lineari, è generalmente possibile stimare gli errori associati alla soluzione numerica. Per i modelli FE si possono usare indicatori post-hoc come i residui sulle tensioni, o un test di convergenza (Figura 1) su parametri come l’energia potenziale di tutta la struttura, gli spostamenti e le tensioni nei punti d’interesse. Questo approccio consente di stimare l’errore dovuto alla discretizzazione spaziale del dominio, che è uno degli aspetti più delicati della modellazione FE [53].

Figura 1 – Test di convergenza per verificare l’adeguatezza delle maglie utilizzate per

modellare un femore umano: in questo caso, lo spostamento sotto carico in un determinato punto dell’osso (il centro della testa del femore) mostra un asintoto.

(Copyright del consorzio VPH-OP; riprodotto con permesso). 153

Requisiti dei modelli FE: analisi di sensitività

I modelli FE stimano lo stato di un sistema (ad esempio la distribuzione di sollecitazione/deformazione) a partire da un insieme di valori iniziali (proprietà del materiale, carichi applicati, condizioni al contorno, etc). È importante verificare come un’incertezza su tali parametri in ingresso influisce sulle stime fornite dal modello. Prima di tutto, perché i valori iniziali utilizzati per l’identificazione del modello sono sempre associati con un errore: dobbiamo fare in modo che questa incertezza non pregiudichi le conclusioni che si intende trarre dal modello. In secondo luogo, se si nota che il modello è estremamente sensibile a piccole variazioni di alcuni valori iniziali, questo può suggerire che l’idealizzazione, o la sua implementazione matematica o numerica sono critiche. Assumendo che si abbia una stima attendibile della incertezza associata a ciascuno dei parametri da utilizzare nel modello, si consiglia di eseguire un’analisi di sensitività, per valutare come queste incertezze si propagano attraverso il modello e influenzano il risultato del modello. Questo può essere fatto con una semplice analisi esplorativa, come la progettazione di esperimenti (DOE) e simili strategie semplificate Taguchi [54], ovvero utilizzando un approccio più complesso basata sull’incorporazione di un modello FE all’interno di una simulazione statistica tipo Monte Carlo. L’analisi di sensibilità è il modo migliore per scoprire la presenza di difetti veramente imprevedibili nel modello.

I modelli agli elementi finiti necessitano una validazione

Se i passi precedenti vengono eseguiti correttamente, la precisione della soluzione numerica è nota. Pertanto, si può “misurare” l’accuratezza predittiva del modello confrontando il risultato con le grandezze fisiche corrispondenti, misurate in un esperimento fisico controllato. Come principio generale non si dovrebbe mai dimenticare che affermazioni come l’“osso è elastico” sono false. Intendiamo dire che se il comportamento dell’osso è modellato utilizzando equazioni viscoelastiche, i risultati saranno generalmente più accurati che non usando altri tipi di modelli reologici (ad esempio puramente elastico). Ogni modello è ragionevolmente accurata entro certi limiti (il campo di applicazione di modellazione deve essere compatibile con tali limiti): nessun materiale si comporta in modo elastico-lineare a tempo indeterminato, e la maggior parte dei materiali ad alta temperatura si comportano in modo viscoelastico. Si deve notare che la validazione (nel senso di determinare se un modello computazionale rappresenta l’evento fisico reale con sufficiente precisione [22]) non è neppure possibile in termini assoluti. Infatti, in una prospettiva filosofica, un accordo tra le previsioni del modello e le osservazioni fisiche non

valida una teoria (come un modello, nel nostro caso). Al contrario, una sola eccezione è

sufficiente a falsificare la stessa teoria [55]. In senso stretto, i modelli non possono essere validati: possono sono essere falsificati. Secondo Popper, tuttavia, un modello può essere “corroborato” se resiste a severi test, e allora non sarà necessario sostituirlo con un’altra teoria. In questa prospettiva, la validazione rispetto a una specifica serie di test e tolleranze pre-definite può essere un percorso legittimo per un processo decisionale concreto [22, 56].

Non c’è un unico approccio possibile per la validazione che si applichi a tutti i problemi. Quando non è ovvio quale modello matematico è più adatto, un approccio tipo

inferenza forte è consigliabile ([57], vedi sotto). L’inferenza forte consiste nell’avere due o

più teorie/modelli candidati, e farli competere rispetto ai risultati di uno o più esperimenti controllati. Si deve sempre ricordare il rasoio di Occam: se due modelli mostrano simile accuratezza predittiva, il più semplice dovrebbe essere scelto.

Figura 2 – Esempi di trasduttori per la sperimentazione biomeccanica in vitro: (A) setup per

misurare la deformazione ossea durante la caduta; (B) sistema per misurare micro-movimenti osso-protesi; (C) dettaglio di misurazione della deformazione sulla superficie ossea. I seguenti

tipi di trasduttori sono visibili: (a) cella di carico torsionale misura il carico nel femore; (b) encoder rotativo misura l’inclinazione del provino sotto carico; (c) due LVDT misurano la deformazioni complessiva del provino (femore, in questo caso), (d) 4 LVDT per misurare i micro-movimenti impianto-osso, (e) due tipi di estensimetri (rosette sovrapposte triassiali) .

Sono altresì visibili i cuscinetti lineari (f) impiegati per eliminare qualsiasi iperstaticità. (Copyright consorzio VPH-OP; riprodotto con permesso).