IL RUOLO DEGLI ESPERIMENTI IN VITRO NEL MIGLIORARE I MODELLI AGLI ELEMENTI FINIT

Gli esperimenti non possono essere utilizzati per affrontare i limiti dei modelli FE relativi ala precisione numerica ed al post-processing sopra descritte. Tuttavia, altre limitazioni riguardano l’importanza di fornire ai modelli FE dei parametri di ingresso affidabili (identificazione), e di confrontare i modelli FE con misure di riferimento affidabili (validazione). Qui di seguito è elencata una serie di ruoli che gli esperimenti possono svolgere per migliorare i modelli FE a livello di organo (vedi anche Figura 3). Tali prove meccaniche devono includere un approccio multi-scala, in modo da fornire informazioni alle diverse scale dimensionali, da tutto il corpo fino al livello di tessuto e sub-tessuto [82, 83 ]. Nelle pagine seguenti, la maggior parte dei dettagli fa riferimento a modelli a livello di organo (cioè un intero femore o scapola). Tuttavia, i principi di base rimangono validi anche quando le altre scale sono coinvolte, come nella modellazione del corpo intero o in simulazione micro-FE a livello tissutale.

Identificazione preliminare degli scenari ed indicatori più rilevanti

Come detto sopra, i modelli possono affrontare solo scenari noti: se i dettagli di un modello FE (ad esempio, le configurazioni di carico, tipo di elementi, raffinatezza maglia) sono scelti per fornire le informazioni più accurate per un indicatore scelto (ad esempio lo sollecitazione meccanica nel tessuto osseo), il modello potrebbe essere inadatto per la previsione di altre grandezze (ad esempio spostamenti impianto-osso, o il rischio di frattura). In una certa misura questo è vero anche per gli esperimenti in vitro (che si basano su modelli in vitro di realtà). Tuttavia, siccome gli esperimenti in vitro si basano su campioni fisici, sono intrinsecamente più vicini alla realtà, e quindi sono meglio in grado di descrivere gli aspetti della realtà che potrebbero sfuggire del tutto ad un modello FE. Una volta che le prove in vitro hanno identificato il modo più rilevante del fallimento, o lo scenario di carico più critico, un modello FE può essere appositamente progettato o messo a punto per affrontare tale modalità o scenario.

Equazioni costitutive e criterio di collasso

Un modello FE progettato per prevedere il comportamento strutturale, la forza a livello d’organo, o la risposta osso-impianto, di solito adotta un presupposto di continuità a livello di tessuto osseo. Modelli del genere richiedono la definizione di proprietà meccaniche continue a livello del tessuto osseo tessuto. Come indicato nell’introduzione, i modelli FE

subject-specific da dati TC sono di recente diventati la scelta elettiva per valutare possibili

applicazioni cliniche. Approcci alternativi sono stati studiati per generare un modello a livello d’organo che incorpora le informazioni a livello di tessuti (e quindi modella esplicitamente l’architettura trabecolare) [84]. Tuttavia, a causa della necessità di un’impressionante potenza di calcolo, e di immagini cliniche ad alta risoluzione (micro-CT), tali modelli non possono attualmente essere utilizzati per applicazioni cliniche.

Il tessuto osseo è disomogeneo, anisotropo, e in certa misura viscoelastico [85-88]. La viscoelasticità può essere trascurata per la maggior parte degli studi biomeccanici che valutano le tensioni nell’osso come conseguenza di carichi fisiologici [89]. Tuttavia, quando velocità di deformazione è un fattore importante (es. urto), la viscoelasticità dell’osso può essere inclusa considerando l’effetto di velocità di deformazione durante l’assegnazione del modulo elastico [90]. Il modulo di elasticità (modulo di Young) del tessuto osseo può variare di oltre il 50% per l’osso corticale, e di oltre il 500% per l’osso spongioso, a seconda del sito anatomico, della direzione del carico, e del donatore [91, 92, 93, 99]. La maggior parte di questa variabilità può essere spiegata in termini di disomogeneità. Tuttavia, nei primi modelli FE, il tessuto osseo è stato modellato come un materiale completamente omogeneo e isotropo [94, 95], dove l’unica distinzione era tra tessuto corticale e trabecolare. L’assegnazione di costanti elastiche medie a tutta la struttura ossea è associata a grandi errori (dello stesso ordine di grandezza dell’incertezza associata con il modulo di Young). Sono da aspettarsi in media errori dell’ordine del 10- 50%, con punte locali largamente superiore al 100%.

Più di recente, la disomogeneità osso è stato introdotto nei modelli FE di ossa sotto l’ipotesi di assunzione di meccanica del continuo [96, 97], misurando la densità del tessuto osseo da scansioni TAC [98], e calcolando il osso modulo di Young dalla densità del tessuto [90, 99-101]. Il citato rapporto densità-elasticità è, tuttavia, ancora associato a una banda di confidenza molto ampia [89], che può essere ridotta con la verifica sperimentale. Prima di tutto, una parte significativa di questa incertezza è dovuta a errori sperimentali che possono essere ridotti seguendo le linee guida di prova adeguate [89, 102-104]. Tuttavia, rimane una componente di errore casuale, che è associata con la variabilità della dipendenza densità-elasticità tra soggetti. Pertanto un ulteriore possibile miglioramento, sebbene limitato a studi di validazione in vitro, potrebbe consistere nel caratterizzare il tessuto osseo dallo stesso campione di osso che viene modellato con gli elementi finiti. Tali prove devono essere eseguite dopo che il test a livello d’organo è stato completato secondo un paradigma stabilito per il test multi-scala di strutture ossee [82]. Tali test possono includere diverse tecniche di misura:

• L’istomorfometria da scansione micro-CT [105] può migliorare la valutazione della struttura ossea e l’anisotropia associata, andando a migliorare i modelli FE. • Prove meccaniche sul materiale: campioni di tessuto di alcuni millimetri possono

essere estratti in regioni selezionate e testate [89]. In questo caso, le proprietà del materiale misurate direttamente sono disponibili per le posizioni selezionate, per identificare i parametri di ciascuna regione del modello FE.

• Microstruttura con microscopia a luce polarizzata [106] fornisce una visione chiara nella disposizione microstrutturale del tessuto osseo, compreso

l’orientamento del collagene all’interno delle lamelle che compongono l’osso. Tutte queste misure sperimentali del tessuto e sub-tessuto livello forniscono una migliore valutazione dei parametri, migliorando così l’identificazione del modello.

Infine, va ricordato che i rapporti di densità-elasticità citati possono identificare il modulo elastico in una sola direzione (tipicamente, la direzione della deformazione principale massima). Informazioni sulla anisotropia dell’osso migliorerebbero i modelli FE in modo significativo. Lo sviluppo di atlanti e modelli che incorporano le informazioni da una popolazione di ossa potrebbe essere un modo di procedere. È stato recentemente dimostrato per la mandibola che i modelli multi-scala micro-meccanici sono in grado di fornire l’intera serie di costanti elastiche ortotrope per il tessuto osseo a partire da informazioni sul contenuto di minerali da scansioni CT [107]. La conferma di questo modello micro-meccanico fino al livello del tessuto si è basata su prove meccaniche multi- scala [86, 108]. Ulteriori prove sperimentali a livello di organo sono necessarie per valutare se tale approccio può fornire risultati più accurati rispetto ai modelli disomogenei ma isotropi quando i carichi sono applicati in una direzione che enfatizza la risposta anisotropa [109].

Validazione

Come già sottolineato, la validazione in termini assoluti non è possibile. Tuttavia, in certi casi può essere accettabile validare un modello numerico tramite il confronto con un certo numero di misure sperimentali. Nella maggior parte dei casi, questa è anche l’unica soluzione praticabile. Tali esperimenti costituiscono ovviamente solo una serie di casi individuali, e non possono coprire la gamma infinita di scenari reali. Esperimenti di validazione non sono necessariamente progettati per rappresentare una condizione fisiologica specifica o un compito motorio. Nella maggior parte dei casi, gli esperimenti di validazione sono progettati in modo da ottenere il miglior controllo delle condizioni sperimentali, e per fornire grandezze in uscita accessibili e misurabili (che per essere utilizzate per la validazione del modello numerico).

Le grandezze meccaniche più utili che possono essere dedotte da prove sperimentali sui segmenti ossei sono: deformazione principale e spostamenti in aree selezionati [4, 75]; carico di rottura [110] e il punto di innesco della frattura [111].

Deve essere chiaro che il confronto sperimentale-numerico deve essere effettuato su dati quantitativi, e dovrebbe essere un confronto uno-a-uno per ciascun campione, e per ogni misurazione all’interno di ciascun campione [47].

Dai suddette pre-requisiti di confronto numerico-sperimentali, e conoscendo le caratteristiche delle misure sperimentali, si possono identificare alcune criticità nel replicare le misure sperimentali nei modelli numerici:

• Corrispondenza uno-a-uno: per evitare fonti di errore relative alla variabilità inter- individuale (che è difficile da quantificare), il modello FE in corso di validazione deve corrispondere allo stesso esemplare fisico testato in vitro.

• Registrazione spaziale: per replicare condizioni al contorno e la posizione dei sensori, la relativa posa del sistema di riferimento del modello FE deve essere determinato rispetto a quello in vitro. Una procedura documentata per raggiungere questo obiettivo è: (i) digitalizzare il segmento osseo, più eventuali punti rilevanti, e il riferimento sperimentale tramite un misuratore di coordinate digitale (digitizer, Figura 4), (ii) utilizzare successivamente per un algoritmo iterative closest point (ICP), come proposto per la risoluzione di problemi di registrazione rigidi [112], per eseguire la registrazione della nuvola di punti acquisiti sulla superficie ossea estratta dai dati CT, e

per determinare la trasformazione tra il sistema di riferimento di laboratorio sperimentale e quello del modello FE. L’accuratezza media di tale procedura può essere inferiore a 0,9 millimetri [47]. Per esempio, la posizione dei trasduttori può essere utilizzata per rendere possibile una validazione punto per punto del modello FE contro deformazioni o spostamenti sperimentalmente acquisiti. Analogamente, la posizione relativa dei punti di applicazione del carico e le parti del sistema di caricamento può essere acquisita per migliorare l’identificazione dei modelli FE. • Direzione di misura: nel caso siano previsti estensimetri monoassiali, o trasduttori

direzionali la loro posa nel modello fisico deve venire misurata, per poterla riprodurre nel modello FE. Quando sono utilizzati estensimetri triassiali, le due deformazioni principali e la loro direzione sono disponibili per il confronto con le previsioni FE. Allo stesso modo, la direzione degli spostamenti misurati in vitro (dopo la compensazione di artefatti da movimento del corpo rigido) deve essere presa correttamente in considerazione per consentire confronti sperimentale-numerica. Metriche di accuratezza locali e globali devono essere definite per validare quantitativamente un modello FE. Una precisione metrica globale può essere ottenuta graficando le deformazioni principali stimate dal modello FE contro le corrispondenti grandezze misurate sperimentalmente, per un certo numero di configurazioni di carico (Figura 5). La bontà della predizione può essere espressa dal coefficiente di determinazione (generalmente indicato come R2), e dalla pendenza e intercetta della curva di regressione. Idealmente, si dovrebbe trovare una relazione perfettamente lineare tra le misure e le previsioni (R2 = 1) con pendenza unitaria e intercetta zero. Tuttavia, possono verificarsi artefatti statistici quando i dati sono raggruppati in due grandi nuvole [113], il che avviene in genere quando vengono esaminati le due principali componenti di deformazione. In questo caso l’analisi deve essere integrata da una metrica locale, in termini di errore medio (calcolato come l’errore quadratico norma, anche conosciuto come Radice errore quadratico, RMSE medio), e di errore di picco.

Figura 4 – Un digitalizzatore ad alta precisione può essere usato per acquisire la posizione dei

punti rilevanti sui provini fisici in modo da individuare loro nella geometria del corrispondente modello FE. Nell’immagine a sinistra un digitalizzatore viene utilizzato per acquisire le coordinate spaziali dei punti di un femore strumentato con estensimetri. Nell’immagine a destra una vertebra lombare è digitalizzata per identificare le condizioni al contorno in vitro.

(Copyright del consorzio VPH-OP; riprodotto con permesso). 161

Figura 5 – Valutazione dell’accuratezza delle previsioni FE confrontate con le misure

sperimentali. La vicinanza della pendenza a 1.00 e la bontà di fit (R2 vicino a 1.00) indicano la capacità del modello FE nel replicare spostamenti e deformazione misurate nei campioni fisici. In questo caso, otto femori prossimali sono state studiati utilizzando un modello FE basato sulla TAC dei campioni fisici. (A) le deformazioni principali sono state misurate in 15 punti, per 6

diverse configurazioni di carico su tutti e 8 i femori (risultati presi da [47]). (B): spostamenti antero-posteriore e medio-laterale sulla testa femorale e diafisi femorale sono stati misurati con

quattro trasduttori di spostamento per sei diverse configurazioni di carico (LC1 toLC6): in questo caso gli spostamenti medio-laterale attesi dal modello FE sono confrontati contro la

corrispondente misurazioni in vitro.

(Copyright del consorzio VPH-OP; riprodotto con permesso).

5. COME I MODELLI AGLI ELEMENTI FINITI POSSONO MIGLIORARE GLI