2. SCIENZA DELLE RETI COMPLESSE: TEORIE E MODELLI PER
2.1.2 Reti di piccolo mondo (Small world networks)
Duncan Watts, studiando il comportamento degli oscillatori accoppiati disposti in reticoli regolari monodimensionali, intuì che per comprendere il comportamento di un numero elevato di elementi facenti parte di una rete è necessario comprenderne la struttura delle connessioni; parafrasando Bateson potremmo dire che è necessario spostare lo sguardo su “la struttura che connette”. Può essere considerato intuitivo pensare che i processi di diffusione di informazioni o delle epidemie in una rete sociale sono fortemente influenzati dalla relazione esistente tra struttura e funzione ricoperta da ciascun nodo, tanto più se consideriamo le reti sociali come dei sistemi complessi e dinamici nei quali ogni elemento della rete può subire mutamenti nel tempo. Ma questo modo di pensare era in contrasto con la tendenza dei teorici che hanno sempre eluso la questione della connettività utilizzando solo modelli di reti regolari o totalmente casuali non per la loro aderenza ai sistemi reali ma perché più facili da analizzare e trattare matematicamente (Watts, 1999).
La modellizzazione matematica del “problema small-world” rappresenta una situazione intermedia tra una rete casuale ed una regolare. Per rappresentare l'architettura di una rete intermedia sono necessari due concetti statistici: la lunghezza media del percorso tra due nodi, ossia il grado di separazione, e il clustering o addensamento locale. La lunghezza media del percorso si calcola contando i passi della catena più breve che separa una coppia di nodi, poi si rifà il conto per tutte le altre coppie di nodi e si calcola la media delle lunghezze ottenute. La seconda grandezza fornisce il valore medio di sovrapposizione tra i nodi di una rete ed è identificata dalla probabilità che due nodi connessi ad un nodo comune siano anche connessi l'uno all'altro: dal punto di vista sociale rappresenta la probabilità che due persone che hanno un amico comune siano a loro volta amici. La lunghezza media del percorso dipende dal modo in cui l'intera rete è connessa fornendo una misura di quanto sia estesa, ma non esiste nessun dato che
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localmente possa fornire informazioni su di essa. Il clustering, al contrario, fornisce informazioni sulla struttura locale (Watts, 1999).
All'inizio della metamorfosi tra una rete casuale ed una regolare le poche connessione casuali esistenti agiscono come scorciatoie tra nodi lontani posti anche a notevole distanza. L'attivazione di queste scorciatoie scatena un potente effetto non lineare per cui questi punti uniscono non solo due nodi lontani ma addirittura interi “mondi” lontani. Inserendo poche scorciatoie si riducono drasticamente le dimensioni del mondo mentre il valore del clustering rimane pressoché costante. Dunque la transizione da una rete casuale ad una rete di piccolo mondo è praticamente impossibile da percepire a livello locale contrariamente a quanto accade nelle reti casuali o totalmente ordinate nelle quali dimensioni e addensamento locale procedono di pari passo.
Le reti di piccolo mondo sono caratterizzate, dunque, dall’avere contemporaneamente una dimensione relativamente piccola, misurata come distanza media tra i nodi della rete (average path length), ed un elevato addensamento locale (clustering).
Figura 2.1.2_1 - Grafi regolari: semplice (a) e totalmente connesso (b) (tratto da Strogatz, 2001)
Figura 2.1.2_2 - transizione da un grafo regolare verso un grafo casuale (p= probabilità di link casuali)
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Tali reti intermedie vengono definite reti di piccolo mondo facendo riferimento al campo delle relazioni umane nelle quali pur facendo parte di gruppi ristretti siamo connessi a persone sconosciute attraverso percorsi straordinariamente brevi garantiti dalle nostre conoscenze personali.
Il modello è stato testato empiricamente anche su quattro casi di comportamento di sistemi dinamici.
Nel primo caso viene applicato un modello epidemico di diffusione di una malattia all’interno della rete. Il secondo caso è relativo alla simulazione del gioco del Dilemma del Prigioniero reiterato. Scopo del gioco è di massimizzare il punteggio totale derivante dal comportamento dei giocatori. I giocatori corrispondono ai vertici della rete e possono scegliere di cooperare o di competere con gli altri nodi della rete ottenendo in questo secondo caso un maggior “guadagno” se gli altri decidono di cooperare. Il terzo caso è relativo alla verifica su un automa cellulare: partendo da una configurazione nella quale ciascun nodo della rete può essere “acceso” o “spento”, il problema è di costruire una regola locale di tipo dinamico che porti il sistema ad uno stato nel quale le celle sono o tutte accese o tutte spente a seconda che nello stato iniziale siano presenti più celle accese o celle spente. Il quarto caso è relativo ad una simulazione nella quale i nodi della rete sono degli oscillatori accoppiati che tendono a sincronizzarsi come risultato di deboli interazioni che si verificano tra i nodi lungo le connessioni.
Nel primo caso le evidenze empiriche mostrano che la topologia della rete di piccolo mondo facilita la diffusione delle malattie in quanto è caratterizzata da una bassa soglia epidemica55
(epidemic threshold) che tende ad abbassarsi più che progressivamente all’aumentare delle «scorciatoie comunicative» (shortcuts). Generalizzando questo risultato nel caso della trasmissione di informazioni si può dire che in una rete di piccolo
55Tale soglia è di fatto un valore statistico e corrisponde al valore critico della probabilità p che un
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mondo è possibile raggiungere con maggiore facilità le persone incluse nella rete.
Nel secondo caso l’evidenza empirica mostra che le reti di piccolo mondo sembrano essere meno efficienti rispetto ad una topologia di grafo regolare.
Nel terzo e nel quarto caso le evidenze empiriche mostrano che la topologia di rete di piccolo mondo determina una più veloce sincronizzazione rispetto ad un reticolo regolare.
Per ricollegare il discorso alla sincronia è interessante notare che gli oscillatori accoppiati in una rete di piccolo mondo si sincronizzano più prontamente di quanto non farebbe una tradizionale rete dotata di una struttura regolare, cioè le scorciatoie diventano dei canali di comunicazione ad alta velocità che permettono il rapido diffondersi attraverso l'intera popolazione di mutue influenze. E questo a costi minori rispetto al caso in cui ogni oscillatore venisse collegato direttamente ad ogni altro.