Risultati dai tools di MATLAB/Simulink

tica. Anche se grazie alla scelta dell'ordine e della topologia siamo riusciti a raggiungere un buon compromesso tra complessità circuitale e buone pre- stazioni in relazione alle speciche di risoluzione richieste quando dobbiamo implementare realmente il convertitore dobbiamo tenere conto di tutte le non

Capitolo 2 Progetto System-Level del Convertitore AD ∆Σ Page 34 idealità presenti nel modulatore (viste nel capitolo precedente), che dipen- dono fortemente dalle scelte architetturali fatte. In un sistema in cui vanno soddisfatte speciche per il raggiungimento di prestazioni elevate è fondamen- tale che le simulazioni di tutte le non idealità presenti siano estremamente accurate. Attraverso simulatori elettrici circuitali (Cadence, SPICE, ecc...) è possibile ottenere risultati molto precisi, ma richiedono tempi di elaborazione molto lunghi. Una buona alternativa è data dall'ambiente MATLAB/Simu- link, dove esistono tool interessanti e molto accurati per l'analisi e lo sviluppo di un modulatore delta-sigma che non richiedono tempi di calcolo eccessivi. Noi abbiamo utilizzato pertanto il SD toolbox [3], che in modo relativamen- te semplice e intuitivo ci permette di analizzare tutte le non idealità di un modulatore delta-sigma dalle quali è possibile valutare quella che più rea- listicamente saranno le prestazioni del nostro modulatore. Una dettagliata descrizione del tool è presente in Appendice A, dove sono presenti anche le modiche che abbiamo dovuto apportare al tool per le nostre esigenze. In questo paragrafo ci limiteremo a parlare dei risultati ottenuti riguardo gli eetti del guadagno nito sull'errore di guadagno.

2.3.1 Sintesi del Modulatore

Con le scelte no ad ora eettuate possiamo iniziare a sintetizzare il nostro modulatore, ovvero per prima cosa, a calcolare la NTF del nostro sistema. Per farlo ci viene in soccorso ancora una volta un tool dell'ambiente Matlab (sviluppato da Richard Schreier), il delta sigma Toolbox [15]. Anche in questo caso è possibile trovare una descrizione degli strumenti del tool in Appendice A. Tramite questo tool è possibile trovare i valori dei coecienti caratteristici della struttura del modulatore specicando l'ordine, il valore di OSR e il grado di ottimizzazione, con il quale si indica la possibilità di eettuare un ottimizzazione degli zeri della funzione NT F per incremento del rapporto segnale rumore. Tramite le elaborazioni riportate in Appendice A abbiamo trovato i seguenti coecienti:

a = [0.1252, 0.07024] b = [0.1252, 0, 0] g = [0.000072033] c = [0.1602835, 9.8296]

Si nota che g1 ha un valore molto piccolo approssimabile a zero quindi può

essere trascurato come si fa per b2 e b3. Inoltre, si può notare come a1 = b1,

Capitolo 2 Progetto System-Level del Convertitore AD ∆Σ Page 35 sia perché come vedremo, i coecienti possono essere implementati con dei rapporti di capacità, si risparmiano due condensatori e alcuni switch (pass gate), sia perché i due coecienti moltiplicano il segnale d'ingresso e quello di uscita riconvertito in analogico e riportato in ingresso, i quali a regime hanno valor medio uguale, e quindi si può dire che a regime si ha potenza media assorbita nulla.

Per quanto riguarda c2 noi ipotizzeremo che sia pari a 1, dal momento che

il segnale ad esso moltiplicato va in ingresso al comparatore per cui è ri- levante solo la polarità. In verità questa è solo un'approssimazione per il modellamento del convertitore; anticipando quanto vedremo parlando della temporizzazione di un delta-sigma, la funzione NT F per un modulatore del secondo ordine (considerando il ritardo di mezzo ciclo di clock del comparato- re, che come vedremo è indispensabile) di topologia CIFB resa con coecenti appena trovati è fatta così:

N T F (z) = (1 − z

−1₎2

(1 − z−1₎2_{+ a}

2c2(1 − z−1)z−1+ a1c1c2z−2 (2.1)

Porre c2 = 1produrrebbe un risultato molto diverso da quello ideale (NT F =

(1 − z−1)2_{), mentre per c}

2 ≈ 10 i due casi quasi combaciano. Questo non

signica che dobbiamo creare un blocco di amplicazione per implementare c2, la sua realizzazione è strettamente legata al guadagno del comparatore

(che è molto dicile da esprimere). Se abbiamo un comparatore con una buona isteresi non occorre un blocco circuitale per realizzare c2. Per questo,

generalmente il parametro c2 viene generalmente considerato unitario, seb-

bene tutti i progettisti di convertitori delta-sigma siano consapevoli di questa discrepanza del modello.

2.3.2 Errore di Guadagno

Un aspetto molto importante da considerare è l'errore di guadagno del con- vertitore che si traduce in una pendenza della caratteristica minore dell'u- nità, e quindi in una conversione con un errore di accuratezza. Dalle varie simulazioni eseguite è risultato che l'unico fattore che concorre all'errore di guadagno è il guadagno nito dell'amplicatore operazionale. La prima cosa che abbiamo fatto è stata dimostrare che le non idealità del secondo integra- tore incidono in maniera molto leggera sulle prestazioni del sistema. Questo è stato fatto eseguendo alcune simulazioni tenendo costante il guadagno del- l'amplicatore del primo integratore e variando quello dell'amplicatore del secondo integratore ed è risultato che i campioni in uscita non risentono di questa variazione. Quindi d'ora in poi ipotizzeremo che l'amplicatore ope- razionale del secondo integratore abbia un guadagno ideale (innito).

Capitolo 2 Progetto System-Level del Convertitore AD ∆Σ Page 36 Quello che abbiamo fatto è stato simulare la caratteristica ingresso uscita del nostro convertitore mettendo in ingresso valori in continua da 0 a 0 mV (con un VF S = 1 V) al variare di A0, il guadagno dell'amplicatore operazionale

del primo integratore (la bit-stream in uscita dalla funzione che realizza il CIC in MATLAB è stata convertita utilizzando la relazione (1.2)). Perché

Figura 2.6: Confronto delle caratteristica ingresso-uscita del sistema per bassi valori del guadagno dell amplicatore operazionale e di quella ideale (a) e dierenza tra valore ideale e valore in uscita dal sistema (errore assoluto) per

diversi valori di A0 (b)

la dierenza di pendenze fosse apprezzabile sull'intera dinamica i guadagni dell'amplicatore operazionale sono stati impostati a valori molto bassi, ossia A0 = 40 e A0 = 400, per poter apprezzare sulla medesima scala la caratte-

ristica ideale e le caratteristiche con errore di guadagno. In Figura (2.6-a) si può osservare che l'errore introdotto da un A0 è lineare e dunque trat-

tabile come un errore di guadagno del convertitore. Per avere un ulteriore conferma di ciò, ma anche per vedere che lo stesso comportamento si ottiene anche per guadagni più elevati, è stato simulato il sistema con guadagni pari a A0 = 40 · 103, A0 = 400 · 103 e A0 = 4 · 106 e poi in Figura (2.6-b) è

stato riportato l'errore assoluto (ossia, per ogni tensione d'ingresso, la die- renza fra la codica in uscita, riportata in Volt e normalizzata alla dinamica d'ingresso dividendo per il valore massimo codicato in uscita dal CIC, e il valore ideale). Si può vedere come anche in questo caso variando il guadagno varia la pendenza delle rette nel graco ma non solo, è anche interessante come per una stessa tensione d'ingresso l'errore assoluto presente in uscita sia totalmente lineare con il variare del guadagno.

Questi risultati sono molto interessanti, dimostrano che c'è una non trascura- bile relazione tra l'eettiva accuratezza del convertitore e il guadagno dell'am- plicatore del primo integratore. Tramite ulteriori elaborazioni nel tool di MATLAB è possibile rapportare l'errore sull'accuratezza dovuto al guadagno

Capitolo 2 Progetto System-Level del Convertitore AD ∆Σ Page 37 nito, in particolare abbiamo visto che per ottenere il risultato desiderato, ossia, l'errore al di sotto di un LSB (pari ad esempio a 1.8

219V ≈ 3.433 µV per

un convertitore bipolare con VREF = 1.8 V) occorre un guadagno A0 nell'or-

dine di 5 · 106_{. Ottenere un amplicatore con guadagno in continua così alto}

è molto dicile, pertanto dobbiamo aspettarci errori pari a una decina di LSB dovuti al solo errore di guadagno.