Il sistema di riferimento tridimensionale è costitu-ito da tre rette non coincidenti passanti per un punto che è l'origine delle rette. Per ciascuna di tali rette, in genere indicate con X, Y e Z, si sce-glie un'unità di misura ed un verso di percorrenza. Le coordinate generiche di un punto nello spazio sono indicate con le lettere x, y e z. Si indica con x il numero reale che individua la distanza di un punto dal piano individuato dalle rette Y e Z mi-surata parallelamente all'asse X nell'unità di misu-ra scelta per quest'ultimo asse. Si definiscono analogamente y e z. Le tre coordinate che indivi-duano un punto nello spazio sono indicate con la simbologia (x,y,z). Quando i tre assi sono fra loro ortogonali il sistema di riferimento si dice orto-gonale o rettangolare. Ciascuna delle tre rette è un asse cartesiano, e insieme formano la terna cartesiana.
4.3
Traiettoria
La traiettoria è l'insieme dei punti corrispondenti alla posi-zione di un corpo in moto o meglio la linea descritta nello spa-zio da un punto o da un corpo in movimento
Più automobili che percorrono la stessa strada, anche nello stesso verso (diremmo direzione nel linguaggio comune ma sappiamo che non è corretto parlare di direzione ma di verso) non è detto che compiano la stessa traiettoria, poiché potrebbe, ciascuna, occupare posizioni diverse sulla stessa, disegnando così traiettorie diverse
quindi, di fatto, per andare da un punto iniziale o di partenza A ad un punto finale o di arrivo B un corpo, libero di muoversi, può raggiungere il punto B percorrendo una qualunque delle traiettorie possibili, ovvero una qualunque linea che congiunga il punto A al punto B.
Tre possibili traiettorie per andare dal punto A al punto B 4.4
Concetto di velocità
La velocità è una grandezza vettoriale (quindi specificata da intensità direzione e verso), (video) definita come il rapporto tra lo spostamento percorso in una certa direzione e l' intervallo di tempo impiegato. Più precisamente si può distinguere tra velocità vettoriale e scalare.
La velocità vettoriale può essere definita come il rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo di tempo impiegato:
tempo
o
spostament
v
(1)dove v è un vettore quindi specificato da intensità o modulo, direzione e verso. Si noti che lo spo-stamento può essere anche negativo (dipende dal verso del vettore), quindi possiamo sapere il verso della velocità.
La velocità scalare può essere invece definita come il rapporto tra la distanza percorsa ed il tempo impiegato a percorrerla:
t
s
tempo
za
dis
v tan
(2)dove v non è un vettore ma è un numero senza segno (sempre positivo).
Essendo quindi il rapporto tra una distanza ed un tempo, la sua unità di misura è
m s
(metri al se-condo). Una seconda unità di misura per la velocità, di uso comune, è il chilometro all'ora (km/h), dove 1 km/h = 0,278 m/s. Di conseguenza 1m/s = 3,6 km/h.Spesso per velocità si intende la rapidità con cui avviene un movimento, potendo distinguere così tra due moti che avvengono lungo la stessa traiettoria ma in tempi diversi.
4.5
Moto relativo
“…Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goc-cia a gocgoc-cia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando in-differentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosí, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tut-ti li nominatut-ti effettut-ti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma….”
La Fisica descrive il moto degli oggetti, ma il laboratorio dove facciamo gli esperimenti è anch'esso in movimento. Anche se immaginiamo il nostro laboratorio fermo, occorre rendersi conto che esso si trova sulla superficie di un pianeta che ruota attorno a se stesso e poi ruota attorno al sole e così via. E' necessario quindi porsi il problema: come si compongono i movimenti degli oggetti? Come cambiano le leggi della Fisica passando da un sistema in moto ad un altro?
Questo e' un problema complesso di cui continueremo ad occuparci anche in seguito. Qui ci occu-peremo di ricavare alcune semplici relazioni.
Supponiamo che (ma non e' fondamentale) il vostro sistema di riferimento sia fermo. Chiameremo
S questo riferimento e lo definiremo “assoluto”. Tutto ciò che misurerete in questo sistema di
rife-rimento: spostamenti, velocità (la definiremo tra poco) ecc. saranno denominati assoluti. Immagi-niamo ora un nuovo sistema di riferimento in moto rispetto al vostro.
Possiamo immaginare questo nuovo sistema di riferimento come un vagone ferroviario con una pa-rete a vetri che vi permette di osservare i fenomeni che accadono all'interno. Gli abitanti di questo riferimento faranno muovere degli oggetti e tutto ciò che misureranno, velocità, spostamenti ecc. saranno chiamati “relativi”. Chiameremo S' questo nuovo riferimento. Il sistema S' si muove ri-spetto al sistema S, se volete il vagone ferroviario è in moto riri-spetto alla vostra stanza. Questo moto lo chiameremo “Moto di Trascinamento”'. La situazione e' schematizzata in figura:
Nella figura e' anche indicata la posizione di un punto P. Questo punto viene localizzato mediante il vettore R nel sistema di riferimento relativo, dal vettore A nel sistema di assoluto, mentre la posi-zione del sistema di riferimento S' viene individuata dal vettore T nel sistema di riferimento assolu-to S. Ci interessano ora i casi in cui il punassolu-to P si muova e così anche si muova il sistema di riferi-mento S' rispetto ad S. La legge cinematica che governa questi problemi è la Legge di
composizio-ne degli spostamenti infinitesimi. Questa dice che se il punto P si sposta di una quantità R (il simbolo si legge delta) nel sistema di riferimento relativo, mentre il sistema di riferimento S' si sposta di un tratto T, allora lo spostamento complessivo visto dal sistema di riferimento assoluto
A
e' dato da:
AT R
(3)ovviamente quella descritta è una relazione vettoriale, per cui il valore di A non è semplicemente la somma algebrica di T+R ma andrebbe calcolata in base alla composizione dei vettori. Una scrittura più corretta sarebbe:
R
T
A
La situazione e' schematizzata nella figura seguente:
Supponiamo ora che il tempo scorra nello stesso modo nel sistema di riferimento assoluto e in quel-lo relativo.
Dividendo ogni termine della (3) per l'intervallo di tempot in cui avvengono questi spostamenti otterremo:
t
R
t
T
t
A
(4)Come vedremo successivamente, questa non è altro che una relazione fra velocità e rappresenta la legge di composizione delle velocità:
v
Av
Tv
R (5)dove
vA è la velocità del punto nel sistema di riferimento assoluto (velocità assoluta),
vT è la velocità del sistema di riferimento S' rispetto ad S (velocità di trascinamento) e
vR è la velocità del punto nel sistema di riferimento relativo (velocità relativa). 4.6
Velocità media
Se consideriamo che durante il moto possono va-riare sia l’intensità che direzione e verso della ve-locità, può avere senso parlare di velocità media, come se considerassimo di fatto il moto durante tutto il tempo in cui avviene senza soffermarci i-stante per ii-stante cosa accade.
Riguardo alla velocità vettoriale, dalla (1) avremo quindi che: 1 2 1 2
t
t
s
s
t
s
v
m
(6)La velocità scalare media è quella che viene data nella telecronaca delle corse automobilistiche sui circuiti ( (lunghezza del circuito)/(tempo cronometrato) ).
Dato che questa è la “velocità media” del linguaggio comune, spesso nascono dei problemi quando questa grandezza viene definita per la prima volta in fisica.
4.7
Cenni sul concetto di limite e derivata di una funzione
Malgrado siano concetti che lo studente affronterà in anni successivi nel corso di Matematica, è comunque utile richiamarne le definizioni generali, potendone così interpretare, almeno in modo semplificato, il significato del concetto di limite e di derivata di una funzione.
Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Con questo con-cetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e di punto di discontinuità. Serve inoltre a definire la derivata ed è quindi basilare per tutto il calcolo differenziale. Il limite di una funzione
f
in un punto x indica il valore "a cui si avvicinano sempre di più" i va-0 lori della funzione quando viene calcolata in punti sempre più vicini a
0
x . Viene indicato con il simbolo
)
(
lim
0x
f
x xLa nozione di derivata di funzione si introduce, nel caso più semplice, considerando una funzione reale f(x) di variabile reale x ed un punto
0
x del suo dominio. La derivata di f(x) in x è definita come il numero 0 f'(x0) pari al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito. In modo esplicito, detto
h
l'incremento, una funzionef
definita in un intorno di x si dice derivabi-0 le nel punto x se esiste ed è finito il limite: 0
h
x
f
h
x
f
x
f
h)
(
)
(
lim
)
(
0 0 0 0 '
(7)Dire la derivata in un punto è il rapporto dell’incremento della f con l’incremento delle x (a deno-minatore è come fosse (x0h)x0 h ) ) quando l’incremento h tende a zero, vuol significare che vogliamo studiare questo rapporto quando h è sempre più piccolo, in modo che diventi infinitesimo, potendo così giungere ad un valore di quel rapporto assomigliante sempre più alla tangente alla cur-va f(x) intorno al punto x . 0
4.8
Velocità istantanea
La velocità istantanea si ottiene rendendo piccolo a piacere il tempo nella velocità media vettoriale. In pratica si va a definire la velocità per un certo istante piuttosto che in un certo intervallo, defi-nendo la velocità istantanea come il limite per la variazione di tempo tendente a zero del rapporto che definisce la velocità media:
t
p
v
t
lim
0 (8) Ovep
è il vettore posizione. Lo strumento matematico per effettuare tale operazione è appunto la derivata del vettore posizione
p(t)
rispetto al tempo t.