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A.1. Cenni di geometria proiettiva

A.1.1. Spazi vettoriali proiettivi

Per introdurre gli spazi vettoriali proiettivi partiamo con un esempio: consideriamo innanzitutto lo spa-zio vettoriale IR 2 \ {0} (ovvero il piano cartesiano privato dell’origine); due vettori di tale spazio si dicono collineari se appartengono alla stessa retta per l’origine, ovvero se sono uno multiplo dell’altro attraverso uno scalare non nullo, o ancora se esiste uno scalare non nullo l tale che le componenti di un vettore siano uguali al prodotto delle componenti dell’altro scalate di l. E’ facile dimostrare che tale relazione, che indi-cheremo con il simbolo ~, è una relazione di equivalenza, in quanto è riflessiva, simmetrica e transitiva:

(A.1)

Dove X = x x

0

1

e Y =y y

0

1

.

Possiamo allora definire la retta proiettiva IP 1 come l’insieme quoziente (ossia l’insieme delle classi di equivalenza) dei vettori di IR 2 \ {0} rispetto alla relazione di collinearità.

E’ facile osservare che, essendo IP 1 un sottospazio di IR 2 \ {0}, chiuso rispetto alla somma ed alla moltiplicazione per uno scalare, esso è a sua volta uno spazio vettoriale. Si nota inoltre che lo spazio proiettivo ha dimensione inferiore di uno rispetto al corrispondente spazio vettoriale che lo ha generato. Al tempo stesso si può definire la proiezione canonica

p: IR 2 \ {0} IP 1 come l’applicazione che ad un vettore X associa la sua direzione. L’immagine di X risulterà r]Xg=_x x0: 1i in cui “ : ” sottolinea che, per la classe di equivalenza, quello che conta è il rap-porto fra x0 e x1. Tali componenti prendono il nome di coordinate omogenee dello spazio proiettivo. Per quanto visto, punti che presentano coordinate omo-genee proporzionali, appartengono alla stessa classe di equivalenza e rappresentano dunque il medesimo elemento della retta proiettiva.

Si può quindi interpretare geometrica-mente lo spazio IP 1 come l’insieme dei pun-ti generapun-ti dall’intersezione fra la stella di rette di IR 2 con centro nell’origine ed una qual-siasi retta non passante per l’origine stessa (figu-,

X + Y , Y=mX, conm!

IR \

" ,

0

X + Y , Y=mX conm!

IR \

" ,

0

o y

x

r :ax+ by =0

IP1

v = (a , b)

(a , b) = (1 , b/a)

Figura A.1: Rappresentazione geometrica della ret-ta proiettiva IP 1.

APPENDICE A 175

ra A.1). Si consideri per semplicità che tale retta coincida con la retta di equazione r : x = 1: lo spazio IP 1 oltre a contenere tutti i punti di intersezione con il fascio di rette per l’origine (di coordinate in IR 2_1,x x1 0i ) contiene anche il punto corrispondente alla retta della stella coincidente con l’asse y ^0,kh che non genera alcuna intersezione nello spazio reale. In altre parole lo spazio proiettivo rappresenta un completamento dello spazio affine nel senso che l’operazione di “omogeneizzazione” delle coordinate di uno spazio di dimensione n (nel nostro caso n = 1) corrisponde ad immergere tale spazio in uno spazio vettoriale n+1 dimensionale e considerare, in luogo dei punti, i sottospazi vettoriali di dimensio-ne 1 entro tale spazio, rappresentati dalle classi di equivalenza.

Generalizzando i concetti finora esposti possiamo dare la seguente:

Definizione A1: Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita sul campo C. Si definisce Spazio Proiettivo su V, in simboli IP (V), l’insieme dei sottospazi vettoriali di V. Se W è un sottospazio vettoriale di V, indicheremo con sW il corrispondente elemento dello spazio proiettivo IP (V), e chiameremo dimensione dell’elemento sW il numero intero

Analogamente la dimensione dello spazio proiettivo sarà definita come la dimensione del corpo che viene utilizzato per definire lo spazio meno uno.

A questo punto non è difficile considerare spazi proiettivi di dimensione maggiore di 1: lo spazio proiet-tivo IP 2 può essere pensato generato dalle classi di equivalenza definite dall’insieme dei vettori dello spazio IR 3 \ {0}, ovvero generato dall’intersezione della stella di rette di IR 3 con centro nell’origine con un generico piano non passante per (0, 0, 0). Anche in questo caso le rette che giacciono su un piano parallelo al piano di proiezione scelto non hanno un intersezione reale nello spazio euclideo ma vanno a definire un sottospazio (di dimensione 1) dello spazio vettoriale IP 2 che prende il nome di retta all’infinito o retta ideale. Tale retta contiene tutti i punti all’infinito del piano che corrispondono ciascuno ad una retta di IR3 senza intersezione con il piano di proiezione.

Proseguendo con l’analogia geometrica appena descritta, possiamo considerare le rette del piano proiet-tivo, come le rette generate dall’intersezione fra la stella di piani con centro nell’origine ed un generico piano non passante per tale punto. L’equazione del generico piano appartenente alla stella risulta:

(A.2)

Un altro modo particolarmente efficace per visualizzare lo spazio proiettivo IP 2 è quello di considerare la cosiddetta sfera unitaria: dal momento che le coordinate omogenee sono definite a meno di un fattore di proporzionalità, possiamo eliminare un grado di libertà nella definizione di tali coordinate ammettendo, ad esempio, che la loro norma sia uguale ad 1; in altre parole si può sempre considerare il vettore di

coordina-te omogenee , ,

x 1x x x x x

0 2

1 2

2

2 0 1 2

+ + _ i; tali punti descrivono in IR 2 la superficie di una sfera con centro :

dimvW := dimCW-1 dimvW = dimCW-1

ax+by+cz=0 ax+by+cz=0

nell’origine e raggio unitario (vedi figura A.2).

In altre parole lo spazio proiettivo IP 2 è topologicamente equivalente ad una sfera: su tale sfera è pos-sibile individuare tutte le primitive di cui abbiamo finora parlato e condurre operazioni di tipo geometrico.

La sfera unitaria, o sfera di Gauss, è infatti molto usata, soprattutto laddove le coordinate dei punti tendono all’infinito (ovvero il punto tende a divenire improprio): in tal caso è possibile sostituire al piano proiettivo che ha estensione illimitata, una superficie, quella sferica appunto, limitata.

Anche per quanto riguarda l’equazione (A.2) è interessante notare che terne di parametri proporzionali

individuano piani coincidenti. In altri termini è possibile anche in questo caso andare a definire una relazio-ne di equivalenza (non più di collirelazio-nearità bensi di complanarità) i cui elementi (ovvero le classi di equiva-lenza) assumono il significato di rette dello spazio proiettivo. Non deve a questo punto stupire il fatto che lo stesso tipo di notazione (cioè una terna di numeri reali) possa essere usata nel piano IP 2 sia per riferirsi ad un punto sia per riferirsi ad una retta; si può infatti dimostrare che la similitudine fra le due primitive geo-metriche non è solamente una similitudine a livello analitico ma anche a livello concettuale. Si può infatti dimostrare il principio di dualità della geometria proiettiva, in base al quale a qualsiasi teorema relativo alla geometria proiettiva bidimensionale corrisponde un teorema duale che può essere derivato scambiando i

Figura A.2: Rappresentazione della sfera unitaria (viene per comodità rappresentato solo l’emisfero superiore). E’ possibile notare come rette nel piano proiettivo indivi-duino circonferenze di diametro massimo sulla sfera; l’intersezione di tale circonfe-renza con il meridiano corrispondente alla retta ideale coincide con il punto improprio della retta stessa.

r

x z y

retta ideale r

P1

P2

Sfera unitaria

APPENDICE A 177 ruoli che punti e rette hanno nel teorema originale.

Il fatto di avere due diverse primitive geometriche individuate dallo stesso tipo di notazione algebrica (ovvero una terna di numeri reali) sebbene possa generare confusione, porta proprio a ribadire il legame di dualità tra punti e rette: è di volta in volta l’utilizzatore a comprendere se la terna di coordinate omogenee che sta utilizzando ha, per lui, il significato di punto o di retta del piano proiettivo.

Analizziamo allora il comportamento di punti e rette nello spazio proiettivo IP 2: in geometria euclidea, utilizzando un sistema di riferimento cartesiano, si è soliti valutare la condizione di appartenenza di un punto ad una retta per mezzo di un’equazione lineare:

(A.3)

Nel piano proiettivo, al contrario, l’appartenenza di un punto ad una retta può essere interpretato come la complanarità fra il vettore (o la retta) di IR 3 cui corrisponde il punto ed il piano cui corrisponde la retta.

Essendo il vettore l, rappresentato dalla terna di parametri (a , b , c) dell’equazione (A.2), parallelo alla normale a tale piano, la condizione può essere espressa, indicando con x il vettore relativo al punto, come:

(A.4)

Ci accorgiamo a questo punto che, svolgendo il prodotto scalare, e considerando le già più volte sotto-lineate proprietà di equivalenza dei punti di IP 2, le equazioni (A.3) e (A.4) sono formalmente identiche. Ciò ci porta a concludere che il piano proiettivo (o più in generale uno spazio proiettivo n-dimensionale) è, dal punto di vista geometrico, formalmente identico ad uno spazio geometrico euclideo di ugual dimensione, con il vantaggio che l’operazione di omogeneizzazione delle coordinate permette il completamento dello spazio con gli elementi geometrici all’infinito.

L’estensione agli spazi proiettivi di dimensione maggiore di due segue di fatto le linee precedentemente tratteggiate: in particolare lo spazio proiettivo IP 3 sarà costituito da elementi caratterizzati da una quaterna di componenti omogenee, che rappresenteranno i punti dello spazio o le loro entità duali che in questo caso risultano piani dello spazio. I risultati che discuteremo nel seguito potranno dunque essere riferiti a queste due diverse primitive geometriche.