Teoria delle onde e impostazione su ANSYS Fluent

In questo paragrafo verrà esposta prima una panoramica generale della teoria delle onde proveniente dalla letteratura e poi si mostrerà in particolare la sua applicazione al nostro caso studio su ANSYS Fluent.

2.5.3.1. Teoria delle onde

Le onde introducono movimenti orbitali lungo la colonna d’acqua, generando così componenti sia verticali che orizzontali nel flusso. Tali orbite dipendono in primo luogo dal rapporto tra la profondità dell’acqua (d) e la lunghezza dell’onda (LW): si parla di acque

circolari; per 0.04 < d/LW < 0.5 si parla di acque intermedie per le quali le orbite, in assenza di corrente, sono ellittiche e vedono un decadimento della componente verticale della velocità procedendo dal pelo libero verso il fondale; infine si definiscono acque poco profonde quelle per cui vale che d/LW < 0.04 e sono caratterizzate da una componente orizzontale della velocità indotta dalle onde pressoché costante [36]. Il cambiamento della velocità della corrente causato dalle onde induce fluttuazioni nella potenza estratta e nei carichi sulle pale. Come già esposto in [3] nel caso di turbina ad asse orizzontale, i valori medi di potenza, coppia e spinta rimangono inalterati a dispetto della presenza delle onde, ma aumenta significativamente la deviazione standard. In ogni caso, le più alte deviazioni standard si riscontrano agli alti TSR e quindi essa risulta ridotta a circa il 10% per il caso di massima potenza.

L’altezza dell’onda (H) e il suo periodo (T), insieme con la profondità dell’acqua (d), definiscono le proprietà di base di un’onda. Tali grandezze, unite con la velocità media della corrente (𝑈’), possono essere sfruttate per determinare teoricamente tutte le altre proprietà dell’onda, tra cui la lunghezza d’onda (Lw) o le velocità orbitali indotte dalle onde. In accordo con la teoria lineare delle onde, l’elevazione della superficie d’acqua (𝜂) ad ogni istante t è data da [37]:

𝜂 =𝐻

2cos(𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)

dove 𝑘 = 2𝜋/𝐿› è il numero d’onda e x è la coordinata orizzontale, positiva nella direzione

di propagazione dell’onda. La lunghezza d’onda viene calcolata come [38]:

𝐿_› = œ•𝑔𝐿

2𝜋tanh

2𝜋𝑑

𝐿 + 𝑈’¢ ∙ 𝑇

La Fig. 2.8 mostra in dettaglio le velocità indotte dalle onde, in assenza di corrente: la massima e la minima componente di velocità orizzontale si verificano rispettivamente in corrispondenza della cresta e della gola dell’onda. I valori delle componenti orizzontale e verticale di velocità indotta dalle

Fig. 2.8. Cinematica delle particelle indotta dalle onde, in assenza di

onde possono essere stimati sfruttando la teoria lineare delle onde ( [38], [39] ) e sono rispettivamente: 𝑢¤ = 𝐻 2𝜔y cosh(𝑘𝑠) sinh(𝑘𝑑)cos(𝑘𝑥 − 𝜔¤𝑡) + 𝑈’ 𝑣_¤ = 𝐻 2𝜔y sinh(𝑘𝑠) sinh(𝑘𝑑)sin(𝑘𝑥 − 𝜔¤𝑡)

dove s è l’elevazione al di sopra del fondale (d+y) e 𝜔y è la frequenza angolare relativa,

calcolata a partire da quella apparente 𝜔¤ come 𝜔y = 𝜔¤− 𝑘𝑈’.

I profili dell’onda possono essere assai più complessi di quelli descritti finora. Hedges ha analizzato la regione di validità di varie teorie analitiche delle onde [40], concludendo che la teoria lineare è soddisfacente per valori del numero di Ursell (𝑈𝑟 = 𝐻𝐿G›/𝑑] ed indica il

grado di non linearità delle onde su uno strato fluido) inferiori a 40 e per “ripidità” dell’onda H/Lw inferiore a 0.04; per Ur < 40 e H/Lw > 0.04 sono più appropriate teorie di Stokes del

secondo ordine o superiori; per Ur > 40 le teorie lineari non sono applicabili e si sfruttano le cosiddette “teorie delle onde cnoidali”. Nelle teorie di Stokes la velocità di fase dell’onda viene corretta tramite un’espressione polinomiale come segue:

𝑐 = (1 + 𝑐_]𝜉G _{+ 𝑐} M𝜉\)• 𝑔𝐿› 2𝜋 tanh 2𝜋𝑑 𝐿_› dove 𝜉 =§¨_G =©¨_ª

«; c] = cM = 0 per il secondo ordine e cM = 0 per il terzo e il quarto ordine.

Simile correzione viene fatta sull’espressione per l’elevazione della superficie libera 𝜂, il cui grado rispetto alla variabile H indica anche il grado della teoria selezionata.

2.5.3.2. Applicazione delle onde su ANSYS Fluent

Nel presente studio, le onde sono state generate imponendo apposite condizioni al contorno all’ingresso del dominio computazionale. Come esposto nel paragrafo 2.5.2, è necessaria l’implementazione del VOF e di suoi specifici sotto-modelli che consentono la scelta di opportune opzioni nel settaggio successivo delle condizioni al contorno. Dalla condizione di

selezionare la finestra “Multiphase”, in cui vengono richiesti tutti i parametri che caratterizzano l’onda. Come primi dati, vengono inserite le distanze del pelo libero e del fondale dall’origine geometrico della griglia, nonché il tipo di onda (“shallow/intermediate”, “shallow”, “short gravity”). Quest’ultima scelta può essere fatta sulla base del seguente criterio [31]:

• “Shallow Waves”, tipico per onde con bassi fondali, se ¬_ª-

«®_¯¤° = 0.085;

• “Shallow/Intermediate Waves”, tipico per onde in acque con fondali di media profondità, se ¬_ª-

«®_¯z{ = 0.06;

• “Short Gravity Waves”, tipico per acqua in fondali profondi, se ¬_ª-

«®_¯z{= 0.5.

Nei casi esaminati, le lunghezze d’onda calcolate (come indicato in precedenza [38]) sono: a. per le onde con H = 0.2 m e T = 1.5 s, Lw = 5.5795758 m;

b. per le onde con H = 0.2 m e T = 2 s, Lw = 8.523 m.

Ne risulta per il primo caso d/Lw = 0.35845 e per il secondo d/Lw = 0.23466, quindi nelle simulazioni si adotta un regime d’onda del tipo “Shallow/Intermediate Waves”.

E’ possibile poi scegliere la trattazione con cui descrivere le onde: teoria delle onde, precedentemente descritta, o teoria dello spettro, che si basa invece su una funzione di distribuzione dell’energia. Scegliendo di procedere secondo la teoria delle onde, viene richiesto il tipo di teoria da adottare: “first order airy” o “second/third/fourth/fifht order Stokes”, applicabili secondo i criteri esposti in precedenza. Si inseriscono infine i valori di altezza dell’onda e lunghezza d’onda calcolata. Una volta impostati tutti i parametri, Fluent riesce autonomamente a stabilire se la teoria scelta è appropriata o meno al problema in esame scrivendo nella “command window” la stringa “define/boundary- conditions/open-channel-wave-settings”, al termine della quale viene anche mostrato il periodo calcolato da Fluent sulla base dei dati dell’onda inseriti.

Per completare il problema, si passa alla sezione “Cell Zone Condition” e dalla finestra “Multiphase” di ciascuna voce elencata si attiva la funzione “Numerical Beach Treatment”. Esso è un metodo numerico di rilassamento che permette di ridurre la riflessione delle onde sull’uscita, garantendo così migliore stabilità [32]. Si lascia attiva l’opzione “Two

Dimensional”, in maniera che il trattamento funzioni sia nella direzione della gravità che lungo il pelo libero, e si seleziona un “Compute from Inlet”, prelevando così tutti i dati impostati nella condizione al contorno in ingresso.