Two-Stage DEA

La vera svolta per lo studio dell’efficienza bancaria consiste nel considerare i depositi non come un input o un output ma bensì come un prodotto intermedio, scomponendo in due fasi il processo produttivo che generalmente si segue nei modelli tradizionali. Effettivamente il percorso logico della DEA tratta la generica DMU sotto osservazione come una “black box” della quale non si conosce nulla se non le osservazioni sugli input in entrata e sugli output in uscita (figura 4.5). Un tentativo di spiegare qualcosa di più di quello che può essere il processo produttivo di un’impresa deriva dai modelli network DEA a più stadi.

Figura 4.5. Aggregazione in “Black Box”. Fonte: Tone e Tsutsui (2009)

Le DMU spesso si possono scomporre in una serie di attività più piccole tra loro collegate, che qui chiameremo sub-DMU e che nel loro operare vedono scambiarsi diversi prodotti intermedi. È in questo modo che il processo produttivo si frammenta e

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carpirne le specifiche può contribuire a valutare correttamente l’efficienza dell’intera DMU. Come si nota nella figura 4.6, le sub-DMU possono avere sia propri input ed output che utilizzare prodotti intermedi di altre sub-DMU come espresso dai collegamenti 1-2, 2-3 e 1-3.

Figura 4.6. Azienda con tre divisioni tra loro collegate. Fonte: Tone e Tsutsui (2009)

Il Network DEA venne introdotto da Färe (1991) e poi esteso da Lewis e Sexton (2003, 2004) e da Lewis et al. (2010). Un metodo generalmente usato per affrontare questo modello è quello di risolvere ciascun stadio o nodo del processo indipendentemente. Nel caso output-oriented, inizialmente viene risolto il modello per la sub-DMU a monte al fine di ottenere la soluzione ottimale di output. Allo stadio successivo una parte degli (o tutti gli) output ottenuti vengono utilizzati come input dello stadio successivo insieme ad altri input specifici della seconda sub-DMU. Una volta risolti in serie i modelli DEA di tutti i nodi si può valutare l’efficienza complessiva del processo dividendo l’output ottimale finale per quello benchmark (Tone e Tsutsui, 2009). È da notare che questi tipi di modelli possono essere utilizzati anche nello studio dell’efficienza di una supply

chain dove le sub-DMU sono costituite dai diversi fornitori-clienti che la compongono.

Un importante contributo allo sviluppo delle materia nell’ambito delle imprese bancarie è stato quello di Holod e Lewis, (2011) i quali hanno implementato un network DEA a due stadi per lo studio degli istituti bancari (si veda la figura 4.7).

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Figura 4.7. Modello DEA a due stadi. Fonte: Holod e Lewis (2011)

Gli autori hanno utilizzato un generico modello DEA unoriented per la valutazione di ciascuna sub-DMU, utilizzando gli appropriati livelli di input (o prodotto intermedio) impiegati e output (o prodotto intermedio) prodotti, per poi applicare un processo iterativo al fine di conoscere l’efficienza dell’organizzazione complessiva. In ciascuna particolare fase di iterazione gli autori incorporano opportuni livelli obiettivo degli input e degli output derivanti dall’iterazione precedente nel lato destro dei vincoli (RHS). Si veda la figura 4.8 di seguito per osservare lo sviluppo del processo iterativo. Per comprenderne appieno il significato si consideri il caso di un processo a due stadi che impiega un input , un prodotto intermedio e un output . Al primo stadio la sub- DMU può consumare unità di input e produrre unità di prodotto intermedio. Allo stesso modo nel secondo stadio la sub-DMU può consumare unità di prodotto intermedio producendo unità di output. L’efficienza al primo e secondo stadio possono essere perciò così rispettivamente calcolate:

Fatte queste premesse si applica il processo iterativo. In ciascuna iterazione “t” del processo la sub-DMU può consumare un livello di input pari a e produrre un livello di prodotto intermedio pari a nel primo stadio, mentre può consumare prodotto intermedio pari a e produrre output per un livello pari a nel secondo stadio. A questo punto gli autori dimostrano che i livelli di input, prodotto intermedio e output convergono, al crescere delle fasi di iterazione, a determinati valori , , e che vengono infine utilizzati per il calcolo dell’efficienza complessiva della DMU. Una volta che tutti gli score di efficienza delle

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sub-DMU sono pari a 1 si procede con il calcolo dell’efficienza complessiva della DMU sotto osservazione.

Figura 4.8. Diagramma di flusso del modello DEA a due stadi per la determinazione dell’efficienza complessiva. Fonte: Holod e Lewis (2011)

Per completezza, le formule per il calcolo dell’efficienza dell’organizzazione complessiva richiamate nell’ultimo riquadro della figura 4.8 sono le seguenti:

Quello che più preme evidenziare dal lavoro di Holod e Lewis è non solo la possibilità di scomporre il processo produttivo della banca ma anche quella di superare la semplice applicazione di modelli DEA indipendenti a nodi di un processo che si relazionano e si

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influenzano tra di loro e con l’organizzazione nella sua interezza. È per questo motivo che si è scelto di utilizzare in questo lavoro il modello additivo a due stadi presentato da Chen et al. (2009), i quali proposero una versione VRS del modello a due stadi proposto da Kao e Hwang (2008) che si va ora ad analizzare.

Modello DEA a due stadi di Kao & Wang (2008) con CRS

Si consideri un modello a due stadi come quello della figura 4.7 e un campione di n DMU dove ciascuna DMUj utilizza m input al primo stadio

per produrre D output . Questi D output vengono poi impiegati al secondo stadio come input e costituiscono perciò i prodotti intermedi. Gli output del secondo stadio sono rappresentati da . Basandoci sul modello CCR (4.1) - (4.4) si possono calcolare i seguenti modelli base per ciascuno stadio: ∑ ∑ ( 4.44 ) ∑_∑ ( 4.45 ) ( 4.46 ) ∑ ∑ ( 4.47 ) ∑ ∑ ( 4.48 ) ( 4.49 )

Ora gli autori assumono che i pesi del prodotto intermedio e siano uguali nei due stage ( ). Questa assunzione ha un duplice vantaggio. Innanzitutto permette di mantenere la linearità del problema quando si svilupperà il modello complessivo per , inoltre crea un legame tra i due stadi. Se quest’assunzione non venisse fatta la risoluzione del modello potrebbe avvenire semplicemente applicando la DEA indipendentemente al primo e al secondo stadio. Il modello per calcolare l’efficienza complessiva è dato dal prodotto dei due stadi come si vede di seguito.

102 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( 4.50 ) ∑_∑ ( 4.51 ) ∑ ∑ ( 4.52 ) ( 4.53 )

Tuttavia anche con l’assunzione di uguale valore assegnato al peso dell’output del primo stadio e dell’input del secondo Chen et al. (2009) osservarono come il modello poteva essere risolto applicando indipendente e la DEA ai due stadi

ricavando poi l’efficienza complessiva attraverso la media geometrica dei due score. La relazione posta tra i due stadi perse così di significatività. Per questo motivo e per permettere inoltre di adottare i VRS venne sviluppato un modello alternativo che ora prendiamo in esame.

Modello DEA a due stadi di Chen et al. (2009) con VRS

L’importante contributo di questi autori si è rivelato nella proposta di una misura di efficienza che sia il risultato della media aritmetica (e non geometrica) dei due stadi, come si può vedere di seguito:

∑ ∑

∑ ∑

Ciò equivale ad aggregare gli output di tutti i componenti dividendoli per gli input aggregati corrispondenti. Si noti che e rappresentano l’importanza relativa, o meglio il contributo di ciascun stadio alla performance complessiva, della DMU. I valori di e possono essere fissati a priori se si possiedono delle informazioni sulla rilevanza delle fasi del processo oppure possono essere derivati direttamente dai dati raccolti in diversi modi. Chen et al. (2009) propongono di utilizzare come misura l’ammontare di risorse consumate da ciascun stadio, ottenendo di conseguenza:

∑

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∑

∑ ∑

Unendo quanto appena esposto alla necessità di sviluppare un modello che tenga conto della variabilità dei rendimenti di scala si ottiene il seguente modello complessivo.

∑ ∑ ∑ ∑ ( 4.54 ) ∑ _∑ ( 4.55 ) ∑ ∑ ( 4.56 ) ( 4.57 ) ( 4.58 )

Sfruttando la trasformazione di Charnes-Cooper si può giungere al seguente modello mantenendo il significato dei diversi fattori finora utilizzati:

∑ ∑ ( 4.59 ) ∑ ∑ ( 4.60 ) ∑ ∑ ( 4.61 ) ∑ ∑ ( 4.62 ) ( 4.63 ) ( 4.64 )

Si rimanda la scomposizione di questa misura di efficienza complessiva tra i due stadi per prendere ora in considerazione un ultimo aspetto di cui si deve tener conto.

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