Giovanna Patri
per la Scuola secondaria di
secondo grado
Percorsi di matematica
per il ripasso e il recupero
2
UNITÀ
CAMPIONE
Sistemi
di primo grado
Un sistema è un insieme di due o più equazioni
che devono essere soddisfatte dagli stessi
valori delle incognite.
Le equazioni sono riunite in una parentesi
graffa, simbolo che identifica un sistema in
matematica.
1
Unità
1.1
Risoluzione di un sistema di primo grado
1.2
Metodo di sostituzione
1.3
Metodo del confronto
1.4
Metodo di riduzione
1.5
Metodo di Cramer
1.6
Sistemi fratti
1.7
Sistemi letterali
1.8
Risoluzione di problemi con sistemi
2
Unità
1
1.1 Risoluzione di un sistema di primo grado
Prof
In questa Unità trattiamo sistemi di due equazioni con due incogni-te,
x
ey
, a esponente 1, chiamati sistemi di primo grado di dueequazioni a due incognite.
Per risolvere un sistema, occorre prima ridurre le sue equazioni in forma normale;
tale riduzione si svolge con i seguenti due passaggi:
1. si mettono i termini con le incognite x e y a primo membro e i termini noti a se-condo membro;
2. si svolgono gli opportuni passaggi algebrici per giungere alla forma normale del tipo
{
a 11 x + a 12 y = a 13a 21 x + a 22 y = a 23
dove i termini a sono definiti coefficienti del sistema. Ogni coefficiente è indicizzato
da due numeri: il primo indice è il numero dell’equazione (1 per la prima, 2 per la seconda), il secondo indice è la posizione occupata nella singola equazione (1 per il coefficiente di x, 2 per il coefficiente di y, 3 per il termine noto).
Attenzione: esistono sistemi di primo grado di tre equazioni a tre incognite. In
questo caso il sistema si presenta nella forma normale
{
a 11 x + a 12 y + a 13 z = a 14
a 21 x + a 22 y + a 23 z = a 24
a 31 x + a 32 y + a 33 z = a 34
dove le tre incognite sono x, y e z.
Riduciamo il seguente sistema di primo grado di due equazioni a due incogni-te in forma normale
{
x + 2y − 3 = 8 − 2x
2x − y = 3 − x − 2y
In entrambe le equazioni, portiamo i termini con x e y a primo membro e i termini noti a secondo membro
{
x + 2x + 2y = 8 + 3 2x + x − y + 2y = 3Eseguiamo i passaggi algebrici necessari per semplificare il più possibile le due equazioni: otteniamo la forma normale
{
3x + 2y = 11 3x + y = 3La soluzione di un sistema di primo grado di due equazioni a due incognite x e y è una coppia ordinata di numeri (a, b) tale che la sostituzione di x con a e di y con b verifica contemporaneamente entrambe le equazioni del sistema. La soluzione finale di un sistema è dunque scritta come
{
x = ay = b o, più brevemente, (a, b). A riguardo, un sistema si definisce:
• determinato quando ammette un’unica soluzione;
• impossibile quando non ammette alcuna soluzione;
• indeterminato quando ammette infinite soluzioni.
▶ Il sistema
{
x + y = 3x − y = 1
è determinato perché ammette come unica soluzione
{
x = 2y = 1
Infatti, se sostituiamo all’incognita x il valore 2 e all’incognita y il valore 1 in entrambe le equazioni del sistema, otteniamo due uguaglianze.
▶ Il sistema
{
x + y = 3x + y = 1
è impossibile perché non ammette soluzione. Infatti non esistono due cop-pie di numeri che sommati diano contemporaneamente due risultati diversi.
▶ Il sistema
{
x + y = 3 5x + 5y = 15è indeterminato perché ammette infinite soluzioni; infatti, la soluzione del sistema è rappresentata da una qualsiasi coppia di numeri la cui somma algebrica dà come risultato 3, per esempio
{
x = 1y = 2 oppure
{
x y = 7 = − 4 e infinite altre coppie.In questa Unità descriviamo quattro metodi di risoluzione dei sistemi: sostituzione, confronto, riduzione e Cramer. È opportuno precisare che un sistema può essere risol-to, in maniera equivalente, utilizzando uno qualsiasi dei metodi descritti.
Riduci i seguenti sistemi in forma normale.
Trainer
1.
{
7x + y − 3x + 2 = 5 10x = 1 + 4ySomma algebricamente i termini simili e ottieni la forma normale del sistema
{
... + y = ... 10x ... = 1Esercizi 1.1
2.
{
2x + 5 = y + 12 x − 3 = y + 13.
{
2 (x + y) = 3 (2x − y − 2) 5x = 3 (x + y)4.
{
y − 2x + 3 = 0 x 2 + 3y = (x + 3 ) 2Trainer
5.
{
x − 1 _____ 2 + y + 1 _____ 4 = 1 2x − 1 ______ 2 − 2y + 1 ______ 6 = 1Puoi ridurre ogni equazione allo stesso denominatore e poi eliminarlo. Esegui quindi i passaggi algebrici per ridurre il sistema in forma normale.
6.
{
x + y _____ 4 + x − y _____ 2 = 3 12x − 7y________ 3 = 37.
{
1 − 3x + y ______ 8 = − 1 __ 6 y 2x − y ______ 3 − 2 − 3x ______ 2 = 2xTrainer
8.
Verifica se la coppia (3, 2) è soluzione del sistema{
2x − y = 4x + 3y = 9
Sostituisci nelle due equazioni del sistema il valore 3 al posto dell’incognita
x e il valore 2 al posto dell’incognita y
{
2 (...) − ... = 4
... + 3 (...) = 9
Esegui le operazioni. La coppia di valori (3, 2) ... soluzione del
siste-ma dato perché ... entrambe le equazioni del sistema.
9.
Verifica se la coppia (− 1, − 1) è soluzione del sistema{
x + y = − 2x − y = 0
10.
Verifica se la coppia (2, − 1) è soluzione del sistema{
4x + y = − 21.2 Metodo di sostituzione
Prof
Per risolvere un sistema col metodo di sostituzione, si eseguono i seguenti passaggi:
1. si ricava un’incognita da una delle due equazioni, solitamente la più semplice (ipotizziamo la prima);
2. si sostituisce l’incognita trovata nell’altra equazione (la seconda);
3. si risolve la seconda equazione che è diventata a una sola inco-gnita;
4. si sostituisce il valore dell’incognita così trovata nella prima equazione, determinando il valore dell’altra incognita.
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione
{
2x + 5y = 3 3x − 4y = − 71. Scegliamo di ricavare l’incognita x dalla prima equazione
x = _______ − 5y + 3
2
2. Sostituiamo l’espressione della x nella seconda equazione, ottenendo il sistema
{
x = − 5y + 3_______ 2 3(
________ − 5y + 3 2)
− 4y = − 73. Eseguendo i passaggi algebrici, risolviamo la seconda equazione rispetto all’incognita y
{
x = _______ − 5y + 3 2 y = − 23 ____ − 23 = 14. Sostituiamo il valore y = 1 nella prima equazione e troviamo il valore di x
{
x = − 5 (1) + 3 _________ 2 = − 2 ___ 2 = − 1 y = 1 La soluzione del sistema è dunque{
x = − 1y = 1
Il metodo di sostituzione è utilizzato pure per risolvere sistemi di tre equazioni a tre incognite.
Risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione
{
x + y + z = 6 2x + y − z = 1
2x − 3y + z = − 1
La strategia consiste nello scegliere un’equazione per ricavare una inco-gnita, per poi sostituirla nelle altre due equazioni; in questo modo ci ri-duciamo al noto sistema di due equazioni a due incognite che sappiamo risolvere.
Scegliamo di ricavare l’incognita z dalla prima equazione
z = 6 − x − y e la sostituiamo nella seconda e terza equazione
{
z = 6 − x − y2x + y − (6 − x − y) = 1
2x − 3y + (6 − x − y) = − 1
Per il momento tralasciamo la prima equazione e consideriamo solo la secon-da e terza equazione
{
... 2x + y − (6 − x − y) = 1 2x − 3y + (6 − x − y) = − 1Sviluppiamo i calcoli e, in entrambe le equazioni, teniamo i termini in x e y a primo membro, mentre spostiamo i termini noti a secondo membro
{
...3x + 2y = 7
x − 4y = − 7
Abbiamo ottenuto il “noto” sistema di due equazioni a due incognite, quindi procediamo come nell’esempio precedente.
Scegliamo di ricavare l’incognita x dall’ultima equazione
x = 4y − 7
Sostituiamo x nell’equazione 3x + 2y = 7 dalla quale, svolgendo i calcoli, otte-niamo il valore finale di y
{
... y = 2 x = 4y − 7 EsempioSostituiamo il valore di y nell’ultima equazione e, svolgendo i calcoli, ottenia-mo il valore finale di x
{
... y = 2 x = 1A questo punto riconsideriamo il sistema completo
{
z = 6 − x − y y = 2
x = 1
e, sostituendo x e y nella prima equazione, otteniamo il valore di z
{
z = 3 y = 2
x = 1 e dunque la soluzione del sistema.
Trainer
11.
{
x + y = 52x + y = 8
Ricava x dalla prima equazione
{
x = ...2x + y = 8
Sostituisci l’espressione trovata nella seconda equazione
{
x = ...2 (...) + y = 8
Esegui i calcoli nella seconda equazione
{
x = ... ...= 8 e determina il valore di y{
x = ... y = ...Sostituisci il valore di y nella prima equazione e trova il valore di x
{
x = ...y = ...
La soluzione del sistema è (..., ...).
Esercizi 1.2
12.
{
x + y = 0 x − y = − 113.
{
x + 2y = 3 3x − 2y = 1Trainer
14.
{
3x − y = 2x + 2y = 10
Conviene ricavare x dalla seconda equazione perché ha coefficiente 1 quindi non avremo una frazione
{
3x − y = 2x = ...
Sostituisci l’espressione trovata per x nella prima equazione
{
3 ( ...) − y = 2x = ...
Esegui i calcoli nella prima equazione
{
... = 2x = ... e trova il valore di y.
Sostituisci il valore di y nella seconda equazione e trova il valore di x
{
y = ...x = ...
La soluzione del sistema è (..., ...).
15.
{
2x − 3y = − 5x + 7y = 2
Trainer
16.
{
2x + y = 36x − y = 5
In questo caso conviene ricavare l’espressione di y dalla prima equazione e sostituirla nella seconda.
17.
{
2x − y = 3 7x − 2y = − 618.
{
2x − 3y = − 5 x + 2y = 219.
{
5x − 3y = 12 x − 2y = 1Trainer
20.
{
x + 2y = 1 − 2x − 4y = 2Puoi ricavare x dalla prima equazione e sostituirla nella seconda.
{
x = ...
− 2 (...) − 4y = 2 Eseguendo i calcoli, ottieni
{
x = − 2y + 1
+ 4y − 2 − 4y = 2 I monomi in y sono opposti e l’uguaglianza − 2 = 2 è falsa.
Il sistema risulta impossibile, quindi ... soluzione.
21.
{
2x − y = 3− 6x + 3y = − 9
{
y = 2x − 3− 6x + 3 (...) = − 9 Eseguendo i calcoli, ottieni
{
y = 2x − 3
− 6x + 6x − 9 = − 9 I monomi in x sono opposti e l’uguaglianza − 9 = − 9 è vera.
Il sistema risulta indeterminato, quindi ... soluzioni.
22.
{
x + y _____ 3 = 1 + x − y _____ 2 2x + 1 ______ 4 = 1 ___ 12 + 1 − 2y ______ 3Riduci dapprima il sistema in forma normale.
23.
{
x − 4y ______ 3 = x − 5y x − 2 = 6y + 4Trainer
24.
{
x + 2y + 3z = 1 3x + 4y + 6z = 3 10x + 5y − 3z = − 4Ricava x dalla prima equazione
{
x =...
3x + 4y + 6z = 3
10x + 5y − 3z = − 4
Sostituisci l’espressione trovata nella seconda e nella terza equazione
{
x = ...3 ( ...) + 4y + 6z = 3
10 (...) + 5y − 3z = − 4
Esegui le operazioni nella seconda e terza equazione, somma i termini simili e scrivile nella forma normale
{
x ... = ...y... z = ...... y... z = ...
La seconda e la terza equazione costituiscono un sistema di due equazioni nelle due incognite y e z. Risolvilo (ricavando l’espressione di y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda) e determina i valori y = ... e
z = ... Sostituisci tali valori nella prima equazione e calcola il
corrispon-dente valore di x = ...
La soluzione del sistema è (..., ..., ...).
25.
{
x + y + z = 1 2x − y + z = 5 x + 2y − 2z = 626.
{
x − y + z = 0 4x − 5y + 2z = − 2 2x + 3y − 2z = 31.3 Metodo del confronto
Prof
Per risolvere un sistema col metodo del confronto, si eseguono i seguenti passaggi:
1. si ricava da entrambe le equazioni la stessa incognita (la
x
op-pure lay
);2. si eguagliano le due espressioni ottenute, ricavando così un’unica equazione in una sola incognita
y
ox
;3. si risolve l’equazione, ricavando il valore di
y
ox
;4. si sostituisce il valore ottenuto in una delle due equazioni ini-ziali (la più semplice), determinando così il valore dell’altra in-cognita.
Risolviamo il sistema, già risolto con il metodo di sostituzione, utilizzando il metodo del confronto
{
2x + 5y = 3 3x − 4y = − 71. Scegliamo di ricavare l’incognita x da entrambe le equazioni
{
x = −_______ 5y + 32
x = ______ 4y − 7 3
2. Essendo entrambi uguali a x, possiamo uguagliare i secondi membri delle espressioni trovate, ottenendo così l’equazione
− 5y + 3 _______ 2 = 4y − 7 ______ 3 nella sola incognita y.
L’equazione va messa a sistema con una delle due espressioni per x, ad esempio la prima (di solito si sceglie la più semplice), ottenendo il seguen-te sisseguen-tema
{
− 5y + 3_______ 2 = 4y − 7 ______ 3 x = _______ − 5y + 3 2 Esempio3. Risolviamo la prima equazione rispetto all’incognita y, e otteniamo
{
y = − 23 ____ − 23 = 1 x = _______ − 5y + 3 24. Sostituiamo il valore y = 1 nella seconda equazione e calcoliamo il valore di x
{
y = 1x = − 5 (1) + 3_________
2 = − 2 ___ 2 = − 1 La soluzione del sistema è dunque
{
x = − 1y = 1
ed è ovviamente uguale a quella ottenuta con il metodo di sostituzione.
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo del confronto.
Trainer
27.
{
2x + 5y = 68x − 3y = 1
Ricava x da entrambe le equazioni
{
x = ...x = ...
Considera ora il sistema in cui la prima equazione è quella che si ottiene eguagliando le espressioni delle x e la seconda equazione è una delle due espressioni ricavate per la x, ad esempio la prima
{
... = ...
x = ...
Risolvi la prima equazione e determina il valore di y
{
x = ...y = ...
Sostituisci il valore di y nella seconda equazione e trova il valore di x
{
x = ...y = ...
La soluzione del sistema è (..., ...).
Esercizi 1.3
28.
{
3x − 2y = − 1 2x + 6y = 529.
{
2x − y = 9 3x + 2y = − 4Trainer
30.
{
5x − 3y = 22x − 3y = − 1
Conviene ricavare l’incognita y perché ha lo stesso coefficiente in entrambe le equazioni
{
y = ...y = ...
Considera ora il sistema in cui la prima equazione è quella che si ottiene eguagliando le espressioni delle y e la seconda equazione è una delle due espressioni ricavate per la y, ad esempio la prima
{
... = ...
y = ...
Risolvi la prima equazione e determina il valore di x
{
x = ...y = ...
Sostituisci il valore di x nella seconda equazione e trova il valore di y
{
x = ...y = ...
La soluzione del sistema è (..., ...).
31.
{
2x − 3y = − 1 x + 3y = − 232.
{
3x + 2y = 1 4x − 3y = 2433.
{
2 (3x − 2) − y + 1 = 0 3 (x + y) + 2 (x − y) − 8 = 034.
{
2 (x + y) = 14 3x − 2 ( y − 4x) = 12Trainer
35.
{
x __ 2 − y __ 3 = 1 3x − 2y = − 6Riduci dapprima il sistema in forma normale. Il sistema è ...,
quindi ... soluzioni.
36.
{
x + 2 _____ 3 + y + 5 _____ 6 = 2 5x + 4 ______ 6 + y − 2 _____ 9 = 237.
{
y − 1 = 3x − 4 ______ 2 − y __ 4 2y = 2x − 4 __ 31.4 Metodo di riduzione
Prof
Per risolvere un sistema col metodo di riduzione, si eseguono i seguenti passaggi:
1a. si moltiplicano i membri di una o di entrambe le equazioni per numeri (diversi da zero) in modo che i coefficienti della
x
nelle due equazioni risultino uguali e di segno contrario;2a. si addizionano i rispettivi termini delle due equazioni, ottenen-do un’equazione con la sola
y
che, risolta, dà il valore diy
;3a. si sostituisce il valore di
y
in una delle due equazioni iniziali del sistema (la più semplice) e si ricava il corrispondente valore dix
. Oppure, in maniera equivalente1b. si moltiplicano i membri di una o di entrambe le equazioni per numeri (diversi da zero) in modo che i coefficienti della
y
nelle due equazioni risultino uguali e di segno contrario;2b. si addizionano i rispettivi termini delle due equazioni, ottenen-do un’equazione con la sola
x
che, risolta, dà il valore dellax
;3b. si sostituisce il valore della
x
in una delle due equazioni iniziali del sistema (la più semplice) e si ricava il corrispondente valore dellay
.Risolviamo il seguente sistema con il metodo di riduzione
{
2x + 3y = 12 3x − y = 71a. Per fare in modo che i coefficienti di x siano uguali e di segno contrario (+ 6 e − 6), moltiplichiamo la prima equazione del sistema per 3 e la secon-da per − 2
{
6x + 9y = 36 − 6x + 2y = − 142a. Addizioniamo termine a termine le due equazioni del sistema
{
− 6x + 9y = 36
6x + 2y = − 14 + 11y = 22
ottenendo un’unica equazione nell’incognita y, cioè 11y = 22, da cui rica-viamo il valore cercato di y
y = 2
3a. Sostituiamo il valore 2 al posto della y in un’equazione del sistema di par-tenza, per esempio nella seconda, 3x − y = 7, e ricaviamo
3x − 2 = 7 da cui
3x = 9 e quindi
x = 3 La soluzione del sistema è
{
x = 3y = 2 Si poteva procedere in modo equivalente:
1b. Per fare in modo che i coefficienti di y siano uguali e di segno contrario (+ 3 e − 3), è sufficiente moltiplicare la seconda equazione del sistema assegnato per 3
{
2x + 3y = 129x − 3y = 21
2b. Addizioniamo termine a termine le due equazioni del sistema
{
2x + 3y = 12 9x − 3y = 21 11x = 33ottenendo un’unica equazione nell’incognita x, cioè 11x = 33, da cui il va-lore cercato di x
x = 3
3b. Sostituiamo il valore 3 al posto della x in un’equazione del sistema di par-tenza, per esempio nella seconda, 3x − y = 7, e ricaviamo
3 (3) − y = 7 da cui
9 − y = 7 e quindi
y = 2 La soluzione del sistema è dunque
{
x = 3Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di riduzione.
Trainer
38.
{
3x − 2y = 195x + 9y = 7
Per fare in modo che siano opposti i coefficienti della x, moltiplica tutti i termini della prima equazione per 5 e quelli della seconda equazione per − 3
{
15x − 10y = ...
− 15x ... = ...
Addiziona termine a termine i membri delle due equazioni e ottieni l’equazio-ne in y, cioè ... = ... la cui soluzione è y = ...
Sostituisci il valore di y nella prima delle equazioni del sistema assegnato 3x − 2 (...) = 19, esegui le operazioni e ottieni il valore di x = ...
La soluzione del sistema è (..., ...).
39.
{
4x − 3y = 6 6x − y = 1640.
{
x + 2y = 14 3x − y = 741.
{
6x + 5y = 3 9x + 7y = 542.
{
3x − 4y = − 1 6x + 2y = 3Trainer
43.
{
1 − 2x ______ 3 + 1 + y _____ 2 = 5 ___ 12 x __ 3 + y __ 2 = 2 + xPrima di procedere con il metodo di riduzione, devi ridurre il sistema in forma normale.
Il sistema è ..., quindi ... soluzione.
44.
{
(x + 1) ( y − 1) − 4x − xy = 7 (x + 2y ) 2 − 5x − 2y (1 + 2x + 2y) = (x − 1) (x + 1)45.
{
6x + 10 _______ 8 − x __ 6 + y __ 2 = 5 8 (x − 2) + 3x = 41 − 6yEsercizi 1.4
1.5 Metodo di Cramer
Prof
Consideriamo il sistema in forma normale
{
a
11 +a
12y
=a
13a
21x
+a
22y
=a
23Per risolvere il sistema con il metodo di Cramer, si eseguono i se-guenti passaggi:
1. si scrivono i coefficienti delle incognite
x
ey
in una tabella, chia-mata matrice quadrata del secondo ordine (perché costituita da due righe e due colonne)[
a
a
1121a
a
1222]
2. si calcola il determinante
D
della tabella sottraendo al prodotto dei numeri sulla diagonale principale il prodotto dei numeri sulla diagonale secondaria, cioèD
= (a
11a
22 ) − (a
12a
21 )3a. Se il determinante
D
≠ 0, il sistema è determinato e si procede così:• il valore della
x
è dato dalla frazionex
=___
D
xD
dove il numeratore
D
x è il determinante ottenuto dalla matrice dei coef-ficienti sostituendo la prima colonna con quella dei termini noti, cioè[
a
a
1323a
a
1222]
e dunque
D
x = (a
13a
22 ) − (a
12a
23 )• il valore della
y
è dato dalla frazioney
=___
D
D
ydove il numeratore
D
y è il determinante ottenuto dalla matrice dei coef-ficienti sostituendo la seconda colonna con quella dei termini noti, cioè[
a
a
1121a
a
1323]
e dunque
D
y= (a
11a
23 ) − (a
13a
21 )3b. Se il determinante
D
= 0, il sistema non è determinato e, in particolare:• se
D
x= 0 il sistema è indeterminato;Risolviamo il sistema, già risolto con il metodo di riduzione, utilizzando ora il metodo di Cramer
{
2x + 3y = 12 3x − y = 71. Scriviamo i coefficienti delle incognite nella matrice
[
2 3 − 13]
2. Calcoliamone il determinante D, cioè
D = (2) (− 1) − (3) (3) = − 2 − 9 = − 11
3. Poiché D ≠ 0, il sistema risulta determinato. Procediamo, quindi, con il calcolo della sua soluzione.
• Sostituiamo la prima colonna della matrice dei coefficienti con quella dei termini noti, cioè
[
12 7 − 1 3]
e determiniamo D xD x = (12) (− 1) − (3) (7) = − 12 − 21 = − 33 e quindi il valore della x
x = D ___ x
D = − 33 ____ − 11 = 3
• Sostituiamo la seconda colonna della matrice dei coefficienti con quella dei termini noti, cioè
[
2 12 3 7]
e determiniamo D yD y = (2) (7) − (12) (3) = 14 − 36 = − 22 e quindi il valore il valore della y
y = ___ D y
D = − 22 ____ − 11 = 2 La soluzione del sistema è dunque
{
x = 3y = 2
ed è ovviamente uguale a quella ottenuta con il metodo di riduzione.
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer.
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo di Cramer.
Trainer
46.
{
3x − 2y = 55x + y = 1
I coefficienti delle incognite sono 3 e 5 per la x e − 2 e 1 per la y. I termini noti sono 5 e 1.
La matrice dei coefficienti delle incognite è
[
3 ...
... ...
]
Calcola il suo determinante D = 3 (...) − (...) (...) = ...
Poiché D ≠ 0, il sistema è ...
Costruisci la matrice che si ottiene sostituendo la prima colonna con la colonna dei termini noti
[
5 − 2... ...
]
e calcola il suo determinanteD x = 5 (...) − (...) (...) = ...
Il valore della x è x = ___ D x
D = ...
Costruisci ora la matrice che si ottiene sostituendo alla seconda colonna la colonna dei termini noti
[
3 5... ...
]
e calcola il suo determinanteD y = 3 (...) − (...) (...) = ...
Il valore della y è y = D ___ y
D = ...
La soluzione del sistema è (..., ...).
47.
{
3x + 2y = 4 3x − 4y = 1Trainer
48.
{
2 (2x + y + 1) + 3 = 3 3 __ 2 x + 6 __ 5 y − 1 = − 4Riduci il sistema in forma normale, quindi procedi con la risoluzione con il metodo di Cramer.
Esercizi 1.5
49.
{
y − 2x = 1 __ 2 − 12x + 2y + 2 = 050.
{
x − _____ y − 4 3 = 1 x + 3 _____ 3 − y = 051.
{
x + 2 __ 3 y + 1 = 0 x − 1 _____ 3 + y + 1 _____ 2 + 1 = 0Trainer
52.
{
3x − 2y = 3− 6x + 4y = 2
Il determinante D è D = ... e, poiché D x = ..., il sistema è ...
53.
{
3x − 5y = 7− 6x + 10y = − 14
Il determinante D è D = ... e, poiché D x = ..., il sistema è ...
54.
{
x − 3 _____ 2 = − y 12 = 4 (x + 2y)55.
{
x − y = 7 __ 2 x __ 2 − y __ 5 = 2x + y ______ 10 + 6 __ 51.6 Sistemi fratti
Prof
I sistemi fratti contengono equazioni in cui almeno una delle in-cognite compare a denominatore in un’equazione. Quindi, prima di procedere alla risoluzione del sistema, occorre determinare il po di esistenza (C.E.). Eventuali soluzioni che sono escluse dal cam-po di esistenza non cam-potranno essere accettate (Unità 6, Volume 1).
Risolviamo il seguente sistema fratto
{
x + 1 _____ y = 1 __ 4 x _____ y + 1 = 1 __ 5Nella prima equazione abbiamo a denominatore l’incognita y e nella seconda un binomio di primo grado in y. Nel C.E. del sistema sono quindi esclusi i va-lori y = 0 e y = − 1. Risulta dunque C.E.: y ≠ − 1 ∧ y ≠ 0.
Trasformiamo ora il sistema fratto in un sistema intero, cioè in un sistema dove le incognite non compaiono a denominatore. A questo scopo portiamo tutti i termini delle equazioni a primo membro
{
x + 1 _____ y − 1 __ 4 = 0 x _____ y + 1 − 1 __ 5 = 0 EsempioSvolgiamo le sottrazioni a primo membro come indicato dalla teoria delle frazioni algebriche (Unità 6, Volume 1): sapendo che il m.c.m. della prima equazione è 4y e quello della seconda è 5 ( y + 1), otteniamo il sistema intero
{
4 (x + 1) − y = 0 5x − ( y + 1) = 0Sviluppiamo i calcoli e scriviamo il sistema in forma normale
{
4x − y = − 4 5x − y = 1Risolviamo il sistema con il metodo del confronto: ricaviamo − y da entrambe le equazioni
{
− y = − 4 − 4x − y = 1 − 5x da cui − 4 − 4x = 1 − 5xQuindi x = 5, e di conseguenza, sostituendo nella seconda equazione del siste-ma, y = 24. Poiché tali valori appartengono al C.E. del sistesiste-ma, la soluzione è
{
x = 5y = 24
Risolvi i seguenti sistemi fratti.
Trainer
56.
{
y − 1 _____ x − 1 = 0 2 − x + 2 _____ y = 0Il C.E. del sistema è x ≠ ... ∧ y ≠ ...
Riduci le equazioni del sistema allo stesso denominatore
{
...
_____ x = 0
...______
y = 0
Semplifica i denominatori e riduci il sistema in forma normale
{
... = ...
... = ...
Risolvi il sistema con uno dei metodi che hai studiato
{
x = ...y = ... Tale coppia
di valori non è accettabile, perché non appartiene al C.E. del sistema; quindi il sistema è ...
57.
{
x _____ x + 2 = y _____ y − 1 1 _____ x − 3 = 2 _____ y − 1 [2, − 1]58.
{
x − 1 _____ 2y = 1 y + 2 _____ 2 = x [impossibile]59.
{
3x − 4y_______ x + 2y = 7 2 (x − y) ________ 3x − 5 = 1 [9, − 2]1.7 Sistemi letterali
Prof
I sistemi letterali includono equazioni che, oltre alle incognite, contengono lettere, chiamate parametri. Si devono quindi de-terminare i valori che, sostituiti ai parametri, rendono il sistema impossibile o indeterminato. Inoltre, se i parametri si trovano a denominatore di eventuali frazioni, occorre escludere i valori che annullano tali denominatori.
Risolviamo il seguente sistema letterale
{
18x + 12y = 5ax + 4y = − 6
Applichiamo il metodo di Cramer. La matrice dei coefficienti delle incognite è
[
18 12 a 4]
e il suo determinante valeD = 18 (4) − 12 (a) = 72 − 12a
Il sistema è quindi determinato se D = 72 − 12a ≠ 0, cioè a ≠ 6. Ipotizzando que-sto caso, procediamo con il calcolo delle soluzioni.
Il termine D x è il determinante della matrice
[
5 12− 6 4
]
, cioè D x = 5 (4) − (12) (− 6) = 92; pertanto x = ___ D xD = ________ 72 − 12a92 = _________ 12 (6 92 − a) = 23 ________ 3 (6 − a) . Il termine D y è il determinante della matrice
[
18 5a − 6
]
, cioè D y = 18 (− 6) − (5) (a) = − 108 − 5a; pertanto y = ___ D yD = − 108 − 5a _________ 72 − 12a = − 108 − 5a _________ 12 (6 − a) . Se al contrario imponiamo a = 6, allora abbiamo D = 0 e D x ≠ 0, e di
conseguen-za il sistema è impossibile. Riassumendo:
• se a ≠ 6, il sistema è determinato e la sua soluzione è
{
x = 23 ________ 3 (6 − a) y = 5a + 108 _________ 12 (a − 6) • se a = 6, il sistema è impossibile. Esempio
Risolvi i seguenti sistemi letterali.
Trainer
60.
{
2x − y = ax + 3y = 4a
Poiché non esistono condizioni sui valori che può assumere la lettera a, il sistema ammette soluzione (..., ...) per qualsiasi valore di a.
Esercizi 1.7
61.
{
x + 4y = a x + 3y = 2a62.
{
2 (x − 2a) = 3 ( y + 1) x − y = 2a + 1Trainer
63.
{
2x + y = 3a − 1 ax − (a + 1) y = 1Il sistema è in forma normale. Risolvilo usando il metodo di Cramer. La matrice dei coefficienti delle incognite è
[
2 ...
... − ...
]
.Calcola il suo determinante D = 2 (...) − (...) (...) = ...
Il sistema è determinato se D ≠ ..., cioè se a ≠ ...
In questo caso, considera la matrice che si ottiene sostituendo alla prima colonna la colonna dei termini noti
[
... ...
... ...
]
e calcola il suo determinanteD x = (...) (...) − (...) (...) = .... Dunque x = ___ D x
D = ...
Considera ora la matrice che si ottiene sostituendo alla seconda colonna la colonna dei termini noti
[
... ...
... ...
]
e calcola il suo determinanteD y = (...) (...) − (...) (...) = ...
Scomponi D y con Ruffini e ottieni D y = .... Dunque y =
D y ___
D = ...
Se invece a = ..., allora D = 0 e D x = ...: il sistema è ...
In sintesi:
se a ≠ ..., il sistema è ... e la sua soluzione è (..., ...);
se a = ..., il sistema è ...
64.
{
ax + y = 0 2ax − 2y = 065.
{
2x + ay = 3a x − 2ay = − a66.
{
ax − 2y = 4 − 2x + ay = − 4Trainer
67.
{
x __ a + y = __ a 1x + __ ya = 1
Il sistema ha significato per i valori del parametro a che non annullano il denominatore delle equazioni, quindi a ≠ ... Risolvi il sistema tenendo
pre-sente che deve valere questa condizione.
68.
{
x + y _____ a + 1 = 1 2x _____ a + 1 + y _____ a − 1 − 2x + y ______ a + 1 = 2 ______ a 2 − 1Trainer
69.
Per quale valore di a il sistema{
x − y = 23x − ay = 6 è determinato?
Il sistema è determinato se il determinante D della matrice dei coefficienti delle incognite è D ≠ ..., quindi a ≠ ...
70.
Per quale valore di a il sistema{
ax + y = 24x + ay = 4 è determinato?
1.8 Risoluzione di problemi con sistemi
Prof
Esistono problemi che si risolvono utilizzando sistemi. Si tratta di problemi che richiedono di determinare due incognite, legate tra loro da due relazioni descritte nel testo. In generale si procede nel seguente modo:
1. si pongono come incognite
x
ey
le grandezze richieste dal pro-blema;2. si trasformano in equazioni le due informazioni date dal proble-ma che pongono in relazione le due grandezze da trovare;
3. si risolve il sistema di due equazioni a due incognite ottenuto;
4. si verifica se la soluzione del sistema è accettabile come soluzio-ne del problema (se per esempio il problema richiede di deter-minare i due lati di un rettangolo, il relativo sistema deve fornire come soluzione due valori positivi, dato che la misura di un seg-mento non può essere negativa).
Consideriamo il seguente problema.
Trovare due numeri sapendo che aggiungendo 12 al maggiore si ottiene il dop-pio della somma di 5 con il minore e che sottraendo 2 dal maggiore si ottiene il triplo della differenza tra il minore e 3.
Indichiamo con x il numero maggiore e con y il numero minore. Il problema impone che:
1. aggiungendo 12 al numero maggiore, cioè alla x, si ottiene il doppio della somma di 5 con il numero minore, cioè con y; quindi
12 + x = 2 (5 + y)
2. sottraendo 2 dal numero maggiore, cioè da x, si ottiene il triplo della diffe-renza tra il numero minore, cioè y, e il numero 3; quindi
x − 2 = 3 ( y − 3) Le due equazioni ottenute formano dunque il sistema
{
12 + x = 2 (5 + y)x − 2 = 3 ( y − 3)
Sviluppiamo i calcoli e trasformiamo il sistema in forma normale
{
x − 2y = − 2x − 3y = − 7
Possiamo applicare, per esempio, il metodo di sostituzione ricavando l’inco-gnita x dalla prima equazione
{
x = − 2 + 2yx − 3y = − 7
per poi sostituirla nella seconda equazione
{
x = − 2 + 2y(− 2 + 2y) − 3y = − 7
Sviluppando i calcoli nella seconda equazione, otteniamo il valore dell’inco-gnita y
{
x = − 2 + 2y y = 5 e dunque l’incognita x{
x = − 2 + 2 (5) = 8 y = 5Concludendo, i due numeri richiesti dal problema sono 8 e 5.
Risolvi i seguenti problemi.
71.
Calcola i lati di un triangolo isoscele, sapendo che labase supera di 4 cm i 3/4 del lato obliquo e il perimetro è 26 cm. Considera il triangolo isoscele in figura. Dal testo del problema:
AB = 4 cm + 3 __
4 BC AB + 2 BC = 26 cm
Se AB = x e BC = y, le due relazioni sono le equazioni del sistema
{
x = 4 + ... x + ... = ... che ha soluzione{
x = ... y = ...La base del triangolo è AB = ... cm. Il lato obliquo è BC = AC = ... cm.
A B
C
Trainer
72.
Trova la lunghezza di due segmenti sapendo che la loro somma è 18 cm eche sono uno i 4/5 dell’altro. [8 cm, 10 cm]
73.
La somma di due numeri è 30. Se al secondo si aggiunge 6 si ottiene ildop-pio del primo. Trova i due numeri. [12, 18]
74.
La differenza di due segmenti è 50 cm. Determina la loro somma sapendo che uno di essi è il triplo dell’altro.75.
A una riunione partecipano 100 persone. Le donne sono 18 più degli uomi-ni. Trova il numero degli uomini e delle donne partecipanti. [41, 59]76.
Determina due numeri sapendo che la differenza tra il primo e i 5/9 del se-condo è 20 e che la somma di 5/6 del primo e 1/3 del sese-condo è 31. [30, 18]77.
In un triangolo rettangolo la somma dei 2/3 del cateto minore e dei 7/8 del maggiore è 11 cm e la differenza tra i 5/4 del cateto minore e i 3/8 del mag-giore è 9/2. Trova i cateti del triangolo. [6 cm, 8 cm]78.
In un triangolo isoscele l’angolo al vertice è i 2/3 della somma degli angoli alla base. Determina l’ampiezza degli angoli. [72°, 54°, 54°]79.
In un rettangolo la somma dei due lati è 22 cm e la loro differenza è 18 cm.Calcola l’area del rettangolo. [40 c m 2 ]
80.
Trova due numeri tali che il loro rapporto sia 3/5 e che la loro somma sia 80.Il sistema è fratto e il relativo C.E. è ...
Trainer
81.
Trova la frazione che diventa uguale a 4/5 se si aumentano di 2 i suoi termi-ni, mentre diventa uguale a 1/2 se si diminuiscono di 1 i suoi termini. [2/3]Esercizi di riepilogo
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo indicato.
82.
{
− 3x + y = 7 − y 2x + 5 = y + 1 sostituzione [− 1, 2]83.
{
19 ___ 10 − x + y _____ 4 = 2 __ 5 x − 2y = 18 sostituzione [10, − 4]84.
{
x − y + z = 6 2x + y − z = − 3 x − y − z = 0 sostituzione [1, − 2, 3]85.
{
x − y + 2z = − 1 2x + y − z = − 3 x − 4y + 7z = 2 sostituzione [impossibile]86.
{
2x + 3y − z = 03x + 2y − 4z = 0 2x + y − 3z = 0 sostituzione [indeterminato]87.
{
x + y _____ 2 + x − y _____ 3 = − 7 __ 6 x − y _____ 2 + x + y _____ 3 = 17 ___ 6 confronto [1, − 12]88.
{
− x __ 2 + y __ 3 = 5x − 4 ______ 6 2y − x = 3 confronto [1, 2]89.
{
3x + 7y = 2 4x − 2y = − 3 riduzione [ − 1 __ 2 , 1 __ 2 ]90.
{
4x + 5y _______ 3 − 2x − y ______ 5 = − 11 ___ 5 6x − 16y________ 15 + 5x + 4y _______ 3 = 4 __ 3 + 29x ____ 15 riduzione [impossibile]91.
{
9x + y = 4 − y 3 __ 2 x − 6y = 6 − y Cramer [ 2 __ 3 , − 1 ]92.
{
4y ___ 5 − 5 − 2x ______ 3 = − 11 ___ 15 x − 3 _____ 2 + 3y ___ 5 = − 4 __ 5 Cramer [indeterminato]Risolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno.
93.
{
5x − y + 1 = 0 (x + y ) 2 − (x − y ) 2 = 4x ( y − 2) [0, 1]94.
{
(2x + y ) 2 − 8x ( y − 1) = (2x − y ) 2 − 8 2x + 3y − 1 = 0 [− 1, 1]95.
{
(x − 2 ) 2 + y = (x + 1) (x − y) + (3 − y) (2 − x) x __ 4 = 2 + 2y [ − 4, − 3 __ 2 ]96.
{
__ 5 6 x + 3 __ 5 y = 1 __ 2 x − 2 __ 5 2 (x + y) = y + 1 − 2 __ 9 [ 1, − 11 ___ 9 ]97.
{
x + 1 _____ y = 1 __ 4 x _____ y + 1 = 1 __ 5 [5, 24]98.
{
2 (x − 4y) _________ x − 2 = 6x + 1 ________ 3 (x − 2) + 2 (1 − 4y) _________ x − 2 3x _____ y − 1 − 1 − 6 _____ y − 1 = 0 [impossibile]99.
{
3 _____ x − 1 = 3 + y _____ x − 1 3 __ y = 1 __ x + ___ xy 9 [ 5 __ 2 ; − 3 __ 2 ]100.
{
2x − y = 1 ax − y = 1 [a ≠ 2, (0, − 1); a = 2, indeterminato]101.
{
ax + 2y = a ax − 2y = 0 [ a ≠ 0,(
__ 1 2 , a __ 4)
; a = 0, indeterminato ]Risolvi i seguenti problemi.
102.
In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di 6 quella delle de-cine e la somma delle cifre è 8. Trova il numero. [17]103.
Determina due numeri sapendo che il maggiore supera di 7 il doppio del minore e che, dividendoli, si ottiene per quoziente 3 e per resto 2. [17, 5]104.
Determina gli angoli di un triangolo isoscele sapendo che l’angolo al ver-tice è doppio di ciascuno degli angoli alla base. [90°, 45°, 45°]105.
Determina le diagonali di un rombo sapendo che la maggiore è i 5/2 della minore e che la loro differenza è 15 cm. [10 cm, 25 cm]106.
La somma delle età di Paolo e Luca è 65 anni. 1/7 dell’età di Paolo è ugualea 1/6 dell’età di Luca. Trova le due età. [35, 30]
107.
Calcola la lunghezza dei lati di un rettangolo, sapendo che il maggiore supera di 4 cm il minore e che, aumentando di 2 cm il maggiore e dimi-nuendo di 1 cm il minore, l’area diminuisce di 4 c m 2 . [6 cm, 2 cm]Test di autovalutazione
Prof
Per valutare il tuo livello di preparazione sugli argomenti dell’Unità, risolvi i seguenti esercizi e confronta i risultati con quelli riportati a pagina 232. Se hai svolto corretta-mente almeno sei esercizi, la tua preparazione è suffi-ciente.
Trainer
Risolvi i seguenti sistemi con il metodo indicato a fianco.
1.
{
x − 7y = 19 + 3x 8x + y = 5 sostituzione2.
{
x + 2y ______ 3 − 3x ___ 4 = − x __ 3 y − x _____ 5 = 3y ___ 5 − 1 confronto3.
{
x − 2 − y ________ 3 − y __ 4 + x + 1 _____ 6 + 1 = 0 x − 1 + 3y _________ 4 − 2y − 3 ______ 6 − x + 1 _____ 2 = 0 riduzione4.
{
3x − y ______ 3 + x − 2y ______ 5 = 5 __ 3 2x + y______ 2 − x − 3y ______ 3 = 17 ___ 6 Cramer5.
{
x + y + 2z = − 1 2x − y + 2z = − 4 4x + y + 4z = − 2 sostituzioneRisolvi i seguenti sistemi con il metodo che ritieni più opportuno.