UNITÀ 7. IL PIANO CARTESIANO E LA RETTA 1. Il piano cartesiano.
2. Le coordinate di un punto sul piano cartesiano. 3. Il punto medio e la lunghezza di un segmento. 4. Il baricentro e l’area di un triangolo.
5. Le equazioni di alcune rette particolari nel piano cartesiano. 6. L’equazione della retta in forma esplicita.
7. Il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine. 8. L’equazione della retta in forma implicita.
9. Condizione di appartenenza di un punto ad una retta. 10. Equazione della retta passante per un punto.
11. Coefficiente angolare della retta passante per due punti. 12. Equazione della retta passante per due punti.
13. Condizione di allineamento di tre punti. 14. Rette coincidenti, parallele e incidenti. 15. Intersezione tra due rette.
16. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità in forma esplicita. 17. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità in forma implicita. 18. Distanza di un punto da una retta.
19. Distanza tra due rette parallele. 20. Fascio improprio di rette. 21. Fascio proprio di rette.
22. Fasci generati dalla combinazione lineare di due rette. 23. Rette traslate e simmetriche.
24. I luoghi geometrici.
25. Equazione dell’asse di un segmento.
26. Equazioni delle bisettrici degli angoli tra due rette.
27. Rappresentazione grafica delle disequazioni di primo grado. 28. Esercizi e problemi vari sulla retta.
1. Il piano cartesiano.
Ѐ il piano ottenuto tracciando una retta orizzontale orientata verso destra chiamata asse delle ascisse e indicata con x e una retta verticale orientata verso l’alto chiamata asse delle ordinate e indicata con y. I due assi si incontrano in punto O chiamato origine degli assi cartesiani.
Su ogni asse si fissa anche l’unità di misura.
Gli assi cartesiani dividono il piano in 4 regioni chiamati quadranti.
2. Le coordinate di un punto sul piano cartesiano.
Ad ogni punto P del piano cartesiano è possibile associare una coppia ordinata di numeri reali, chiamati ascissa xP e ordinata yP .
L’ascissa si ottiene proiettando il punto P sull’asse x e ottenendo il punto H.La misura del segmento OH rappresenta l’ascissa del punto P. 𝑥𝑃 = 𝑂𝐻̅̅̅̅
L’ordinata si ottiene proiettando il punto P sull’asse y e ottenendo il punto K.La misura del segmento OK rappresenta l’ordinata del punto P. 𝑦𝑃 = 𝑂𝐾̅̅̅̅
Per indicare che il punto P ha ascissa 𝑥𝑃 e ordinata 𝑦𝑃 si scrive: 𝑃(𝑥𝑃; 𝑦𝑃)
3. Il punto medio e la lunghezza di un segmento.
Dati due punti A e B nel piano cartesiano è possibile determinare il punto medio del segmento AB indicato con 𝑀(𝑥𝑀; 𝑦𝑀) dove,
l’ascissa 𝑥𝑀 è uguale alla media delle ascisse di A e di B:
𝑥
𝑀=
𝑥𝐴+𝑥𝐵
2 l’ordinata 𝑦𝑀 è uguale alla media delle ordinate di A e di B:
𝑦
𝑀=
𝑦𝐴+𝑦𝐵2 Ѐ anche possibile calcolare la lunghezza del segmento AB.
Se i punti A e B hanno la stessa ascissa, la lunghezza del segmento è data dalla differenza delle ordinate in valore assoluto:
𝐴𝐵
̅̅̅̅ = |𝑦
𝐵− 𝑦
𝐴|
Però se sappiamo che 𝑦𝐵 > 𝑦𝐴 possiamo evitare di mettere il valore assoluto e si ottiene: 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑦𝐵− 𝑦𝐴 Se i punti A e B hanno la stessa ordinata, la lunghezza del segmento è data dalla differenza delle ascisse in valore assoluto:
𝐴𝐵
̅̅̅̅ = |𝑥
𝐵− 𝑥
𝐴|
Però se sappiamo che 𝑥𝐵 > 𝑥𝐴 possiamo evitare di mettere il valore assoluto e si ottiene: 𝐴𝐵̅̅̅̅ = 𝑥𝐵− 𝑥𝐴 Se invece i punti A e B non hanno la stessa ascissa né la stessa ordinata, la lunghezza del segmento AB si calcola col teorema di Pitagora eseguendo la radice quadrata della differenza delle ascisse elevata al quadrato più la differenza delle ordinate elevata al quadrato:
4. Il baricentro e l’area di un triangolo.
Il baricentro di un triangolo è il punto di intersezione delle tre mediane. Una mediana è il segmento che unisce un vertice di un triangolo con il punto medio del lato opposto. Il baricentro si indica con 𝐺(𝑥𝐺; 𝑦𝐺) La sua ascissa è la media delle tre ascisse:
𝑥
𝐺=
𝑥𝐴+𝑥𝐵+𝑥𝑐3
La sua ordinata è la media delle tre ordinate:
𝑦
𝐺=
𝑦𝐴+𝑦𝐵+𝑦𝑐 3Ѐ anche possibile calcolare l’area del triangolo di vertici A, B, C calcolando il determinante della matrice M che contiene nella prima riga tutti 1 e nelle colonne sottostanti le coordinate di A, di B e di C.
Det M=| 1 1 1 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐶 𝑦𝐴 𝑦𝐵 𝑦𝐶 |=1·|𝑥𝑦𝐵 𝑥𝐶 𝐵 𝑦𝐶| − 1 · | 𝑥𝐴 𝑥𝐶 𝑌𝐴 𝑦𝐶| + 1 · | 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑦𝐴 𝑦𝐵|
L’area del triangolo ABC è la metà del determinante di M in valore assoluto: Area = 1
2· |det 𝑀|
5. Le equazioni di alcune rette particolari nel piano cartesiano. 6. L’equazione della retta in forma esplicita.
7. Il coefficiente angolare e l’ordinata all’origine. 8. L’equazione della retta in forma implicita.
9. Condizione di appartenenza di un punto ad una retta. 10. Equazione della retta passante per un punto.
11. Coefficiente angolare della retta passante per due punti. 12. Equazione della retta passante per due punti.
13. Condizione di allineamento di tre punti. 14. Rette coincidenti, parallele e incidenti. 15. Intersezione tra due rette.
16. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità in forma esplicita. 17. Condizione di parallelismo e di perpendicolarità in forma implicita. 18. Distanza di un punto da una retta.
19. Distanza tra due rette parallele. 20. Fascio improprio di rette. 21. Fascio proprio di rette.
22. Fasci generati dalla combinazione lineare di due rette. 23. Rette traslate e simmetriche.
24. I luoghi geometrici.
25. Equazione dell’asse di un segmento.
26. Equazioni delle bisettrici degli angoli tra due rette.
27. Rappresentazione grafica delle disequazioni di primo grado. 28. Esercizi e problemi vari sulla retta.
