ASINTOTI

Prof. Chirizzi Marco

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Esercizi svolti

Asintoti

1) Trovare le equazioni degli asintoti della seguente funzione:

1 1 3 ) (    x x x f

La funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:

     

 , 1 1,

Z

Per trovare le equazioni degli eventuali asintoti, bisogna calcolare i limiti della funzione per

x

tendente nei punti in cui la funzione stessa non è definita, cioè:

. 1 1 3 ) ( , 1 1 3 )

( _{lim lim lim}

lim 1 1 1 1                 _{  }  x x x f x x x f x x x x 3 1 1 3 lim _     x x x

In conclusione, la funzione f(x) _{presenta un asintoto verticale di equazione} x 1 ed un asintoto orizzontale di equazioney  3.

2) Trovare le equazioni degli asintoti della seguente funzione:

1 25 ) ( 2    x x x f

La funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:

      

 , 1 1,

Z

                                  1 25 ) ( , 1 25 ) ( , 1 25 ) ( 2 2 1 1 2 1 1 lim lim lim lim lim lim x x x f x x x f x x x f x x x x x x

In base al valore dei primi due limiti, possiamo dire che la funzione f(x) presenta un asintoto verticale di equazione x 1_.

Siccome il limite della funzione f (x), per

x

tendente ad infinito, è infinito, potrebbe esistere un asintoto obliquo, la cui equazione si determina nel seguente modo:





1 . 1 1 25 ) ( ; 1 25 ) ( lim lim lim lim ₂ 2                          x q x m y x x x m x f q x x x x x f m x x x x

3) Trovare le equazioni degli asintoti della seguente funzione:

1 4 ) ( 2     x x x x f

La funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:

     

 ,1 1,

Z

Calcolando i limiti della funzione nei punti x, x1,_{si ha:}

; 1 4 ) ( ; 1 4 ) ( 2 1 1 2 1

1 lim lim lim

lim  _    _       _{  }  x x x x f x x x x f x x x x

Quindi, x 1 è l’equazione dell’asintoto verticale della funzione f(x)_.

          1 4 ) ( lim 2 lim x x x x f x x

Il valore di quest’ultimo limite implica la possibilità che esista un asintoto obliquo, la cui equazione si determina come segue:





0. 1 4 ) ( , 1 4 ) ( lim lim lim lim ₂ 2                     x x q f x mx x x x x x f m x x x x . x y q x m y   

4) Trovare le equazioni degli asintoti della seguente funzione:

1 ) (   x x x f

La funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:

      

 , 1 0,

Z

. 1 1 ) ( , 1 ) ( lim lim lim lim 1 1                   x x x f x x x f x x x x

In conclusione, la funzione f(x) presenta un asintoto orizzontale di equazione:

1  y

ed un asintoto verticale di equazione:

1   x

5) Trovare le equazioni degli asintoti della seguente funzione: 1 )

(x  x x2 f

La funzione assegnata è definita nel seguente insieme di esistenza:

      

 , 1 1,

Z

Calcolando i limiti della funzione f (x) _{nei punti} x_{, si ha:}

. 0 1 1 1 1 1 1 ) ( ; 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim             _{ }        _{ }         _{ }           _{ }                    x x x x x x x x x x x f x x x f x x x x x x

Poiché il primo limite è uguale a , la funzione f(x) _{potrebbe presentare un asintoto obliquo,}

la cui equazione si determina come segue:

           _{ }              _{ }       _{ }        _{ }        _{ }        _{ }             _                           x x x f x x x x x x x x x x q x x mx x f q x x x x f m x x x x x x x x x 1 ) ( ; 0 1 1 1 1 1 1 ; 1 ) ( ; 2 1 1 ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 lim lim lim lim lim lim lim lim lim

In conclusione, la funzione f(x) _{presenta un asintoto orizzontale sinistro di equazione:} 0

 y

ed un asintoto obliquo destro di equazione:

x y 2