Sviluppo di un algoritmo di tracking per immagini ecografiche per lo studio funzionale della valvola mitrale pre e post impianto di chiusura dell'auricola sinistra.

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA

SCUOLA DI INGEGNERIA

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica

Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione

Tesi di Laurea Magistrale

Sviluppo di un algoritmo di tracking per

immagini ecografiche per lo studio funzionale

della valvola mitrale pre e post impianto di

chiusura dell’auricola sinistra

RELATORI:

Ing.Vincenzo Positano

Ing.Simona Celi

CANDIDATO:

Davide Giannetti

Anno Accademico 2018

/2019

Indice

Introduzione 1

1 Imaging del cuore 7

1.1 Contesto clinico . . . 7

1.2 Tecniche di imaging . . . 10

1.2.1 Angiocardiografia . . . 10

1.2.2 CT cardiaca . . . 11

1.2.3 Risonanza Magnetica Cardiaca . . . 12

1.2.4 Ecocardiografia 3D . . . 13

1.2.5 Altre tecniche . . . 14

1.3 Feature tracking . . . 15

1.3.1 CMRI tagging . . . 15

1.3.2 Feature Tracking CMRI . . . 17

1.3.3 Feature Tracking in ecocardiografia . . . 19

2 Stato dell’arte 22 2.1 Block Matching . . . 22

2.2 Elastic Image Registration . . . 25

2.3 Optical Flow . . . 27

2.3.1 Ivana Mikic et al. . . 28

2.3.2 Veronesi et al. . . 32

3 Materiali e Metodi 38

3.1 Segnale monogenico ed Optical Flow . . . 38

3.2 Calcolo Segnale Monogenico . . . 40

3.2.1 Filtri di Quadratura . . . 40

3.2.2 Caratteristiche segnale monogenico . . . 41

3.3 Optical Flow Multiscala . . . 45

3.3.1 Momenti Geometrici Locali Pesati . . . 47

3.3.2 Equazione a due scale . . . 48

3.3.3 Implementazione Multiscala . . . 49

3.3.4 Estensione multidimensionale . . . 50

3.3.5 Calcolo dello spostamento . . . 52

3.4 Estensione 3D . . . 56

3.4.1 Calcolo segnale monogenico . . . 56

3.5 Optical Flow Multiscala . . . 58

4 Elaborazione delle immagini 61 4.1 Preparazione delle immagini . . . 61

4.2 Tracciamento e scomposizione . . . 67

5 Risultati 72 5.1 Testing algoritmo 2D . . . 72

5.1.1 Creazione fantoccio 2D . . . 72

5.1.2 Valutazione algoritmo 2D su fantoccio . . . 76

5.1.3 Valutazione algoritmo 2D su dati ecocardiografici . . . 88

Glossario

BM Block Matching, 28

CMRI Cardiac Magnetic Resonance Imaging, 5

CT Computed Tomography, 4

EF Ejection Fraction, 5

FT Feature Tracking, 6

LV Left Ventricular, 5

MTT Myocardial Tissue Tagging, 7

OF Optical Flow, 11

ROI Region Of Interest, 28

ROS Region Of Search, 28

RT2DE Real Time Two Dimensional

Echocardiography, 5

RT3DE Real Time Three Dimensional

Echocardiography, 5

SPAMM Spatial Modulation of Magnetization, 7

SSFP Steady State Free Precession, 7

STE Speckle Tracking Echocardiography, 9

ST Speckle Tracking, 9

SV Stroke Volume, 5

Introduzione

I problemi cardiovascolari sono una delle principali cause di morte al mondo, e sono destinati a ricoprire tale ruolo anche in futuro. Diventa quindi importante ottenere informazioni morfologiche e funzionali del cuore: è in questo senso che sono state svi-luppate le tecniche di imaging cardiaco. Tali informazioni, quantitative e qualitative, sono un valido strumento per poter analizzare il movimento cardiaco e la perfusione, così da creare una relazione con le possibili patologie. I progressi tecnologici nelle tecni-che di imaging cardiaco hanno consentito di ottenere informazioni tridimensionali con risoluzione spaziale e temporale sempre in continuo aumento, ed è da qui che nasce il crescente bisogno di algoritmi efficienti per pianificare acquisizioni 3D, automatizzare l’estrazione di parametri clinicamente rilevanti e fornire strumenti per la loro visualiz-zazione. Per la stima dei movimenti cardiaci gli algoritmi di riferimento sono quelli di tipo "Feature Tracking" (FT). Il principio fondamentale che sta alla base del FT è il riconoscimento di pattern di caratteristiche od irregolarità nell’immagine che devono essere tracciate e seguite nelle immagini successive all’interno di una sequenza. Quello che si va a fare, in generale, è di considerare una finestra di una determinata dimen-sione all’interno di un’immagine e di ricercare, all’interno di una finestra delle stesse dimensioni della precedente, il pattern più verosimile nel frame seguente. La variazio-ne di locaziovariazio-ne tra i due pattern variazio-nelle due immagini è considerata come lo spostamento locale del tessuto. Tale tipologia di algoritmo, in letteratura, è principalmente utiliz-zata per lo studio della motilità della parete cardiaca in generale, ma può essere usata anche per analizzare la funzione valvolare. La parte innovativa del presente lavoro di

FT. Tipicamente, per lo studio valvolare, si utilizzano delle immagini ecografiche, prima 2D e poi, con lo sviluppo della tecnologia, 3D. Una tecnica simile al FT, applicabile al-l’ecocardiografia, è lo Speckle Tracking Echocardiography (STE). L’assunzione di base è quella secondo cui ogni tessuto del miocardio è caratterizzato da un unico pattern di speckles, derivante dalla distribuzione dei valori di livelli di grigio. Il tracciamen-to di queste "macchie" (speckles) consente di misurare per tutti i pixels le componenti nel piano del vettore di velocità. Una volta individuati i possibili algoritmi di speckle tracking di immagini ecocardiografiche 2D disponibili fino a questo momento (come ad esempio block matching ed elastic registration), è stato scelto quello che, a livello teorico, presentasse maggiori aspetti favorevoli. La scelta è ricaduta sulla famiglia di algoritmi facente parte della cosiddetta "optical-flow" (OF), in particolare "monogenic optical-flow". Tale scelta è motivata dal fatto che, mentre i metodi classici per il calcolo dell’OF sono accomunati dall’ipotesi che ogni regione, seppur in movimento, mantenga costante la sua intensità anche nei frames successivi a quello di partenza, quelli phase-based, che presuppongono la costanza di fase, comprendono alcuni tratti di specificità che li rendono preferibili per affrontare il problema in oggetto. Ciò che rende però l’uso dell’approccio phase-based limitante è che la fase deve essere orientata. I filtri di qua-dratura classici, infatti, hanno una orientazione predefinita nella quale la stima della fase è corretta, ma, allontanandosi da essa, l’errore di fase cresce. Utilizzando invece un approccio basato sulla fase monogenica, è possibile calcolare la fase locale per tutte le orientazioni. Il segnale monogenico è stato introdotto da Felsberg come un’estensio-ne del concetto del segnale analitico in uno spazio multidimensionale. Nel phase-based processing, quello che viene adottato come modello dell’immagine è una combinazione di ampiezza locale e fase locale. Trattandosi però di un segnale monogenico, si va ad aggiungere anche una ulteriore dimensione intrinseca definita dall’orientazione locale, dove si concentrano le variazioni locali dell’immagine. Per semplicità di trattazione, è stato preso in considerazione il caso bidimensionale, ma è possibile estendere il tutto anche al caso tridimensionale. Per poter calcolare tali caratteristiche sono necessari

quenza locale ed il vettore di fase, utile perché combina convenientemente sia fase che orientazione. Nell’implementazione è stato scelto di sostituire le classiche stime dell’o-rientazione con una più robusta stima ai minimi quadrati, con lo scopo di aumentare la robustezza dell’algoritmo rispetto al rumore dell’immagine. Una volta implementate le funzioni Matlab per i filtri ed il calcolo delle caratteristiche, si è passati al calcolo dello spostamento vero e proprio. L’algoritmo infatti prevede che, dati in ingresso tre frames successivi di una sequenza, vengano calcolate le risposte al filtraggio per tutte e tre le immagini. Ottenute queste ultime, solo del frame centrale vengono calcolate ampiezza, fase, orientazione e frequenza. Il campo di spostamento tra frames è quindi ricavato sostituendo la tradizionale assunzione della costanza di luminosità con quella della co-stanza della fase monogenica, esprimendo il tutto con il vettore di fase monogenica. Ipotizzando piccoli spostamenti, per poter applicare l’espansione di Taylor che meglio rappresenta l’assunzione di costanza, è necessario calcolare la matrice Jacobiana del vettore di fase. Per essere calcolata viene sfruttata solo l’orientazione precedentemente calcolata. Per poter quindi ottenere la derivata temporale del vettore di fase, vengono a questo punto utilizzate le caratteristiche e le risposte ai filtraggi del frame centrale e le risposte ai filtraggi delle altre due immagini. Detta ω la finestra entro la quale si considera che tutti i punti traslino della stessa quantità, per rendere l’algoritmo me-no dipendente dalla scelta delle dimensioni di tale finestra, si ricorre al calcolo delle derivate spaziali e temporali, così da comprendere anche movimenti come rotazioni, compressioni ed espansioni. Considerando quindi i momenti locali dall’ordine zero a quelli di ordine due delle derivate temporali e spaziali dei vettori di fase, si è in grado di calcolare il displacement tra frames. Sempre nell’ottica di rendere tutto il meno dipen-dente possibile dalle dimensioni della finestra, è stata operata una scelta multiscala per la sua dimensione. Ciò significa che la sua dimensione è stata progressivamente scalata di un fattore 2 per ogni iterazione fatta, e per ognuna è stato calcolato un nuovo va-lore di spostamento. Una volta realizzato l’algoritmo nel caso bidimensionale, è stata implementata anche la versione tridimensionale, estendendo quindi le funzioni create

punto sono state elaborate le immagini ecocardiografiche perché la regione anatomica di interesse fosse adeguatamente riconoscibile. Una volta importati i files Dicom nel software 3DSlicer, le immagini sono state adeguatamente orientate per poter estrapo-lare una certa matrice di rototraslazione. Ottenuta quest’ultima, essa è stata applicata in ambiente Matlab al volume di interesse e tramite il pacchetto Matlab View4D è stata estratta la fetta di interesse. Dopodiché, grazie a determinati comandi Matlab, è stato tracciato manualmente il contorno di interesse nel primo frame del volume, e seguito lo spostamento di questo nei vari frames tramite l’applicazione dell’algoritmo imple-mentato. Per disporre di parametri clinicamente interessanti è stata anche introdotta la scomposizione dello spostamento in componenti radiale e tangenziale, sfruttando re-lazioni trigonometriche tra il baricentro del contorno calcolato ed i punti del contorno stesso. Per verificare che il tutto funzionasse correttamente sono stati creati prima dei fantocci ad hoc. La scelta è ricaduta su dei fantocci sferici. Quello che si è visto è che, per parametri di traslazione che variavano dallo 0.2% al 2%, l’algoritmo presentava un errore percentuale tra il displacement calcolato e quello imposto minore del 10% quan-do il numero di frames era maggiore di 30 e per valori di SNR maggiori di 4. Sono state ricavate anche le componenti radiali e tangenziali e si è verificato che lo spostamento derivante dalla somma delle due componenti fosse uguale a quello dello spostamento imposto. L’algoritmo è stato quindi testato su dati ecocardiografici. In particolare, l’at-tenzione è stata posta sulla valutazione del movimento dell’annulus e sulla possibilità di poter ricavare informazioni sul corretto posizionamento di un device impiantato in seguito alla chiusura dell’auricola sinistra, mettendo a confronto immagini ecografiche pre e post interventistiche. Sono stati tracciati i grafici dello spostamento massimo e medio del contorno, le mappe di massima intensità, verificando quindi che nei due casi ci fosse una certa diversità. Si è poi pensato di tracciare il movimento dei lembi della valvola, agendo direttamente su un filmato ecocardiografico. Importando il file in Ma-tlab e tracciando due segmenti, se ne è inseguito il movimento, graficando quelli che sono gli spostamenti massimo e medio del contorno e la mappa di intensità. In questo

valvola, dato che in tal caso la risoluzione temporale non era adeguatamente elevata. Nel presente lavoro di tesi, è stato analizzato il caso di un solo paziente sottoposto ad impianto di chiusura dell’auricola sinistra. L’estensione dell’analisi ad una popolazione di pazienti statisticamente significativa potrebbe portare ad una valutazione dell’effica-cia clinica della metodica introdotta. L’estensione della metodica al caso 3D, invece, è limitata dalla complessità computazionale dell’algoritmo. Si pensa che con elaboratori più potenti, che riducano il tempo di calcolo, si potrebbe sopperire all’elevato costo computazionale che l’applicazione di tale algoritmo richiede.

Monasterio di Massa, si articola in 6 capitoli:

• Capitolo 1: dopo un accenno al contesto clinico, viene presentata una sintesi delle tecniche di imaging disponibili per lo studio del cuore e delle metodiche di stima del movimento della parete del cuore.

• Capitolo 2: vengono riportati i principali lavori presenti nello stato dell’arte con riferimento alla valutazione del movimento valvolare, con particolare attenzione alla tecnica del feature tracking e, in special modo, a quella dell’optical flow. • Capitolo 3: vengono discussi i materiali e i metodi per la realizzazione

dell’al-goritmo. In particolare, è stato valutato il modello teorico che ne sta alla base, approfondendo quella che viene definita la tecnica della conservazione della fa-se monogenica. Si è dapprima proceduto con l’implementazione dell’algoritmo nel caso bidimensionale, per poi estenderlo al caso tridimensionale, analizzando similitudini e differenze.

• Capitolo 4: in questo capitolo vengono riportati i passaggi per la prepara-zione delle immagini, il tracciamento del contorno e la scomposiprepara-zione dello spostamento in componenti radiale e tangenziale.

• Capitolo 5: vengono presentati i risultati sperimentali ottenuti prima su fantocci software creati ad hoc (viene spiegato come tali fantocci sono stati creati) e poi su dati ecocardiografici opportunamente elaborati

1

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Imaging del cuore

1.1

Contesto clinico

Nell’atrio sinistro, in corrispondenza dell’ostium, si trova una sorta di "propaggine" con struttura eterogenea e complessa: l’auricola sinistra (Left Atrial Appendage, LAA).

Figura 1.1: La figura rappresenta l’anatomia del cuore, mettendo in rilievo il posizionamento dell’auricola sinistra (Boston Scientific).

La sua geometria, comparata a quella dell’auricola presente nell’atrio destro, è maggior-mente complessa in quanto più sottile, lunga e frastagliata. La sua morfologia, inoltre, può presentare conformazioni differenti, ed è altamente paziente-specifica[1]. La sua principale funzione meccanica/fisiologica è di fungere da camera di decompressione

durante la sistole ventricolare (chiusura della valvola mitrale) ed in generale nei pe-riodi di alta pressione atriale sinistra, riempiendosi, gonfiandosi e smorzando quindi quella che è la pressione atriale[2]. Se una regolare contrazione dell’auricola garanti-sce una minore probabilità di formazione di trombi, un ristagno di sangue, conseguente ad una minore contrattilità e quindi ad un flusso di sangue irregolare durante il ciclo cardiaco, provoca un aumento del rischio di trombosi [1]. In seguito ad una fibrilla-zione atriale, infatti, si assiste ad un processo di rimodellamento e ad una diminufibrilla-zione della capacità di contrattilità dell’auricola stessa a causa dell’irrigidimento delle pareti dell’atrio. Tutto ciò provoca un ristagno di sangue all’interno dell’auricola, con un’e-levata probabilità di coagulazione e formazione di trombi. La situazione peggiore che si possa presentare è che tali formazioni si stacchino e vengano liberate nel sistema circolatorio, potendo quindi raggiungere sia valvole che encefalo e dare così luogo ad ictus embolico. E’ stato dimostrato che l’utilizzo di anticoagulanti diminuisce il rischio di formazione di trombi, ma si ricorre ad interventi che prevedono l’esclusione, quindi l’isolamento fisico, dell’auricola per i pazienti per i quali la somministrazione di anti-coagulanti rende il rischio emorragico troppo elevato. I dispositivi impiantabili di rife-rimento per questo tipo di intervento sono Amplatzer (Amplatzer Cardiac Plug, Abbott, Minnesota) e Watchman (Watchman device, Boston Scientific, Boston) (vedi Fig. 3.3). Sono ben noti gli aspetti positivi di seguire una terapia di anticoagulanti nella ricerca della prevenzione degli eventi tromboemolici ma l’efficacia dell’intervento di chiusura dell’auricola tramite Watchman non risulta inferiore. Si tratta di un dispositivo con un frame in nitinol, ricoperto da una membrana in PET, mentre l’Amplatzer presenta una struttura intrecciata flessibile in nitinol composto di un lobo distale e di un disco pros-simale con la funzione di coprire l’ostium. Nella procedura di chiusura dell’auricola è fondamentale la scelta delle dimensioni corrette del dispositivo da impiantare, questo perchè in caso di sovradimensionamento si potrebbero avere problemi alle strutture circostanti. E’ quindi necessario poter caratterizzare la morfologia dell’auricola (com-prese dimensioni e forma dell’ostium). Angiografia ed ecocardiografia trans-esofagea con differenti angoli permettono di misurare il diametro dell’ostium, prendendo come

Figura 1.2: La figura è suddivisa in quattro sottofigure. In A è presente il dispositi-vo Watchman, in B il relatidispositi-vo posizionamento (Boston Scientific), in C il dispositidispositi-vo Amplatzer e in D il suo relativo posizionamento (St-Jude medical).

riferimento per la scelta del dispositivo quello in cui appare più largo. In genere si opta per un dispositivo di qualche millimetro di dimensione maggiore rispetto a quella otte-nuta dall’imaging. In regime di anestesia generale, praticando una piccola incisione a livello della vena femorale, si riesce a raggiungere l’atrio destro con un catetere. Dopo aver valutato l’angolo tra ostium e collo dell’auricola, viene creato il canale di apertura tra i due atri. Con una puntura trans-septale si giunge nell’atrio sinistro e quindi all’au-ricola sinistra, dove verrà effettuato l’impianto (come si vede in Fig.1.3). Prima che il dispositivo venga ancorato, vengono effettuate delle prove con delle forze di tiro per verificare che la sede dell’impianto possa risultare stabile. Una volta effettuato tale tipo di intervento, la cosa fondamentale da effettuarsi nella fase post-interventistica è stabi-lire, tramite imaging, che le strutture circostanti, come ad esempio la valvola mitrale, non abbiano subito delle ripercussioni.

Figura 1.3: La figura rappresenta la puntura trans-septale ed il posizionamento del Watchman (Boston Scientific).

1.2

Tecniche di imaging

Un dispositivo di imaging ricostruisce un’immagine sulla base delle proprietà fisiche che sono correlate strettamente con alcuni degli aspetti funzionali della parte anato-mica presa in considerazione. Ogni tecnica di imaging presenta delle caratteristiche favorevoli e non, che vanno ad influenzare l’accuratezza del modello realizzato. Ver-ranno quindi passate in rassegna brevemente le principali metodiche di diagnostica del cuore.

1.2.1

Angiocardiografia

E’ una tecnica di imaging a raggi X del cuore e dei grossi vasi, impiegata con l’ausilio di un mezzo di contrasto radio-opaco. Questo viene introdotto da una vena, attraverso un catetere spinto sotto controllo radioscopico, con lo scopo di raggiungere le cavità destre del cuore, oppure da un’arteria per raggiungere quelle sinistre. La rapida acquisizione di immagini ad alta risoluzione permette l’osservazione del passaggio del mezzo di contrasto nelle cavità cardiache e nei grossi vasi, fornendo dettagli utilissimi non solo

Figura 1.4: La figura rappresenta una angiocardiografia (Vignoli M.).

sulla morfologia, ma anche sul funzionamento degli organi esaminati. Risulta quindi essere spesso una buona tecnica per delineare le lesioni, ma molto meno soddisfacente nel determinare la loro gravità e il disturbo emodinamico che esse hanno causato.

1.2.2

CT cardiaca

La CT cardiaca fornisce importanti informazioni per predire l’estensione e la prognosi della malattia coronarica, in quanto offre una eccellente definizione dei confini tra il miocardio ed il sangue, un’eccellente risoluzione spaziale (<1mm) ed una buona risoluzione temporale. I principali svantaggi di questa tipologia di imaging sono la dose radiogena, problema che sta sollevando delle preoccupazioni negli ultimi anni poiché esiste un potenziale rischio di neoplasia indotta da radiazioni, ed il fatto che sia molto costosa[3].

Figura 1.5: La figura rappresenta una CT cardiaca

1.2.3

Risonanza Magnetica Cardiaca

La CMRI è stata a lungo considerata il gold standard per la valutazione dell’anatomia cardiaca e l’analisi della funzione globale cardiaca.

Alcuni dei vantaggi di questa tecnica sono: includere un ampio campo di vista topo-grafico con la visualizzazione del cuore, della sua morfologia interna e delle strutture mediastiniche circostanti, disporre di molteplici piani di imaging ed operare un’alta di-scriminazione per quanto riguarda il contrasto dei tessuti molli, tra il sangue che scorre ed il miocardio, senza la necessità di iniettare mezzi di contrasto o ricorrere a tecni-che invasive. Un ulteriore vantaggio, citato già precedentemente, è quello di offrire informazioni anatomiche e funzionali sul cuore con tutti i dati che ne derivano, come ispessimento delle pareti, massa, EF, SV. Questi sono dati che possono essere ricavati anche dall’angiocardiografia con la differenza che, mentre in quest’ultima tecnica si ha la necessità di approssimare la forma del ventricolo sinistro ad un ellisse, nella riso-nanza magnetica la forma può essere arbitraria. Tra gli svantaggi invece compaiono l’elevato costo del sistema di imaging ed i lunghi tempi di acquisizione.

Figura 1.6: La figura rappresenta l’imaging di risonanza magnetica cardiaca (MRI) con le tecniche cine (A, B, D ed E) e di potenziamento tardivo (C ed F).

1.2.4

Ecocardiografia 3D

Tra le tecniche non invasive, in grado di caratterizzare l’anatomia e la funzione del cuo-re, un posto speciale va riservato alla RT3DE, che utilizza l’informazione temporale per corredare i dati, provenienti dall’estrazione, di caratteristiche spaziali. La RT3DE for-nisce un valore aggiuntivo alla valutazione delle masse intracardiache attraverso una più precisa caratterizzazione della forma, della dimensione e della massa. La miglio-rata riproducibilità e accuratezza delle misure del volume LV e della EF offrono una maggiore precisione durante la valutazione cardiaca. Differentemente dalla RT2DE, che produce immagini planari con inaccuratezze derivanti dagli artefatti causati dal battito cardiaco, la RT3DE sembrerebbe esserne meno affetta. Si potrebbe valutare il movimento della parete regionale dell’intero cuore così da poter determinare eventuali anomalie. Interessante è anche la stima del volume, che è molto simile a quella deri-vante dalle immagini CMRI. Sfortunatamente anche questa tecnica, come quella in 2D, ha delle limitazioni ed errori, come, ad esempio, la poca consistenza nella stima dei

Figura 1.7: La figura rappresenta una vista dell’ecocardiografia 3D. Come si può vedere, le immagini possono essere ruotate in ogni direzione, offrendo la migliore comprensione delle relazioni spaziali tra le strutture anatomiche.

volumi ventricolari a causa dell’incapacità dell’ecografista di riconoscere la differenza tra il tessuto del miocardio e la trabecola. Le apparenti limitazioni dell’RT3DE sono largamente dovute al fatto che sia una tecnica ancora in fase di sviluppo e che ci sia ancora una imperfetta traslazione dei dataset tra i vari software di valutazione 3D. La RT3DE si presenta come una metodica che ha migliorato la qualità dell’immagine ri-spetto allo standard 2D ed ha reso più accurate misure con valore diagnostico, come i volumi LV ed RV[4].

1.2.5

Altre tecniche

Altre modalità di imaging utilizzate includono la tomografia computerizzata ad emis-sione di singolo fotone (SPECT) e le strategie di imaging a gate multiplo, note anche come ventricolografia con radionuclidi, tomografia ad emissione di positroni (PET) ed altre tecniche di imaging nucleare. Tuttavia, queste tecniche richiedono l’iniezione di

traccianti radioattivi, comportando quindi l’esposizione a radiazioni ionizzanti. Inoltre, i sistemi di imaging sono molto costosi.

1.3

Feature tracking

Nel tempo sono stati sviluppati molti metodi per la stima del movimento in modo da poter quantificare la deformazione del tessuto miocardiale. Il metodo che sta alla base di questo lavoro di tesi è quello del FT, ovvero quello che si basa sul riconoscimento di pattern di caratteristiche od irregolarità nell’immagine, che devono essere tracciate e seguite nelle immagini successive di una sequenza.

1.3.1

CMRI tagging

La CMRI, come detto precedentemente, è considerata un gold standard tra le tecniche diagnostiche non invasive. Per riuscire a quantificare la regione funzionale del

miocar-Figura 1.8: La figura rappresenta il tagging a 1.5 e 3 T del ventricolo in asse corto [5].

dio, o la deformazione regionale, risulta fondamentale quello che viene denominato "strain imaging" su imaging di risonanza magnetica cardiaca. Originariamente, questo prevedeva l’impianto di marker fisici all’interno del miocardio stesso ed il tracciamento

del loro movimento usando un imaging esterno. Come prevedibile, questa metodica ri-sultava essere poco utile ai fini clinici ed il movimento del miocardio tracciato riri-sultava essere affetto da un errore introdotto dai marker stessi. Per ovviare a tale problematica, nel 1988, Zerhouni et al. introdussero una risonanza magnetica basata su un metodo di imaging non invasivo per tracciare il movimento del miocardio: la MTT[5]. Si accorse-ro che, perturbando localmente la magnetizzazione con una radiofrequenza selettiva, era possibile creare all’interno dei tessuti i cosiddetti Tag, marker non invasivi. Que-ste perturbazioni, infatti, producono delle regioni in cui l’intensità del segnale risulta essere più bassa: sulle immagini acquisite queste appaiono come delle linee scure. A seguire, il lavoro di Axel e Dougherthy che, con la SPAMM, riuscirono a combinare l’applicazione dei tag in due direzioni ortogonali[6]. Si venne così a formare una gri-glia di marker dalla forma caratteristica del tessuto preso in considerazione. Quello che veniva originariamente relegato alla fase sistolica venne esteso all’intero comples-so QRS, andando a comprendere quindi anche la fase diastolica. Mentre il movimento nella prima veniva seguito correttamente, nella seconda erano presenti errori causati dalla dissolvenza dei tag vicino alla fase finale della diastole, dovuta al tempo di rilas-samento T1 del tessuto. Si ricorse quindi alla SSFP che apportò un migliore contrasto e prolungò i tempi di permanenza dei tag: utilizzando infatti un campo di forza ad alta intensità si ridusse la dissolvenza dei tag. Inoltre, grazie alle potenzialità della CMR di acquisizione in molteplici piani, con il piano in asse corto e quello in asse lungo, fu possibile ricavare informazioni importanti per l’analisi tridimensionale. Con il passare del tempo, le tecniche sono state affinate e le risoluzioni temporale e spaziale sono sta-te migliorasta-te (vedi sta-tecniche SENSE e SMASH)[7]. Dal momento che la maggior parte delle sequenze utilizzate, come detto precedentemente, sono piene di linee di tag in dissolvenza durante la fase diastolica, ciò comporta una non corretta diagnosi, come quella di malati acuti con insufficienza cardiaca avanzata e con problemi polmonari coesistenti. Da qui la necessità della ricerca di una nuova tecnica di post-processing che potesse valutare la funzione globale e regionale del miocardio: il Feature Tracking Cardiac Magnetic Resonance Imaging (FT CMRI)[8].

1.3.2

Feature Tracking CMRI

Il principio fondamentale che sta alla base del FT è il riconoscimento di pattern di ca-ratteristiche od irregolarità nell’immagine che devono essere tracciate e seguite nelle immagini successive all’interno di una sequenza. Quello che si va a fare, in generale, in un metodo di tracking, è di considerare una finestra di una determinata dimensione all’interno di un’immagine e di ricercare, all’interno di una finestra delle stesse dimen-sioni della precedente, il pattern più verosimile nel frame seguente. La variazione di

Figura 1.9: La figura rappresenta il tracciamento delle porzioni di tessuto attorno ad una serie di punti (indicato in rosso nelle immagini) che si basa sulla definizione di piccole finestre quadrate centrate su tali punti su una prima immagine (immagi-ne a sinistra) e sulla ricerca della scala di grigi il più simile possibile (immagi-nell’immagi(immagi-ne seguente (immagine a destra) in prossimità della finestra originale[9].

locazione tra i due pattern nelle due immagini è considerato come lo spostamento loca-le del tessuto. Le dimensioni della finestra variano a seconda dei pattern che si vanno a considerare. Se questi risultano essere più grandi si ha la necessità di una finestra più larga, cosa che al tempo stesso comporta una ridotta accuratezza perché il pattern risulta mediato su un’area più vasta. Viceversa, diminuendo le dimensioni della fine-stra, non vengono più colti i grandi spostamenti ma l’accuratezza ne risulta migliorata. Anche la risoluzione temporale della modalità utilizzata è importante. Se troppo bassa

si ha quella che si chiama decorrelazione, mentre una risoluzione temporale molto alta dovrebbe essere accompagnata da un’alta risoluzione spaziale che comporterebbe un rilevamento degli spostamenti più difficile perché questi risulterebbero più piccoli dei pixel [9]. La FT CMRI utilizza sequenze SSFP ed è più semplice, pratica e disponibile rispetto al tagging. Nel FT vengono utilizzati diversi pattern di strain miocardiale che includono la misura dello strain longitudinale, radiale e circonferenziale. Tutto ciò per ottenere una valutazione funzionale globale e regionale. Quello che risulta interessante è che lo strain nel FT non dipende dalle condizioni di carico, diversamente dalla fra-zione di eiefra-zione: attualmente lo strain si presenta come la differenza tra la lunghezza iniziale e quella finale all’interno di un certo intervallo di tempo. Lo strain quindi è uguale a:

S= L− L0

L₀ (1.1)

dove L è la lunghezza finale e L0 è quella iniziale[8].

Tra i punti a favore dell’utilizzo della FT CMRI si hanno: • Grandi campi di vista

• Alto CNR • Alto SNR

• Fornisce una valutazione dei volumi ventricolare ed atriale più accurata • La SSFP fornisce un buon contrasto

Limiti:

• La risoluzione temporale non coglie le brevissime fasi del ciclo cardiaco • La CMR non distingue le caratteristiche nel miocardio compatto dell’ LV

1.3.3

Feature Tracking in ecocardiografia

Una tecnica simile al FT, applicabile all’ecocardiografia, è lo Speckle Tracking Echocar-diography (STE). Tale tecnica è stata molto studiata perché si propone come una valida alternativa al Tissue Doppler Imaging (TDI), riuscendo a superare i limiti intrinseci di quest’ultima modalità di imaging. Il TDI, infatti, ha come "problematicità" il fatto che riesce a cogliere solo la deformazione dei tessuti che si avvicinano o si allontanano dalla sonda. La dipendenza del TDI dall’angolo richiede che il fascio di ultrasuoni sia paral-lelo alla direzione dello spostamento dei tessuti per riuscire a calcolare le velocità mio-cardiche e valutare i parametri di deformazione. Lo ST è applicato all’ecocardiografia, prima bidimensionale e poi, aggiungendo anche la terza componente, tridimensionale, così da offrire risultati ancora più interessanti. L’assunzione di base è quella secondo cui ogni tessuto del miocardio è caratterizzato da un unico pattern di speckles, derivan-te dalla distribuzione dei valori di livelli di grigio. Il tracciamento di quesderivan-te "macchie" (speckles) consente di misurare per tutti i pixel le componenti nel piano del vettore di velocità[10]. L’interferenza costruttiva e quella distruttiva delle singole sorgenti di scattering all’interno del miocardio fanno sì che si vada a delineare nell’immagine ad ultrasuoni una certa distribuzione spaziale dei valori di grigio. Quando si transisce da un tessuto ad un altro diverso si hanno delle riflessioni, che sono molto più piccole della lunghezza d’onda. Caratteristica peculiare dell’interferenza costruttiva è la gene-razione di un segnale con ampiezza elevata, a differenza di quella distruttiva che viene identificata da un segnale con ampiezza limitata. Notevoli vantaggi a favore di questa tecnica sono la possibilità di identificare il pattern di speckles anche in una posizione più lontana dal trasduttore e rilevare correttamente i punti, in quanto la velocità del tessuto miocardico (dell’ordine dei centimetri al secondo) è minore della velocità di propagazione delle onde sonore attraverso i tessuti ( circa 1530 m/s): il movimento del tessuto è quindi più lento di quello del fascio ultrasonico[11]. Contestualmente al-lo sviluppo dell’ecocardiografia, da 2D a 3D, si è assistito anche ad una costante ricerca di metodi per il calcolo dello strain. Tali metodi, in base al modo in cui lo spostamento

viene calcolato da una sequenza di immagini, possono essere suddivisi in tre categorie [12].

La prima categoria è rappresentata dagli algoritmi di block matching. Con a disposi-zione una finestra di ricerca di una certa dimensione, quello che si fa è di andare a ricercare nell’immagine successiva il pattern più simile. Tutto ciò è indipendente dal punto del ciclo cardiaco in cui ci si trova. Il concetto di "più simile" può essere trovato quantitativamente, utilizzando la cross-correlazione ad esempio. Questa metodologia è frequentemente implementata in molti sistemi commerciali. Pur se con opportune modifiche, ad avvicinarsi alle caratteristiche del block matching è il RadioFrequency tracking che, grazie alla capacità di valutare i piccoli spostamenti, sta attirando verso di sé un grande interesse, non supportato al tempo stesso dalla bassa risoluzione tem-porale dei sistemi commerciali e dai grandi spostamenti che si vengono a creare nella successione dei frames.

La seconda categoria è rappresentata dai metodi che si basano sul principio dell’optical flow, ovvero sulla conservazione della luminosità del pixel (l’argomento verrà trattato più avanti nel dettaglio). A caratterizzare l’optical flow ci pensano i piccoli spostamen-ti e il fatto che possa essere uspostamen-tilizzato localmente oppure globalmente. Per i grandi spostamenti si applica invece una ricorsione all’interno di uno schema piramidale di raffinamento.

La terza categoria invece comprende l’elastic image registration che consente di calco-lare in modo alternativo un denso campo di deformazione, scomponendo la deforma-zione cardiaca in un insieme di funzioni base, tipicamente B-splines. Con l’aggiunta di alcuni termini è possibile introdurre facilmente dei constraints che possono essere considerati come termini di penalità alla funzione di costo globale, come smoothness e incomprimibilità.

Figura 1.10: La figura rappresenta un esempio di studio dell’area di strain cal-colata utilizzando lo speckle tracking in un individuo sano (European Society of Cardiology).

2

|

Stato dell’arte

In questo capitolo verranno presentate alcune delle metodiche per l’analisi del movi-mento valvolare presenti fino a questo momovi-mento, cercando di fornire per ognuna di esse una possibile implementazione dal punto di vista algoritmico. Nella prime due brevi sezioni di questo capitolo verranno descritti i metodi del BM e dell’Elastic Ima-ge Registration, mentre, nell’ultima sezione, verrà riservata una particolare attenzione all’OF, analizzando alcune delle implementazioni disponibili ad oggi in letteratura.

2.1

Block Matching

Come esempio è stato preso in considerazione l’algoritmo implementato nella valu-tazione del MAPE (mitral annular plane excursion): un parametro alternativo per la valutazione della funzione miocardiale. Riflette la contrazione longitudinale e il rilas-samento delle miofibre[13].

Una regione di interesse i-esima (ROIi) è definita come una finestra 3×3 attorno ad una

certa posizione iniziale, precedentemente selezionata dall’operatore. Contemporanea-mente, è definita anche una regione di ricerca (ROS_i+1) nel frame successivo attorno alla ROIi. Nella così definita nuova ROSi+1, viene ricercata la finestra 3×3 che più si

avvicina alla precedente ROIi: questa verrà considerata essere la nuova ROIi+1. La

pro-cedura si ripete consecutivamente per tutti i frames. La ROSi+1 è definita attorno alla

precedente posizione del punto basale (ROIi) e le sue dimensioni dipendono dall’attuale

Tabella 2.1: ROI’s dimensions.

Physiological phase L[pixels] M[pixels] N[pixels]

Systole 2 5 3

Diastole 2 2 6

Plateau 2 3 3

Atrium contraction 2 2 4

Figura 2.1: L, M ed N definiscono le dimensioni della ROS_i+1 attorno alla ROI_i+1. La ROIi è centrata orizzontalmente nella ROSi+1ed L indica la distanza (in pixels) dal

centro della ROIi ai bordi verticali della ROSi+1. M ed N indicano la distanza (in

pi-xels) dal centro della ROIi ai bordi superiori ed inferiori della ROSi+1, rispettivamente

[13].

Sono state quindi proposte tre modalità per trovare la ROIi+1 all’interno della

ROS_i+1.

Il primo si basa sulle correlazioni, dove la ROI_i+1 è definita come l’area all’inter-no della ROSi+1 che massimizza il coefficiente di correlazione di Pearson (r) rispetto

alla ROI_i. Il coefficiente di correlazione di Pearson è definito come:

r=

P1

h=−1

P1

k=−1(Imgi+1(q0+ h, s0+ k) − Imgi+1)(Imgi(q + h, s + k) − Imgi)

Ç P1 h=−1 P1 k=−1(Imgi+1(q0+ h, s0+ k) − Imgi+1)2 P1 h=−1 P1 k=−1(Imgi(q + h, s + k) − Imgi)2 (2.1) Dove (q,s) e (q’,s’) sono le posizioni dei punti basali nei frames i ed i+1, ri-spettivamente. L’espressione è stata valutata per ogni (q’,s’) all’interno della ROSi+1.

I mg_i+1 e I mgi sono i valori medi dei pixels nella ROI candidata e nella ROI corrente,

rispettivamente.

Dopodiché, il seguente problema di ottimizzazione è definito per ogni frame: (q0_{, s}0₎

opt imal= max(q0,s0₎r (2.2)

Dove (q’,s’)_optimal è la posizione all’interno della ROSi+1 che massimizza la

corre-lazione tra la finestra 3×3 attorno a (q’,s’) e la ROIi. Risolvendo questo problema di

ottimizzazione per ogni frame, si ottiene una serie di posizioni (q’_i,s’_i)_optimal. Questa serie è il MAPE.

La seconda modalità per ottenere il MAPE è la Somma delle Differenze Assolute (SAD). Secondo questo criterio, la nuova ROI_i+1è centrata attorno alla posizione (q’,s’) che risolve il seguente problema di ottimizzazione:

(q0_{, s}0₎ opt = min(q0,s0₎θ(q0, s0)· 1 X h=−1 1 X k=−1  I mg_i+1(q0+ h, s0+ k) − Img_i(q + h, s + k)   (2.3) Questo problema di ottimizzazione è poi risolto per ogni frame, come nel ca-so del criterio delle correlazioni, ed il MAPE è ottenuto come una serie di posizioni (q0_{, s}0₎

opt imal · θ (q0, s0). θ(q’,s’) è un parametro che funge da peso, definito per

è la corrente fase fisiologica. Un’altra modalità conosciuta per il matching dei templates è la Somma delle Differenze Quadrate (SSD), che è definita similmente alla SAD:

(q0_{, s}0₎ opt = min(q0,s0₎θ(q0, s0)· 1 X h=−1 1 X k=−1 (Imgi+1(q0+h, s0+ k)− Imgi(q +h, s + k))2 (2.4)

2.2

Elastic Image Registration

Henri De Veene et al., nel loro studio, si sono proposti di valutare una strategia alter-nativa al tracking manuale dell’annulus mitrale nelle immagini ecografiche 3D, usando una registrazione non rigida delle immagini, e valutando la sua efficacia nell’analisi delle dinamiche dell’annulus sia nei casi di valvole normali che in quelli di valvole pa-tologiche[14]. I metodi di registrazione non-rigida delle immagini sfruttano tecniche di warping (deformazione) per stimare il movimento tra immagini in una sequenza. In particolare, l’attenzione è stata posta sui modelli di deformazione con una forma arbitraria, dove lo spostamento è modellato usando funzioni di base smooth. In bre-ve, lo spostamento u_F→M di un punto r= [x, y, z] tra due immagini successive di una sequenza, con IF (immagine fissa) e IM (immagine mobile), è stato modellato con un

prodotto tensoriale B-spline del terzo ordine:

u_F→M(r) =X i∈Ni X j∈Nj X k∈Nk µi jk Y ξ∈{x,y,z} β3 ξ( ξ − κi jk ξ σξ ) (2.5)

conκ_ξi jkeσ_ξla posizione e lo spacing del punto di controllo rispettivamente, ed N_ξ l’in-sieme dei punti di controllo all’interno del supporto completo N della B-spline β_ξ con

ξ ∈ {x, y, z}. Il campo di spostamento ottimale è stato poi trovato ottimizzando

iterati-vamente una funzione di costo C costituita da una metrica di somiglianza dell’immagine S ed un termine di regolarizzazione R, ponderato dal parametro ω. In pratica, sono state utilizzate rispettivamente la somma delle differenze quadrate ed una penalità di

smoothness: C(I_F, IM;µ) = S(IF, IM;µ) + ωR(µ) (2.6) S= 1 nX[IF(r) − IM(T(r))] 2 _(2.7) R= 1 n X r∈IF ∂2_T(r) ∂ r∂ rT 2 F (2.8) con n che rappresenta il numero dei punti r nell’immagine I_F. E’ stata inoltre adottata una strategia multirisoluzione in cui la complessità del modello è stata aumentata gra-dualmente in tre steps, con a disposizione una griglia di spacing per ogni risoluzione. I campi di spostamento tra frames ottenuti sono stati utilizzati per propagare i punti, catturati manualmente nel primo frame pr e f_{(i, 1), sul resto del ciclo cardiaco, portando}

ad un insieme di punti pi r_{(i, f ) tracciati con la registrazione delle immagini (ir).}

Figura 2.2: Disegno schematico per indicare: (a) l’orientazione e le viste per tracciare manualmente il contorno della valvola mitrale; (b) la definizione dei parametri clinici utilizzati per valutare l’algoritmo di tracking. Abbreviazioni: A-P=antero-posteriore; M-L=medio-laterale [14].

Figura 2.3: Esempio di dataset ecografico in cui pr e f_{(i, 1) (in verde) sono i punti}

trac-ciati manualmente, collocati nei piani di taglio ortogonali all’asse lungo (circa 20°),

pi r_{(i, f ) (in rosso) sono i punti tracciati automaticamente, p}i r

spl ine(i, f ) (in bianco) è

una spline 3D cubica ottenuta attraverso il tracciamento automatico dei punti[14].

2.3

Optical Flow

Horn e Schunck furono i primi ad introdurre il calcolo con l’OF (Optical Flow) [15]. Tale tecnica, considerata un caposaldo nella machine vision, individua, all’interno di una sequenza di immagini, il movimento dei patterns di luminosità. Ci sono diver-si metodi per il calcolo dell’OF (come quelli differenziali, energy-based, phase-based) ma quasi tutti sembrano accomunati dal fatto che ogni regione, seppur in movimento, mantenga costante la sua intensità anche nei frames successivi a quello di partenza. Anche se associati all’oggetto ci sono dei movimenti, e anche se le condizioni di lumi-nosità cambiano nell’immagine, il principio fondamentale rimane quello che l’intensità di un insieme di pixel si preserva tra i tempi t e t+∆t, seppure con l’introduzione di qualche errore. Le immagini ecocardiografiche infatti, rappresentando quello che è un organo complesso come il cuore, a cui vengono associati movimenti non semplici co-me traslazione, rotazione, contrazione ed espansione, potrebbero avere al loro interno l’aggiunta o la rimozione di alcuni pixels nei frames successivi. Tenendo conto però di queste possibili variazioni di intensità, introdotte anche dallo speckle noise (tipico dell’ecocardiografia), si potrebbe giungere ad una più precisa e meno erronea stima del

movimento[16]. Come detto precedentemente, l’OF può essere stimato in molti modi differenti, alcuni dei quali richiedono molti frames, mentre altri solo due. La scelta di utilizzarne uno rispetto agli altri è soggettiva e dettata dalle necessità del momento, ma, tra i vari metodi, quello phase-based dispone di alcuni tratti di specificità che lo rendono migliore degli altri. Principalmente le motivazioni sono tre:

1. Il sistema di visione umano sembrerebbe fare uso della fase locale.

2. L’informazione di fase risulta essere più adatta alla ricostruzione di un’immagine rispetto a quella di ampiezza.

3. Tale metodica risulta essere in minima parte affetta dai cambiamenti delle condizioni di luminosità.

Ciò che rende l’uso del phase-based limitante è che la fase deve essere orientata. I filtri di quadratura classici infatti hanno una orientazione predefinita nella quale la stima della fase è corretta ma allontanandosi da essa l’errore di fase cresce. Utilizzando invece un approccio basato sulla fase monogenica, è possibile calcolare la fase locale per tutte le orientazioni[17].

2.3.1

Ivana Mikic et al.

Già a partire dalla seconda metà degli anni ’90, Ivana Mikic et al. presentarono un al-goritmo, originariamente sviluppato per la segmentazione ed il tracking dei lembi della valvola mitrale in una sequenza di immagini ultrasoniche e poi esteso ad altre strut-ture cardiache[18]. Tale algoritmo si basa su una struttura a contorni attivi: richiede un iniziale posizionamento del contorno vicino alla posizione desiderata nell’immagi-ne. I contorni attivi, o snakes, rappresentano un caso speciale di modelli deformabili multidimensionali, ovvero un approccio di ricerca model-based attivo per l’analisi delle immagini mediche. Infatti, vengono calcolate la migliore forma del contorno e la sua posizione, assumendo che tale configurazione, associata al contorno, rappresenti il mi-nimo di una funzione globale di energia. Quella che è stata presentata è una tecnica

che fonde l’informazione sulla velocità del pixel (OF) con la stima del contorno iniziale, per rendere possibile il tracking di oggetti dal rapido movimento. Il campo OF rappre-senta quindi la distribuzione delle velocità dei pixels in una sequenza di immagini. I metodi per la stima dell’OF di solito cercano di trovare il migliore "match" tra piccole regioni di immagine in due frames consecutivi. Si assume che il punto si sia spostato nella locazione del migliore match e il corrispondente spostamento viene identificato con il vettore OF. A causa del ben conosciuto problema dell’apertura (come nelle Figure 2.4 e 2.5), molti approcci possono ricavare solo la componente del flusso normale ai bordi dell’intensità.

Figura 2.4: Questo esempio illustra il problema delle stime OF del lembo della valvola mitrale nella fase di apertura[18].

La stima completa dell’OF può essere calcolata propagando l’informazione dalle regioni che non soffrono del problema dell’apertura, come gli spigoli. L’algoritmo di stima dell’OF si compone di due steps. Nel primo step, viene creata una piccola finestra

W_pdi dimensioni(2n+1)(2n+1) attorno ad un pixel (x, y) nel primo frame (in questo caso viene adottato n = 1). Allo stesso modo, anche nel secondo frame si viene a formare un’area di ricerca W_s di dimensioni (2N + 1)(2N + 1) attorno alla posizione (x, y). La dimensione di Ws dipende dallo spostamento massimo assunto dei pixels tra

due frames successivi (in questo caso viene adottato N=2). La correlazione tra i valori dei pixels in Wp e tale finestra attorno ad ogni pixel in Ws forniscono una misura di

Figura 2.5: Frames caratteristici che mostrano il tracking del lembo sinistro della valvola mitrale. E’ necessaria una correzione manuale[18].

similarità. Questa misura di similarità può essere utilizzata come funzione di massa di probabilità con un determinato valore in ogni posizione di Ws, rappresentante la

verosimiglianza del corrispondente spostamento. Per confrontare due zone di pixels, si può usare la somma delle differenze quadrate (SSD)

E_c(u, v) = n X i=−n n X j=−n [I(x + i, y + j, t) − I(x + u + i, y + v + j, t)]2_{,−N ≤ u, v ≤ N (2.9)}

e la funzione di massa di probabilità

R_c(u, v) = c−kEc(u,v) _(2.10) con k scelto in modo tale che la risposta minima sia il più vicino possibile a zero. Avendo definito la funzione di massa di probabilità, si può così calcolare il valore della velocità

U_cc= (u_cc, v_cc): u_cc= PN u=−N PN v=−NRc(u, v)u PN u=−N PN v=−NRc(u, v) (2.11) v_cc= PN u=−N PN v=−NRc(u, v)v PN u=−N PN v=−NRc(u, v) (2.12)

La corrispondente matrice di covarianza e l’errore associato possono essere espressi come (U − Ucc)TScc−1(U − Ucc) (2.13) con S_cc=   PN u=−N PN v=−NRc(u,v)(u−ucc)2 PN u=−N PN v=−NRc(u,v) PN u=−N PN v=−NRc(u,v)(u−ucc)(v−vcc) PN u=−N PN v=−NRc(u,v) PN u=−N PN v=−NRc(u,v)(u−ucc)(v−vcc) PN u=−N PN v=−NRc(u,v) PN u=−N PN v=−NRc(u,v)(v−vcc)2 PN u=−N PN v=−NRc(u,v)   (2.14) Nel secondo step dell’algoritmo, le stime della velocità sono raffinate dall’uso dell’infor-mazione del vicinato. Le stime di velocità per i pixels vicini possono essere considerate come misure della vera velocità del pixel centrale. Non essendo possibile realizzare tutte queste misure, risulta più verosimile che le velocità dei pixels più vicini a quello centrale siano molto simili, diversamente da quelli più lontani. E’ per questo motivo che vengono introdotti dei pesi che tengano conto della distanza dal pixel centrale (si utilizza una maschera 2D Gaussiana in una finestra Wpdi dimensione(2ω+1)(2ω+1),

conω = 1). Questi pesi possono essere interpretati come funzione di massa di proba-bilità Rn(ui, vi) (i è un indice per identificare i pixels in Wp) in uno spazio uv. Ora, la

stima della velocità ¯U = (¯u, ¯v) per il pixel centrale può essere calcolata come

¯ u= P xi∈WpRn(ui, vi)ui P xi∈WpRn(ui, vi) (2.15) ¯ u= P xi∈WpRn(ui, vi)vi P xi∈WpRn(ui, vi) (2.16) la corrispondente matrice di covarianza e l’errore associato come

(U − ¯U)T_S−1 n (U − ¯U) (2.17) S_n=   P xi ∈WpRn(ui,vi)(ui−¯u)2 P xi ∈WpRn(ui,vi) P xi ∈WpRn(ui,vi)(ui−¯u)(vi−¯v) P xi ∈WpRn(ui,vi) P xi ∈WpRn(ui,vi)(ui−¯u)(vi−¯v) P xi ∈WpRn(ui,vi) P xi ∈WpRn(ui,vi)(vi−¯v)2 P xi ∈WpRn(ui,vi)   (2.18)

2.3.2

Veronesi et al.

Nel 2006, Veronesi et al. hanno sviluppato un algoritmo basato su tecniche di OF per seguire la posizione dell’annulus mitrale nello spazio 3D all’interno del ciclo cardiaco [19]. Il tracking dei punti iniziali è stato realizzato utilizzando una tecnica OF a due steps. Dapprima, è stato applicato un algoritmo OF Lucas Kanade. Esso si basa sul-l’assunzione che la luminosità I(x, t) nell’immagine si conserva durante il movimento:

dI(x, t)

dt = 0 (2.19)

Per valutare il campo di velocità v tra due frames, è stata adottata una minimizzazione pesata ai minimi quadrati della seguente funzione:

X

x∈Ω

W2(x)[OI(x, t) · v + I_t(x, t)]2 (2.20) dove i termini all’interno delle parentesi quadrate sono ottenute separando le derivate in 2.19, Ω è il dominio che contiene l’intorno di x (il punto iniziale che deve essere tracciato) e W(x) è una finestra, che conferisce maggiore importanza ai termini centrali piuttosto che a quelli periferici. La soluzione della minimizzazione di 2.20 è ottenuta isolando v nella forma matriciale:

v= [ATW2A]−1ATW2b, (2.21) dove

A= [OI(x_i), ..., OI(x_λ)], W = diag[W(x₁), ..., W(x_λ)],

b= −(It(x1), ..., It(xλ))T.

Una volta che si conosce la velocità, lo spostamento del punto di interesse viene cal-colato come dLK = v∆t, e la posizione del punto x nel frame successivo è data da:

dove le parentesi quadrate significano che si sta attuando un’approssimazione di ar-rotondamento medio. Come secondo step, viene applicato un algoritmo di BM per valutare l’esatta posizione di x nel frame successivo (x_t+1).

2.3.3

Schneider et al.

Per riuscire ad operare il tracking della valvola mitrale, anche quando la valvola si apre, Schneider at al. hanno utilizzato una variazione dell’algoritmo di Lucas Kanade, cercando di incorporare all’interno della formulazione anche l’informazione della forma [20]. L’algoritmo di Lucas Kanade, come detto precedentemente, si basa sull’assunzione che l’intensità per una locazione del target cambi di poco da un frame all’altro, ed è formulato in maniera tale da poter minimizzare

E =X

x∈R

[F(x + h) − G(x)]2 _(2.23)

che è la somma delle differenze quadrate per una piccola finestra R, spostata di h nel-l’immagine F relativamente alnel-l’immagine G. Volendo tracciare solo l’annulus da un frame al frame successivo, ci si riferisce allo spostamento del punto i lungo il contorno dell’annulus con h_i = [h_i1, hi2, hi3]T. Sapendo inoltre che hi dovrebbe esibire piccole

deviazioni locali, in aggiunta al voler minimizzare il cambiamento di una finestra at-torno ad un punto, hanno cercato di limitare anche il suo movimento rispettivamente a quello dei punti vicini. Le deviazioni locali nello spostamento dell’annulus vengono quantificate come ∂2hi

∂ s2. L’obiettivo è quello di minimizzare per ogni punto E_i =X x∈R W(c)[F(x + h_i) − G(x)]2+ α(∂ 2_h i ∂ s2 ) T₍∂ 2_h i ∂ s2 ) (2.24)

rispettivamente ad h_i, dove α è un peso scalare. La posizione lungo il contorno del-l’annulus è parametrizzato da s. Nell’implementazione, sono stati tracciati N punti equispaziati lungo il contorno, con i∈ {1, ..., N }. La funzione peso

W(x) = PkOΩ(x)k

x∈RkOΩ(x)k

è disegnata per dare maggiore importanza alle regioni che si trovano ad una grandezza di gradiente alta, dove Ω si riferisce all’intensità del volume ultrasonico. Per trovare

h_i, prima si devono approssimare le derivate del primo ordine di F e le derivate del secondo ordine di h come

∂ F(x) ∂ x ≈ F(x + h_i) − F x h_i (2.26) ∂2_h i ∂ s2 ≈ h_i−1− 2hi+ hi+1 ∆s2 (2.27) dove_{∂ x}∂ = [_{∂ x}∂ 1, ∂ ∂ x2, ∂

∂ x3]. Sostituendo 2.26 e 2.27 in 2.24, si ottiene 2.28 come funzione

da minimizzare. Settando ∂ Ei

∂ hi = 0 ed estraendo hi si ottiene 2.29, dove I3 è la matrice identità 3x3. E_i =X x∈R W(x)[F(x) + h_i∂ F(x) ∂ x − G(x)] 2_{+ α(}hi−1− 2hi+ hi+1 ∆s2 ) T₍hi−1− 2hi+ hi+1 ∆s2 ) (2.28) h_i= [X x∈R (∂ F(x) ∂ x ) T W(x)(G(x)−F(x))+ 2α ∆s4(hi−1+hi+1)]×[ X x∈R (∂ F(x) ∂ x ) T W(x)(∂ F(x) ∂ x )+ 4α ∆s4I3] −1 (2.29) h_i= [X x∈R (∂ F(x0) ∂ x ) T_{W(x)(G(x)−F(x}0₎₎₊ 2α ∆s4(h k i−1+h k i+1)]×[ X x∈R (∂ F(x0) ∂ x ) T_W(x)(∂ F(x0) ∂ x )+ 4α ∆s4I3] −1 (2.30) La soluzione di h_i è dipendente da h_i−1 e da h_i+1, ed è per questo motivo che si arriva a hi operando iterativamente 2.30, dove h0i = 0 e x0= x + h

k

i. L’annulus tracciato, che

è stato ricavato frame a frame, viene poi interpolato (interpolazione spline) per creare un contorno continuo nello spazio.

2.3.4

Sultan et al.

Nel 2017, Sultan et al. hanno lavorato alla segmentazione e al tracking dei lembi della mitrale anteriore, così da poter avere un modo per quantificare le anomalie morfolo-giche della valvola [21].Quello che è stato proposto nel loro lavoro è l’integrazione

dell’OF alla tecnica dei contorni attivi. Il modello a contorni attivi, conosciuto anche come snakes, usa curve parametriche V(S) = (x(s), y(S))T_{, S∈ [0, 1] che si deformano}

in seguito alle forze dell’immagine, limitate dai constraints della forma. L’energia totale del modello snake consiste di una combinazione di energia interna ed esterna, come si può vedere in 2.31. Z 1 0  1 2  α ∂ V ∂ S 2 + β ∂2_V ∂ S2 2 + Ee x t(V )  ds (2.31)

L’energia interna (rappresentata nella formula dalla parentesi quadra) è responsabile di mantenere le predefinite elasticità (primo termine) e rigidezza (secondo termine) della curva parametrica. I parametri α e β permettono di controllare la forza elastica e la forza di flessione, rispettivamente. L’energia esterna è derivata dall’immagine ed attira il contorno verso i bordi (minimi locali), l’intensità (strutture luminose) o altri elementi visivi estratti. La ricerca di una soluzione significa trasformare il problema in uno di minimizzazione energetica. L’equazione finale del modello snake è data da 2.32. α∂ 2_V ∂ S2 − β ∂4_V ∂ S4 − OEe x t.= 0 (2.32)

Per quanto concerne l’energia interna, l’elasticità e la rigidezza sono controllate come in uno snake classico. L’energia esterna è divisa in due componenti principali: l’energia dell’immagine e quella del movimento, come si vede in 2.33.

E_{e x t.}= E_{ima g e}+ E_{mot ion} (2.33) L’energia dell’immagine consiste di tre termini: l’energia della linea e del bordo ot-tenute attraverso la Differenza di Gauss, e l’energia corner di Harris, che incoraggia continuamente il punto finale del contorno a seguire l’estremità della valvola.

E_{ima g e}= w_{har r is}E_{har r is}− wDoG_l ineEDoG_l ine+ wDoG_ed g eEDoG_ed g e (2.34)

L’energia di movimento quantifica l’energia dello spostamento dell’immagine per riu-scire a superare le limitazioni dei lavori precedenti. Ed è proprio a questo scopo che

interviene l’OF, il quale viene integrato nell’energia esterna del classico modello di snake come un’energia dinamica.

E_{mot ion}= w_{opt ical}_ f l owEopt ical_ f l ow (2.35)

I metodi OF, che cercano di quantificare il movimento dei patterns di luminosità in una sequenza di immagini, possono essere suddivisi in metodi locali, come quello di Lucas-Kanade, e metodi globali, come Horn-Schunck. In questo studio di ricerca ad essere selezionato è stato quello di Lucas-Kanade, che secondo la letteratura è il metodo di OF più interessante dal punto di vista costo-beneficio. In particolare, è stato utilizza-to un approccio di raffinamenutilizza-to di Lucas-Kanade, così da inseguire sia i piccoli che i grandi spostamenti con accuratezza. Ciò consiste nel creare multiple copie della stessa immagine ma con differenti risoluzioni. Ad ogni livello, la risoluzione viene ridotta di 1/4 della dimensione rispetto al livello precedente (2.36).

g_L(x, y) = 2 X m=−2 2 X n=−2 w(m, n)g_L−1(2x + m, 2y + n) (2.36) La maschera 2D w di dimensione 5x5 vine convoluta con l’immagine g al livello L-1, per ottenere l’immagine a bassa risoluzione al livello L. Lo step di pre-filtraggio nella costruzione a piramide gioca un ruolo fondamentale per la stima dell’OF. Per ricavare il vero OF in questo approccio, prima questo viene calcolato al livello più alto (L3). Dal momento che il movimento risulta ridotto nel livello più alto (L3) a causa della bassa risoluzione, l’OF stimato è più facile da calcolare, fornendo più strutture all’in-terno dell’immagine. Il flusso ottenuto al precedente livello (L3) è usato come ipotesi per ottenere il flusso nel livello successivo (L2). Questo livello (L2) dovrebbe avere una risoluzione doppia rispetto a quella dell’ultimo livello (L3). Usando un’interpola-zione bilineare si ottiene così l’OF in quel livello. A questo punto, si hanno i vettori di movimento per ogni pixel che ci forniscono lo spostamento in relazione al frame prece-dente. L’obiettivo è quello di integrare questa informazione (spostamento e direzione) nel classico modello di snake. I vettori di movimento vengono quindi aggiunti come forza di spostamento in un’energia esterna che spinge i punti del contorno verso la vera

energia dell’immagine, fino a quando non vengono intrappolati in un minimo locale. In altre parole, l’OF viene utilizzata come una forza di spostamento che spinge le curve

Figura 2.6: Vettori di movimento dell’OF (Lucas-Kanade). Ultimo frame in verde, frame presente in Magenta[21].

verso il minimo locale. La forma iterativa del modello di snake classico modificato è mostrata in 2.36 e 2.37. OEe x t =   ∂ Eima g e ∂ x ∂ Eima g e ∂ x  +   ∂ Eima g e ∂ u ∂ Eima g e ∂ v  =   f_x f_y  +   f_u f_v   (2.37) X_t= (A + γI)−1(γX_t−1− fx(Xt−1, Yt−1) + fu(X t − 1, Yt−1) Y_t = (A + γI)−1(γY_t−1− fy(Xt−1, Yt−1) + fv(X t − 1, Yt−1) (2.38) Dove, I è la matrice identità, γ è la dimensione del passo ed A è la matrice dei coef-ficienti. La prima parte dell’equazione(A + γI)−1 impone i constraints interni, mentre l’altra parte attira il contorno verso l’energia dell’immagine.

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Materiali e Metodi

In questo capitolo verranno presentati i vari passaggi che sono stati ideati per poter rea-lizzare un algoritmo di tracking, che fosse in grado di seguire il movimento dell’annulus della valvola mitrale. Di seguito il diagramma di flusso rappresentante le varie fasi della messa a punto dell’algoritmo. L’implementazione è stata realizzata in ambiente Matlab, versione R2018b.

3.1

Segnale monogenico ed Optical Flow

Il segnale monogenico è stato introdotto da Felsberg come un’estensione del concetto del segnale analitico in uno spazio multidimensionale. Il segnale analitico, servendosi della trasformata di Hilbert moltiplicata per l’unità immaginaria e sommata al segnale di partenza, associa ad ogni valore reale del segnale di partenza un valore comples-so. Esso consente di separare le informazioni strutturale ed energetica contenute in un segnale monodimensionale: la sua proprietà fondamentale, infatti, è la divisione di identità. Ciò significa che, per descrivere il segnale nella sua rappresentazione po-lare, bisogna disporre del modulo del segnale complesso, identificato da una misura locale quantitativa chiamata ampiezza locale, e dell’argomento del segnale complesso, identificato da una misura locale per l’informazione qualitativa chiamata fase locale. L’ampiezza locale e la fase locale soddisfano le proprietà di invarianza ed equivarianza. Questo vuol dire che la fase locale è invariante rispetto all’energia locale del segnale ma cambia se la struttura locale varia (fornisce informazioni sulla presenza di features

caratteristiche, ad esempio steps, edges, valli). L’ampiezza locale è invariante rispetto alla struttura locale ma rappresenta l’energia locale [22]. Quando si parla di

segna-le monogenico, questo, oltre a possedere ampiezza locale e fase locale, contiene anche informazioni sull’orientazione locale. Se così non fosse, la stima di fase locale e quella di ampiezza locale risulterebbero affette da un errore sistematico dipendente dall’an-golo tra la direzione considerata e la direzione del segnale, in quanto la fase locale è una misura monodimensionale, che quindi non possiede al suo interno informazioni su strutture bidimensionali. Degno di nota è il fatto che queste tre caratteristiche siano tra loro ortogonali punto per punto: ognuna, quindi, rappresenta un certo tipo di infor-mazione ed è indipendente dalle altre. L’ampiezza locale, infatti, rappresenta l’intensità locale o le dinamiche, la fase locale descrive la simmetria locale o la transizione dei valori di grigio, mentre l’orientazione locale indica la direzione della più alta varianza del segnale. Per semplicità di trattazione verrà riportato il caso bidimensionale, anche se è possibile estendere il tutto anche al caso tridimensionale.

Nel phase-based processing quello che viene adottato come modello dell’immagine è:

I(x) = A(x)cos(ϕ(x)) (3.1) dove x = [x, y] rappresenta il vettore delle coordinate spaziale, A(x) è l’ampiezza

locale e ϕ(x) è la fase locale. Trattandosi di un segnale monogenico, come detto precedentemente, si va ad aggiungere una ulteriore dimensione intrinseca definita dall’orientazione locale θ(x) dove si concentrano le variazioni locali di I. Il problema che si pone a questo punto è quindi quello di come poter calcolare tali caratteristiche. A tale scopo risulta fondamentale poter disporre di tre filtri 2D a quadratura sferica (SQF). Uno di questi è un filtro passabanda invariante pari b_e(x; λ0), mentre gli altri

due sono dei filtri passabanda dispari bo1(x; λ0) e bo2(x; λ0) (λ0è la lunghezza d’onda

del filtro). Le risposte a tali filtri sono indispensabili per poter calcolare le caratteristi-che del segnale monogenico citate precedentemente.

Ottenute tali caratteristiche, è stato dimostrato che è possibile calcolare localmente lo spostamento assumendo la conservazione della fase monogenica, invece della

tradizio-nale luminosità del pixel. Si riesce così a derivare una semplice formula per misurare gli spostamenti orientati tra due immagini, alle quali verrà poi applicato un approccio multiscala per la stima dell’OF. Particolarmente rilevante è il fatto che non si conosca a priori la direzione dello spostamento e quindi quelle che si vanno a mostrare sono le stime pure[23].

3.2

Calcolo Segnale Monogenico

3.2.1

Filtri di Quadratura

Una volta scelto il filtro pari tra le varie famiglie di filtri disponibili (LogGabor, Cauchy, Poisson, Difference of Poisson. . . ), quelli dispari vengono calcolati direttamente dalla sua trasformata di Riesz (estensione della trasformata di Hillbert). Si ottengono così

b_o1 e bo2 che derivano rispettivamente dalla trasformata di Riesz lungo x e lungo y. In

frequenza si hanno quindi:

B_o1(ω) = −jω_|ω|xBe(ω), Bo2(ω) = −

jωy

|ω|Be(ω) (3.2)

dove le lettere maiuscole stanno ad identificare la trasformata di Fourier delle quantità considerate, mentreω = [ωx,ωy] è la frequenza angolare normalizzata.

Le tre risposte derivanti dal filtraggio dell’immagine (come si vede in 3.2) sono: • p(x) = (I ∗ b_e)(x) è la risposta al filtro pari

• q1(x) = (I ∗ bo1)(x) è la risposta al filtro dispari bo1

• q₂(x) = (I ∗ b_o2)(x) è la risposta al filtro dispari b_o2

q(x)= [q1(x), q2(x)]T è quindi il vettore delle risposte dispari, mentre "*"

rappresen-ta l’operatore di convoluzione 2D [23]. Per facilitare l’implementazione Matlab, per quanto riguarda il filtraggio nel caso bidimensionale è stata scelta una rappresentazio-ne complessa che terappresentazio-nesse conto di quello dispari lungo x e lungo y, invece di considerare