Universit`a dell’Aquila - Ingegneria Civile e Ambientale III Parziale di Fisica Generale II - 19/12/2014
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Problema 1
Due fili conduttori sono disposti su un piano ver-ticale e distanti d. Tra di loro ´e fissata una spira rettangolare di resistenza R, il cui lato orizzontale inferiore ha massa M ed e’ libero di scorrere sui due lati verticali ma solamente verso l’alto. Nel filo su-periore passa una corrente I1e nel filo inferiore passa
una corrente I2 =kt. a) Calcolare l’espressione del
campo di induzione magnetica in un punto generico della spira in funzione del tempo (con direzione e verso) ed il suo valore sul lato orizzontale inferiore della spira a t=0 (2 punti).
b) Calcolare l’espressione del flusso del vettore campo di induzione magnetica B concatenato dalla spira in funzione del tempo per t > 0 ed il valore della forza elettromotrice indotta (3 punti) c) Trascurando il contributo di autoinduzione, determinare il valore ed il verso della corrente indotta che scorre nella spira. (2 punti) d) Trascurando il contributo di autoin-duzione, calcolare dopo quanto tempo, a partire da t=0, il lato inferiore della spira cominicia a sollevarsi (3 punti).
(Dati: d = 1m, R = 1 mΩ, h = 20cm, l=40cm, a= 30cm, I1 = 10 A, k = 3 kA/s, M = 5mg.)
SOLUZIONE
a) Il campo magnetico ´e dato dalla somma dei contributi dei due fili ed ´e perpendicolare al piano della spira ed entrante per entrambi i fili. Prendendo l’origine del’ asse y sul filo I1,
per h < y < (h+a):
B = µ0I1 2πy +
µ0kt
2π(d − y) per cui B sul lato orizzontale inferiore della spira a t=0 vale:
B = µ0I1
2π(h + a) = 4µT
b) Il flusso del campo magnetico concatenato dalla spira ´e dato da: ΦB = Z h+a h µ0I1ldy 2πy + Z d−h d−(h+a) µ0I2ldy0 2πy0 ΦB= µ0I1l 2π ln h + a h +µ0ktl 2π ln d − h d − (h + a) e quindi per la forza elettromotrice:
V = µ0kl 2π ln(
d − h
d − (h + a)) = 0.11mV
c) La forza elettromotrice indotta dalla variazione nel tempo del campo B (e di conseguenza del flusso concatenato) ´e tale da indurre una corrente che deve opporsi all’aumento del flusso e quindi generare un campo uscente dal piano della spira. Quindi il verso della corrente ´e antiorario. Iind= V R = − 1 R dΦ dt = µ0kl 2Rπln( d − h d − (h + a)) = 0.11A
d) La forza sul lato orizzontale inferiore della spira ´e diretta verso il filo I1 ed ´e data da:
F = IB(x = h + a)l = Iindl
h µ0I1 2π(h + a) +
µ0kt
2πd − (h + a) i
La barra inizia a sollevarsi quando la forza magnetica eguaglia la forza peso: Fg = M g. Da
questa condizione si pu´o ricavare il tempo t cercato: F = IlB = (µ0l 2π) 2k Rln( d − h d − (h + a)) I1 h + a + kt d − (h + a) = M g da cui t: t = d − (h + a) k n M ghµ0l 2π 2k Rln d − h d − (h + a) i−1 − I1 h + a o t = 0.14s 2
