Funzioni Continue

Prof. Chirizzi Marco

CAPITOLO III

Funzioni continue

3.1 Definizione di funzione continua in un punto ed in un

intervallo

Sia f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso

[

]

appartenente a questo intervallo. La funzione f(x) si dice continua nel punto x se esiste il suo ₀

limite, per x tendente ad x , ed è uguale al valore che essa assume nel punto ₀ x . In formula si ha: ₀

_lim ( ) ( ₀) 0 x f x f x x = → ( 3.1 )

Per la definizione di limite di una funzione, possiamo dire che la ( 3.1 ) ha il seguente significato: per ogni numero positivo ε , arbitrariamente piccolo, esiste un numero positivo δ , tale che per ogni

x appartenente all’intorno

]

[

ε < − ( ) ) (x f x₀ f Se si verifica il limite: ) ( ) ( ₀ lim 0 x f x f x x = + →

si dice che la funzione f(x) è continua a destra del punto x ; mentre, se si verifica il limite: ₀

) ( ) ( ₀ lim 0 x f x f x x = − →

si dice che la funzione f(x) è continua a sinistra del punto x . ₀

Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti, segue il seguente teorema:

Se due funzioni sono continue in un punto x , è continua in tale punto anche la loro somma, la loro ₀ differenza, il loro prodotto, il loro quoziente, ammesso in quest’ultimo caso che il denominatore non si annulli nel punto x . ₀

Il calcolo del limite _lim ( ) 0 x f x x→

è immediato se la funzione f(x) risulta essere continua nel punto

0

x , in quanto sappiamo che vale il seguente risultato:

) ( ) ( ₀ lim 0 x f x f x x = →

In definitiva, per calcolare il limite di una funzione continua in un punto x , per x tendente ad ₀ x , ₀

basta sostituire alla variabile x il valore x . ₀

Esempi di funzioni continue

1) Una funzione f(x) di valore costante C è continua in tutti i punti.

Infatti, si ha:

C x f( )= Vogliamo verificare che esiste il limite _lim ( )

0 x f

x x→

ed è uguale a f(x₀)=C qualunque sia il punto 0

x . Verificare ciò significa studiare la seguente disequazione:

( 3.2 )

con ε >0, arbitrariamente piccolo. Sappiamo che f(x)=C per ogni x reale, quindi si ha: 0

) (x −C= f

e la ( 3.2 ) è soddisfatta in qualsiasi punto.

2) La variabile x è continua in qualsiasi punto.

Bisogna far vedere che risulta:

0 lim 0 x x x x = →

Infatti, fissato ε >0, arbitrariamente piccolo, la disequazione:

ε

< −x0

x

è soddisfatta per ogni x appartenente all’intervallo

]

[

Consideriamo ora la seguente funzione:

n

x x f( )=

con n numero intero e positivo. Questa funzione possiamo scriverla anche nel seguente modo: f(x)= x⋅x⋅x⋅x⋅x⋅x⋅...⋅x (nvolte) ( 3.3 ) Questa funzione è continua in qualsiasi punto, perché prodotto di n funzioni continue.

ε

< −C x f( )

Anche la funzione f(x)=C⋅xn è continua, in quanto la funzione di costante valore C e la funzione x sono continue, per cui lo è anche il loro prodotto. La funzione: n

f(x)=C₀⋅xn+C₁⋅xn−1+C₂⋅xn−2+...+C_n−1⋅x+C_n ( 3.4 ) è continua per ogni x , perché somma di funzioni continue.

Le funzioni del tipo ( 3.4 ) prendono il nome di funzioni razionali intere. Ne segue che ogni funzione razionale fratta:

m m m m n n n n K x K x K x K C x C x C x C x f + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ = − − − − 1 1 1 0 1 1 1 0 . . . . . . ) ( ( 3.5 )

è continua per ogni valore della x che non annulla il denominatore, perché quoziente di due funzioni continue.

Si dimostra, inoltre, che sono continue anche le seguenti funzioni:

. : , , , . ) 1 , 0 ( , log ) ( ; 0 , ) ( ); , 2 , cos ( cos ) ( ; , cos ) ( , ) ( 0 0 lim 0 n n x x n a x x x risulta x negativo non numero il sia qualunque cioè x della negativo non valore ogni per x y x della positivo valore ogni per a a x x s a con a x o significat ha non tgx la quali i per di dispari multipli i cioè eno il annulla si cui in punti i esclusi x senx x h x ogni per x x g x sen x f = = ≠ > = > = = = = → λ π

Esempi

Definizione

Sia y= f(x) una funzione definita in un intervallo chiuso

[

]

La funzione y = f(x) si dice continua nell’intervallo

[

]