Universit`a dell’Aquila - Facolt`a di Ingegneria Prova Scritta di Fisica Generale II - 20/11/2013
Nome Cognome N. Matricola Corso di Studio CREDITI Canale ... ... ... ... ... ...
Tempo a disposizione 2 ore. 3-4-5 CFU solo primi due esercizi 1 ora e mezzo. Problema 1
Un cilindro conduttore di raggio R1 `e circondato da una calza
metallica (un cilindro conduttore forato) di raggio R2. La
calza esterna `e ad un potenziale nullo, mentre sul cilindro in-terno vi `e una densit`a di carica positiva σ1. Determinare a) la
densit`a di carica indotta sulla calza esterna; b) l’accelerazione massima di un elettrone (massa me) che si trovi all’interno
dello spazio tra la calza ed il cilindro; c) la minima velocit`a che deve avere un elettrone in prossimit`a del cilindro di raggio R1 per uscire dal cilindro forato.
(Dati del problema: R1 = 1 mm, R2 = 1 cm, σ1 = 1 µC/m2, me= 9.11 · 10−31 kg)
Problema 2
Il circuito in figura `e a regime con l’interruttore aperto. All’istante t = 0 viene chiuso l’interruttore. Supponendo che la resistenza in-terna del generatore sia trascurabile (come in figura), calcolare: a) la corrente fornita dal ge-neratore nell’istante iniziale e a regime; b) dopo quanto tempo t1 dalla chiusura dell’interruttore la
tensione ai capi del condensatore `e eguale a quella
della resistenza R2; c) se al tempo t1 l’interruttore viene aperto, come diventa la carica ai
capi di C al tempo 2t1?.
(Dati del problema: R1 = 60 Ω, R2 = 40 Ω, f = 12 V , C = 1 µF )
Problema 3
Nel circuito in corrente alternata in figura il gen-eratore `e costituito da una spira quadrata di area A che ruota con frequenza ν in un campo di in-duzione magnetica uniforme di modulo B = | ~B|. Si calcoli: a) l’ampiezza della forza elettromotrice E0; b) la pulsazione di risonanza del circuito ed il
corrispondente valore dell’impedenza equivalente; c) la potenza media dissipata dalle due resistenze R1 ed R2 alla pulsazione di risonanza.
(Dati del problema: A = 400 cm2, ν = 50 Hz, B = 0.1 T , R1 = 50 Ω, R2 = 30 Ω, C = 1 µF ,
L = 1 mH)
SOLUZIONI Problema 1
a)
Imponendo che la carica totale all’interno un cilindro di altezza h esterno al sistema sia nulla: σ12πR1h + σ22πR2h = 0 segue che: σ2 = −σ1 R1 R2 = −0.1 µC/m2 b)
Applicando il teorema di Gauss per un cilindro di altezza h, raggio R1 < r < R2 e coassiale
al sistema Er2πrh = σ1 2πR1h εo Er = σ1 R1 εor
Che `e massimo per r = R1 quindi:
meamax = eσ1 εo amax = eσ1 εome = 1.98 · 1016 ms−2 c)
La differenza di potenziale tra la calza esterna ed il cilindro interno e `e pari a: DV = Z R2 R1 σ1 R1 εor dr = σ1 R1 εo logR2 R1
Quindi deve essere
1 2mev 2 > eDV v >r 2eDV me = 9.56 · 106 m/s Problema 2 a)
All’istante iniziale, il generatore vede il parallelo di due resistenze, il condensatore si comporta come una resistenza nulla;
Rp =
R1R2
R1+ R2
= 24 Ω Quindi la corrente fornita diviene:
Io =
f Rp
= 0.5 A
Mentre a regime nel ramo del condensatore non scorre corrente per cui; I∞= f R1 = 0.2 A b)
Il generatore di Thevenin vale f e la resistenza di Thevenin R2 per cui la carica del
conden-satore segue la legge:
Q(t) = f C(1 − exp(−t/τ1))
con τ1 = R2C = 40 µs. Di conseguenza la tensione ai capi del condensatore vale:
Vc(t) = f [1 − exp(−t/τ1)]
mentre la corrente circolante vale: I2(t) = dQ dt = f R2 exp(−t/τ1) Quindi ai capi di R2: VR2 = f exp(−t/τ1) Imponendo che: f [1 − exp(−t1/τ )] = f exp(−t1/τ1) Si ha che: t1 = τ1log(2) = 28 µs Q1 = f C(1 − exp(−t1/τ1)) = 6 · 10−6 C c)
Il processo di scarica vale semplicemente:
Q2(t) = Q1exp[−(t − t1)/τ2]
con τ2 = (R1+ R2)C = 100 µs. Quindi
Q2(2t1) = 4.5 · 10−6 C
Problema 3
a) Il flusso concatenato si pu`o esprimere come φB(t) = BA cos(2πνt), il che corrisponde alla
forza elettromotrice
f = dφ
dt = 2πνBA sin(ωt), da cui E0 = 2πνBA ' 1.26 V .
b) L’impedenza equivalente `e data dall’espressione
Z = 1 1 R1 + iωC + 1 R2+iωL = 1 1 R1 + R2 R2 2+ω2L2 + iω C − R2 L 2+ω2L2
La pulsazione di risonanza si trova azzerando la parte immaginaria del denominatore, con il risultato ω0 = 1 L r L C − R 2 2 ' 10 4 rad/s. 3
L’impedenza alla risonanza vale Z(ω0) = 20 Ω
c) La corrente che scorre su R1 `e in fase con il generatore, quindi
P1 =
E2 0
2R1
' 158 mW Il fasore della corrente che scorre su R2 `e
I2 = E0 R2+ iω0L = E0 R2− iω0L R2 2+ ω02L2 , e la potenza media dissipata da R2 `e pari a
P2 = 1 2Re {E0I ∗ 2} = E2 0 2 R2 R2 2+ ω20L2 ' 237 mW. Si noti che P1 + P2 = E02/[2Z(ω0)] = 395 mW 4
