Studio e rappresentazione cartesiana di funzioni: gli strumenti del calcolo differenziale

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1 Appunti ed esercizi su:

Studio e rappresentazione cartesiana di funzioni:

gli strumenti del calcolo differenziale

19 gennaio 2012

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato a metà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questi materiali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.

Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui dovresti cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo “personale”: non sempre c’`e una sola risposta giusta!). Per quanto riguarda gli esercizi, a volte, ti verr`a richiesto uno sforzo supplementare: spesso dovrai “costruirti gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, puoi annotare su un foglio a parte le equazioni, in ordine sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.

Puoi riutilizzare gli appunti e gli esercizi proposti di seguito, citando questo file e/o il mio blog M@T&FiS

(francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di

fisica.

Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi afra.marchi@yahoo.it.

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (a volte direttamente, altre indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.

Versione finale

(3)

Indice

I

La rappresentazione cartesiana delle funzioni

5

1 Derivate 7

1.1 Introduzione. . . 7

1.1.1 Dominio e segno . . . 7

1.1.2 La derivata prima . . . 8

1.1.3 La derivata seconda . . . 8

1.2 Il segno delle derivate in un intervallo . . . 8

1.3 Il segno delle derivate in un punto e punti notevoli . . . 8

1.4 Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti . . . 10

2 Derivate: esercizi 13 2.1 Esercizi di carattere teorico . . . 13

2.1.1 Vero o falso . . . 13

2.2 Date alcune condizioni, individuare il grafico . . . 13

2.2.1 Esercizio 1 . . . 14

2.3 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile . . . 14

2.3.1 Esercizio 1 . . . 14

2.3.2 Esercizio 2 . . . 14

2.4 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc . . . 14

2.4.1 Esercizio 1 . . . 14

2.5 Dato il grafico, individuare/scegliere un’espressione analitica plausibile per f0 . . . 16

2.5.1 Esercizio 1 . . . 16

2.6 Dato il grafico, determinare il segno della funzione, della derivata prima e seconda in un punto . . . 16

2.6.1 Esercizio 1 . . . 16

2.7 Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima e seconda in un intervallo . . . 16

2.7.1 Esercizio 1 . . . 16

2.8 Dato il grafico della funzione, determinare il grafico della derivata. . . 17

2.8.1 Esercizio 1 . . . 18

3 Studio completo 21 3.1 Studio completo di funzione . . . 21

3.1.1 Studio di funzione . . . 21

3.1.2 Studio qualitativo di funzione . . . 21

II

Complementi

23

4 Grafici deducibili 25 4.1 Trasformazioni geometriche . . . 25 4.1.1 Esercizio 1 . . . 25 4.1.2 Esercizio 2 . . . 25 1

(4)

2 INDICE

4.2 Grafici deducibili con considerazioni algebriche e geometriche . . . 26

4.2.1 Traslazione . . . 26

4.2.2 Amplificazione . . . 26

4.2.3 Funzione reciproca . . . 26

4.3 Grafici deducibili tramite composizione con funzioni elementari . . . 28

4.3.1 Funzione esponenziale . . . 28

III

Appendici

31

A Continuità e derivabilità: approfondimenti 33 A.1 Continuità e discontinuità . . . 33

A.1.1 Studio di continuit`a . . . 33

A.1.2 Esercizi con parametri . . . 34

A.2 Derivabilit`a e non derivabilit`a . . . 34

A.3 Relazione tra derivabilit`a e continuit`a . . . 34

A.3.1 Vero o falso . . . 34

A.4 Esercizi sui grafici . . . 34

A.4.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico . . . 34

(5)

Parte I

La rappresentazione cartesiana delle

funzioni

(6)

(7)

Capitolo 1

Derivate

In questo capitolo vediamo come le derivate costituiscono un ulteriore strumento per lo studio di funzione.

1.1 Introduzione

Supponiamo di voler studiare il grafico della funzione: y = x2− 3x

Con i metodi della geometria analitica, possiamo disegnare tale grafico: sappiamo infatti che si tratta di una parabola, della quale possiamo calcolare le coordinate del vertice e cos`ı via.

Ma se volessimo fare lo stesso, utilizzando i metodi relativi allo studio di funzione fin qui visti? Vediamo fin dove possiamo arrivare e se c’`e coerenza fra i risultati ottenibili con la geometria analitica e quelli dell’analisi.

1.1.1 Dominio e segno

E’ facile vedere che la funzione ha per dominio l’intero insieme dei numeri reali e che, per quanto riguarda il segno, essa `e positiva nel seguente insieme:

(−∞, 0) ∪ (3, +∞)

Domanda 1. Tali condizioni sono sufficienti per tracciare il grafico della funzione?

Evidentemente non lo sono, essendo possibili, ad esempio, i grafici proposti in figura1.1.

(a) (b)

Figura 1.1: Due degli infiniti possibili grafici compatibili con lo studio del dominio e del segno della funzione y = x2_{+ 3x.}

Nota: sono state cancellate (in modo un po’ pittoresco) le regioni di piano escluse dallo studio del segno.

(8)

6 CAPITOLO 1. DERIVATE

1.1.2 La derivata prima

Vediamo in che modo la derivata prima ci aiuta a scegliere tra i grafici sopra proposti. Per la nostra funzione, avremo:

y0 = 2x + 3

Ebbene, la derivata prima `e in grado di dirci dove la funzione cresce e dove la funzione cala; in particolare: f0 > 0 ⇒ f(x) cresce

f0 < 0 ⇒ f(x) cala

A questo punto `e chiaro che il primo dei due grafici proposti in figura 1.1`e da escludersi.

Domanda 2. A questo punto, gli ulteriori vincoli sul grafico imposti dallo studio della derivata prima, sono sufficienti per tracciare il grafico della funzione?

Di nuovo, la risposta `e negativa, essendo possibili, ad esempio, i due grafici proposti in figura1.2.

(a) (b)

Figura 1.2: Due degli infiniti possibili grafici compatibili con lo studio del dominio e del segno della funzione y = x2_{+ 3x.}

Nota: sono state cancellate (in modo un po’ pittoresco) le regioni di piano escluse dallo studio del segno.

1.1.3 La derivata seconda

La cosa che, graficamente, distingue i due grafici è la concavità, ossia il fatto che la funzione sia girata verso il basso o verso l’alto; ciò è collegato al segno della derivata seconda.

Per la nostra funzione risulta:

f00(x) = 2

E, poiché la derivata seconda `_{e positiva ∀x ∈ R, la seconda funzione proposta nei grafici}1.2è da scartare. A questo punto, possiamo di nuovo chiederci se i vincoli trovati sono sufficienti a determinare il grafico della funzione. Ebbene, l’aspetto qualitativo è univocamente determinato.

1.2 Il segno delle derivate in un intervallo

Vediamo adesso di sistematizzare quanto visto fino adesso.

La relazione tra il segno delle derivate e l’andamento di una funzione in un intervallo, `e sintetizzata nella figura1.3e nella tabella1.1.

1.3 Il segno delle derivate in un punto e punti notevoli

La relazione tra il segno delle derivate e la tipologia di punto, `e sintetizzata nella figura1.4e nella tabella

(9)

1.3. IL SEGNO DELLE DERIVATE IN UN PUNTO E PUNTI NOTEVOLI 7

(a) f0> 0; f00> 0 (b) f0 > 0; f00= 0 (c) f0> 0; f00< 0

(d) f0 = 0; f00= 0

(e) f0 < 0; f00> 0 (f) f0< 0; f00= 0 (g) f0< 0; f00< 0 Figura 1.3: Comportamento di una funzione in un dato punto.

(a) f0> 0; f00> 0 (b) f0 > 0; f00= 0 (c) f0> 0; f00< 0

(d) f0= 0; f00> 0 (e) f0= 0; f00= 0 (f) f0 = 0; f00< 0

(g) f0< 0; f00> 0 (h) f0 < 0; f00= 0 (i) f0< 0; f00< 0 Figura 1.4: Comportamento di una funzione in un dato punto.

(10)

Tabella 1.1: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto intervallo e l’andamento della funzione in tale intervallo.

sgn f0(x) sgn f00(x) monoton`ıa concavit`a grafico

+

+ crescente verso l’alto 1.3(a)

0 crescente nulla (retta) 1.3(b)

− crescente verso il basso 1.3(c)

0 0 costante nulla (retta) 1.3(d)

-+ decrescente verso l’alto 1.3(e)

0 decrescente nulla (retta) 1.3(f)

− decrescente verso il basso 1.3(g)

1.4 Relazioni tra aspetti analitici e grafici: approfondimenti

E’ possibile analizzare in maggior dettaglio le relazioni che sussistono tra funzione, derivata prima e seconda e grafico della funzione.

La relazione tra funzione e derivata `e sintetizzata nella tabella 1.3.

La relazione tra i punti di particolare interesse per la funzione e le sue derivate (prima e seconda) `e sintetizzata in tabella1.4.

(11)

1.4. RELAZIONI TRA ASPETTI ANALITICI E GRAFICI: APPROFONDIMENTI 9

Tabella 1.2: Relazione tra il segno delle derivate in un dato punto x0 e la tipologia di punto.

sgn f0(x0) sgn f

00

(x0) tipo punto grafico

+

+ / 1.4(a)

0 flesso a tangente obliqua ascendente 1.4(b)

− / 1.4(c)

0

+ minimo 1.4(d)

0 flesso a tangente orizz. 1.4(e)

− massimo 1.4(f)

-+ / 1.4(g)

0 flesso a tangente obliqua discendente 1.4(h)

− / 1.4(i)

Tabella 1.3: Relazione tra grafico di una funzione e caratteristiche della sua derivata (simili considerazioni possono essere applicate se la funzione, anzich´e crescere, cala).

Funzione f Derivata f0 `

e costante vale zero cresce poco ha valori piccoli cresce molto ha valori grandi cresce sempre meno è positiva, ma calante cresce di più è positiva e crescente `

e una retta obliqua `e una retta orizzontale cresce verso asintoto orizzontale tende a zero

cresce verso asintoto obliquo tende ad asintoto orizzontale cresce verticalmente ha asintoto verticale

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Tabella 1.4: Relazione tra punti di interesse particolare per funzione, derivata prima, derivata seconda.

Funzione f Derivata f0 Derivata seconda f00 asintoto verticale asintoto verticale asintoto verticale estremante (min o max) vale zero non zero

flesso obliquo non zero vale zero cuspide discontinua continua punto angoloso discontinua discontinua

(13)

Capitolo 2

Derivate: esercizi

2.1 Esercizi di carattere teorico

2.1.1 Vero o falso

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Nel caso in cui un’affermazione sia falsa, provarlo con un controesempio. 1. Per una certa funzione, risulta che f0(x1) > f

0

(x2). Allora in x = x1 la funzione varr`a pi`u che in

x = x2.

2. Il fatto che la derivata prima di una funzione sia positiva in un certo punto non implica che la funzione sia positiva in quel punto.

3. Il grafico della derivata f0 di una certa funzione f `e una retta orizzontale nell’intervallo [3, 7]. Allora la funzione f `e una retta obliqua in tale intervallo.

4. Il grafico della derivata f0 di una certa funzione f `e una retta obliqua nell’intervallo [3, 7]. Allora la funzione f `e una retta orizzontale in tale intervallo.

2.2 Date alcune condizioni, individuare il grafico

Nota: I seguenti esercizi vanno svolti procedendo “per esclusione”, ovvero come segue: • Si considera il primo grafico e si controllano, relativamente ad esso, le varie condizioni

– Condizione 1:

∗ Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo ∗ Vale: si passa alla condizione successiva

– Condizione 2:

∗ Non vale: si esclude il grafico 1 e si passa al successivo ∗ Vale: si passa alla condizione successiva

– . . . per le altre condizioni

• Se il primo grafico soddisfa tutte le condizioni, `e quello corretto; altrimenti si passa al grafico 2 e si ripete la procedura illustrata sopra.

• . . .

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12 CAPITOLO 2. DERIVATE: ESERCIZI • Si continuano a scorrere i grafici fino ad individuare quello corretto

La procedura appena proposta è “di tipo algoritmico”; con un po’ di esperienza, è possibile applicarla in modo più flessibile.

2.2.1 Esercizio 1

Di una data funzione si sa che:

• f0 ≥ 0 in (−5, 15) ed `e negativa o nulla altrove; • f00(0) = 0;

• x = 8 `e un punto di flesso a tangente orizzontale.

Stabilire quale, fra i grafici in figura2.1, rappresenta tale funzione.

2.3 Date alcune condizioni, inventare un grafico plausibile

2.3.1 Esercizio 1

Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi le condizioni seguenti:

• f sia positiva in x = 4 e abbia in tale punto la derivata prima positiva e la derivata seconda negativa; • sia f (−7) > 0

2.3.2 Esercizio 2

Rappresentare graficamente una funzione che soddisfi le condizioni seguenti: • f0 sia negativa in (−∞, −4) e positiva in (−4, +∞);

• f (5) < f (−6)

2.4 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda

etc

2.4.1 Esercizio 1

Facendo riferimento al grafico rappresentato in2.2(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Nel punto x = A la funzione ha derivata prima positiva. 2. Nel punto x = A la derivata prima `e crescente.

3. Nell’intervallo [B, C] la funzione ha derivata seconda positiva. 4. In x = A, vale f00> 0.

(15)

2.4. DATO IL GRAFICO, TRARRE CONCLUSIONI SU DERIVATA PRIMA, SECONDA ETC 13

(a) (b)

(c)

(d)

Figura 2.1: Grafici relativi all’esercizio2.2.1.

(a) Grafico relativo all’esercizio2.4.1.

(16)

14 CAPITOLO 2. DERIVATE: ESERCIZI

2.5 Dato il grafico, individuare/scegliere un’espressione

analiti-ca plausibile per f

0

2.5.1 Esercizio 1

Una data funzione ha il grafico rappresentato in figura2.3. Stabilire quale fra le seguenti `e un’espressione plausibile per la derivata di tale funzione:

f0(x) = x2(3 ln x + 1) (2.1) f0(x) = 5 − ln x (2.2) f0(x) = 2 + x − 3x2 (2.3)

Figura 2.3: Grafico relativo all’esercizio 1 della sezione2.5.

2.6 Dato il grafico, determinare il segno della funzione, della

derivata prima e seconda in un punto

2.6.1 Esercizio 1

Si consideri il grafico di funzione riportato in figura 2.4(a). Completare la tabella 2.1 relativa a tale funzione.

2.7 Dato il grafico, determinare il segno di derivata prima e

seconda in un intervallo

2.7.1 Esercizio 1

Si considerino le figure riportate nel grafico 2.6. Segnare su di essi dei punti ritenuti significativi, indicandoli con x1, x2 e cos`ı via, e determinare:

(17)

2.8. DATO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE, DETERMINARE IL GRAFICO DELLA DERIVATA15

(a) Grafico relativo all’esercizio2.6.1.

Figura 2.4: Grafici relativi agli esercizi della sezione2.6.

• il segno della derivata seconda;

• le coordinate dei massimi e dei minimi; • le coordinate dei punti di flesso.

2.8 Dato il grafico della funzione, determinare il grafico della

derivata

Esempio svolto

Consideriamo la funzione rappresentata in figura2.5(a).

Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima2.5(b)e la fun-zione insieme con la sua derivata seconda 2.5(c). Vediamo adesso come `e possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo.

• Grafico della derivata prima

– in (−∞, 0) f decresce in modo (quasi) costante (`e all’incirca una retta); perci`o f0 ha un valore costante, negativo, pari al coefficiente angolare di tale retta;

– in x = 0 la funzione comincia a crescere, per cui passeremo bruscamente da una situazione di derivata negativa ad una di derivata positiva; in altre parole, al punto angoloso x = 0 corrisponde una discontinuit`a nel grafico della derivata prima;

– in (0, 1) la funzione cresce sempre meno, per cui la derivata è positiva (perché la funzione cresce), ma sempre più piccola (perché cresce sempre meno);

– in x = 0 la funzione ha un massimo relativo e la derivata vale zero;

– in [0, 2] la funzione decresce (per cui la derivata sarà negativa) sempre più rapidamente (per cui f0 assumerà valori sempre più negativi);

– in x = 2 sia f che f0 hanno un asintoto verticale;

– in [2, 3] la funzione decresce (⇒ f0 < 0) sempre meno (per cui la derivata assume valori sempre meno negativi);

(18)

Tabella 2.1: Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione2.6(vedi grafico2.4(a).)

sgn f sgn f0 sgn f00 tipo punto x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

– in [3, +∞) la funzione cresce, per cui la derivata `e positiva; in particolare f tende ad un asintoto obliquo, per cui la sua derivata tender`a ad un asintoto orizzontale.

• Grafico della derivata seconda

– in (−∞, 2), f volge la concavità verso il basso, per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all’incirca costante fino a x = −1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero;

– in x = 2, f00(x) ha un asintoto verticale, cos`ı come f e f0;

– in [2, +∞), f volge la concavit`a verso l’alto, per cui f00 > 0; in particolare tende a zero, con considerazioni simili a quelle fatte in precedenza.

2.8.1 Esercizio 1

(19)

2.8. DATO IL GRAFICO DELLA FUNZIONE, DETERMINARE IL GRAFICO DELLA DERIVATA17

(a) Grafico della funzione f (x) = _x−21 + |x|.

(b) Grafico della funzione f (x) (in verde) e della sua derivata prima (in arancione).

(c) Grafico della funzione f (x) (in verde) e della sua derivata seconda (in arancione).

(20)

(a) (b)

(c) (d)

(21)

Capitolo 3

Studio completo

3.1 Studio completo di funzione

3.1.1 Studio di funzione

Seguendo, in linea di massima, lo schema suggerito in tabella 3.1, studiare le funzioni proposte in [?], pagg. 451-461; si vedano anche gli esempi svolti, alle pagine 416-437.

3.1.2 Studio qualitativo di funzione

Studiare le funzioni proposte nelle sezioni3.1.2e3.1.2. Funzioni algebriche razionali fratte

f (x) = x 2_{− x} 3 + x ; g(x) = x + 2 9 − x2 (3.1) r(x) = 3x 3_{+ 2x} x3_{+ 7} ; j(x) = 4x − x3 2x2_{+ 6x − 5} (3.2)

Funzioni di vario tipo

h(x) = 3x e2x_{− 1}; m(x) = arctan x x + 1 (3.3) p(x) = log(x2+ 3x − 1); d(x) = 4 x_{− ln x + 3} x2_{− 6x} (3.4) 19

(22)

20 CAPITOLO 3. STUDIO COMPLETO

Tabella 3.1: Schema per lo studio qualitativo di funzione.

Algebra

Dominio Segno di f

Simmetrie (pari o dispari) Intersezioni con gli assi Limiti Asintoti

Derivate Intervalli di monotonia; massimi e minimi Concavit`a e punti di flesso

Grafico Grafico qualitativo Discontinuit`a I specie II specie III specie Non derivabilit`a Punto angoloso Cuspide

(23)

Parte II

Complementi

(24)

(25)

Capitolo 4

Grafici deducibili

Numerosi grafici possono essere dedotti una volta che si sappia il grafico di una funzione f . 1. Tramite considerazioni algebriche e geometriche

(a) Traslazione: y = f (x + a); y = f (x) + a (b) Amplificazione: y = f (ax); y = af (x) (c) Funzione reciproca: y = f (1/x); y = 1/f (x) (d) Valore assoluto: y = f (|x|); y = |f (x)| 2. Tramite composizione con funzioni elementari

(a) Funzione esponenziale: y = exp f (x) (b) Funzione logaritmica: y = ln f (x)

4.1 Trasformazioni geometriche

4.1.1 Esercizio 1

A partire da grafici di funzione a piacimento, tracciare i grafici ottenibili tramite le trasformazioni geometriche viste sopra.

4.1.2 Esercizio 2

Vedi [?], pag. 470-471.

(26)

24 CAPITOLO 4. GRAFICI DEDUCIBILI

4.2 Grafici deducibili con considerazioni algebriche e

geometri-che

4.2.1 Traslazione

4.2.2 Amplificazione

4.2.3 Funzione reciproca

Considerazioni generali

Tabella 4.1: Relazione tra il grafico di una funzione f e quello delle funzioni 1/f (x) e f (1/x).

f (x) 1 f (x) f ( 1 x) cresce cala / Esempio svolto

Consideriamo la funzione rappresentata in figura4.2.

Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima2.5(b)e la fun-zione insieme con la sua derivata seconda2.5(c). Vediamo adesso come `e possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo.

• f volge la concavità verso il basso in (−∞, 2), per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all’incirca costante fino a x = −1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero;

• in x = 2, f00(x) ha un asintoto verticale, cos`ı come f e f0;

• in [2, +∞), f volge la concavit`a verso l’alto, per cui f00 > 0; in particolare tende a zero, con considerazioni simili a quelle fatte in precedenza.

Approfondimenti analitici

1. Dimostrare analiticamente che se f cresce, 1/f decresce. 2. Spiegare perch´e se f ha un massimo, 1/f ha un minimo.

(27)

4.2. GRAFICI DEDUCIBILI CON CONSIDERAZIONI ALGEBRICHE E GEOMETRICHE 25

(a) Grafico della funzione f (x).

(b) Grafico della funzione f (x) e di 1/f (x) (in arancione).

(c) Grafico della funzione f (x) e di f (1/x) (in verde). Figura 4.1: Grafici deducibili tramite funzione reciproca.

(28)

26 CAPITOLO 4. GRAFICI DEDUCIBILI

4.3 Grafici deducibili tramite composizione con funzioni

ele-mentari

4.3.1 Funzione esponenziale

Considerazioni generali

Tabella 4.2: Relazione tra il grafico di una funzione f e quello delle funzioni 1/f (x) e f (1/x).

f (x) _{f (x)}1 f (_x1) cresce cala / Esempio svolto

Consideriamo la funzione rappresentata in figura4.2.

Nelle figure successive sono rappresentate la funzione insieme con la sua derivata prima2.5(b)e la fun-zione insieme con la sua derivata seconda2.5(c). Vediamo adesso come `e possibile costruire tali grafici con ragionamenti di tipo qualitativo.

• f volge la concavità verso il basso in (−∞, 2), per cui la derivata seconda è negativa in tale intervallo; inoltre, visto che la derivata prima è all’incirca costante fino a x = −1 circa, la derivata seconda (che è la sua derivata) varrà circa zero;

• in x = 2, f00(x) ha un asintoto verticale, cos`ı come f e f0;

• in [2, +∞), f volge la concavit`a verso l’alto, per cui f00 > 0; in particolare tende a zero, con considerazioni simili a quelle fatte in precedenza.

Approfondimenti analitici

(29)

4.3. GRAFICI DEDUCIBILI TRAMITE COMPOSIZIONE CON FUNZIONI ELEMENTARI 27

(a) Grafico della funzione f (x).

(b) Grafico della funzione f (x) e di 1/f (x) (in arancione).

(c) Grafico della funzione f (x) e di f (1/x) (in verde). Figura 4.2: Grafici deducibili tramite funzione reciproca.

(30)

(31)

Parte III

Appendici

(32)

(33)

Appendice A

Continuit`

a e derivabilit`

a:

approfondimenti

A.1 Continuit`

a e discontinuit`

a

A.1.1 Studio di continuit`

a

Si studi la continuit`a delle funzioni indicate di seguito. In particolare: • Si indichino gli eventuali punti di discontinuit`a.

• Si specifichi la natura dei punti di discontinuit`a. • Si eliminino le discontinuit`a eliminabili.

Funzioni algebriche f (x) = x 2_{− 6x + 9} x2_{− 9} (A.1) _{f (x) =} 1 − x x (A.2) Funzioni goniometriche f (x) = 3x

sin 2x (A.3) f (x) = sin x 2x − 3 (A.4) Funzioni esponenziali f (x) = 3x e2x_{− 1} (A.5) _{f (x) = e}−2+x2 x (A.6)

Funzioni definite a tratti [?]

f (x) =      2x2_{+ 1,} _se _{x > 0} 3, se x = 0 ex_{+ sin x,} _se _{x < 0} 31

(34)

32 APPENDICE A. CONTINUIT `A E DERIVABILIT `A: APPROFONDIMENTI f (x) =      2x2_{+ 1,} _se _{x > 0} 1, se x = 0 ex_{+ sin x,} _se _{x < 0} f (x) = ( ex41 , se x 6= 0 0, se x = 0 f (x) =      e2x₋₁ x , se x < 0 1, se x = 0 sin 2x x , se x > 0

A.1.2 Esercizi con parametri

Esercizio 1

Stabilisci per quale valore del parametro a `e continua la seguente funzione: f (x) =

(√

x2_{+ 3 + 2a,} _se _{x < 1}

ax2_{+ 3x − a,} _se _{x ≥ 1}

Esercizio 2

Stabilisci per quali valori dei parametri a e b `e continua la seguente funzione:

f (x) =      aex+2_{+ 2b,} _se _{x ≤ −2} bx2_{+ 2a,} _se _{− 2 < x < 2} 3 + a x+5, se x ≥ 2

A.2 Derivabilit`

a e non derivabilit`

a

Vedi [?], pag. 312.

A.3 Relazione tra derivabilit`

a e continuit`

a

A.3.1 Vero o falso

Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Nel caso in cui un’affermazione sia falsa, provarlo con un controesempio.

1. Se in un punto x = x0una funzione `e continua, allora sar`a derivabile in quel punto.

2. Se in un punto x = x0una funzione non `e derivabile, allora non sar`a continua in quel punto.

A.4 Esercizi sui grafici

A.4.1 Date alcune condizioni, individuare il grafico

(35)

A.4. ESERCIZI SUI GRAFICI 33 Esercizio 1

Di una data funzione si sa che: • f0 < 0 in (3, +∞); • f00= 0 in x = −3;

• f non `e derivabile in x = 3.

Stabilire quale, fra i grafici in figuraA.1, rappresenta tale funzione. Esercizio 2

Di una data funzione si sa che:

• f00> 0 in (−∞, 1) e f00< 0 in (1, 2); • f0 `e discontinua in x = 4;

• f0(x) = 1 in (4, +∞).

Stabilire quale, fra i grafici in figuraA.2, rappresenta tale funzione.

A.4.2 Dato il grafico, trarre conclusioni su derivata prima, seconda etc

Esercizio 1

Facendo riferimento al grafico rappresentato inA.3(a), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. f0(0) < 0;

2. f00(x) > 0 in (B, +∞); 3. f0(A) < f0(C);

4. x = B è un punto di non derivabilità; 5. x = B è un punto di cuspide;

6. Il grafico di f0 sar`a discontinuo in x = B. Esercizio 2

Facendo riferimento al grafico rappresentato in A.3(b), stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Il grafico di f0(x) sar`a una retta orizzontale in (A, B); 2. f0(x) = 0 in (A, B);

3. f0(x) = 0 in (B, +∞); 4. f00(x) < 0 in (0, A); 5. x = 0 `e un punto angoloso.

(36)

34 APPENDICE A. CONTINUIT `A E DERIVABILIT `A: APPROFONDIMENTI

(a) (b)

(c)

(d)

(37)

A.4. ESERCIZI SUI GRAFICI 35

(a) (b)

(c)

(d)

(38)

36 APPENDICE A. CONTINUIT `A E DERIVABILIT `A: APPROFONDIMENTI

(a) Grafico relativo all’esercizio 1 della sezioneA.4.2.

(b) Grafico relativo all’esercizio 2 della sezioneA.4.2. Figura A.3: Grafici relativi agli esercizi della sezione ??.