2^
Lezione
•
Equazioni di 1° .
•
Equazioni di 2° .
•
Equazioni fattoriali .
•
Equazioni biquadratiche .
•
Equazioni binomie .
•
Equazioni fratte .
Corso di Analisi: Algebra di Base
EQUAZIONI ALGEBRICHE
EQUAZIONI DI 1° GRADO
Con il termine di equazione intendiamo una uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti una incognita (x). Risolvere tale equazione significa determinare quel particolare valore da attribuire alla incognita (x) , per il quale risulti verificata l’eguaglianza .
Es. ax+ =b 0 a b x a b a ax b ax =− ⇒ = − ⇒ = − ⇒ ⇒ a b x= − Es. risolvere : 2x+ =4 0 ⇒ 2x= −4 ⇒ 2 2 4 − = ⇒ − = x x verifica : 2(−2)+4=0 ⇒ −4+4=0 ⇒ 0=0 Es. risolvere : −3x+ =9 0 ⇒ −3x= −9 ⇒ 3x=9 ⇒ x= 9 3 ⇒ x=3 Es. risolvere : x− + =2
(
3−x)
3 2 3 2 ⇒(
)
3 3 6 3 2 9 6x − x = + − ⇒ 6x−9+2=18−6x ⇒ 6x+6x=18+9−2 ⇒ 12x=25 ⇒ 12 25 = x Es. risolvere : −x+2(
x−2) (
+[
31−x) (
+2 −2x−1)
]
=(
3−x)
−2 ⇒ −x+2x−4+[
3−3x−4x−2]
=3−x−2 ⇒ −x+2x−7x+x=3−2+4−1 ⇒ −5x =+4 ⇒ 5x =−4 ⇒ 5 4 − = xEQUAZIONI DI 2° GRADO
equazione completa ed ordinata
le soluzioni ( o radici ) dell'equazione si ottengono dall' applicazione diretta della formula :
detta formula risolutiva .
dove si chiama discriminante dell’equazione .
Allo stesso modo si può utilizzare quella che si chiama formula ridotta ( notevolmente vantaggiosa in certi casi )
0
2+
+
=
c
bx
ax
a
ac
b
b
x
2
4
2 2 1−
±
−
=
∆ =
b
2−
4
ac
a
ac
b
b
x
−
±
−
=
2
4
2 2 1 INDICECaratteristiche principali dell'equazione di 2° grado :
Casi particolari dell’equazione di 2° grado :
(
ax2 +bx+ =c 0)
1) Se l’equazione diventa ax2 +bx =0 detta anche equaz. SPURIA
applicando la formula risolutiva abbiamo :
x b b ac a b b a b b a x b b a b a b a x b b a 1 2 2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 2 2 0 = − ± − = − ± = − ± = = − − = − = − = − + =
0
2+
+
=
c
bx
ax
1) ∆≥0 2 soluzioni x1 ≠x2 reali e distinte .
2) ∆=0 2 soluzioni x1 =x2 reali e coincidenti .
( il polinomio è il quadrato di un binomio ).
3) ∆<0 ∀/ x∈ℜ ( nessuna soluzione in ℜ) .
Gli stessi risultati li possiamo ottenere molto più semplicemente usando il raccoglimento a fattore comune : ax2 +bx =0 ⇒ x ax b⇒ ( + )=0 ⇒ − = ⇒ = + = a b x b ax x 1 2 0 0 Es. 3x2 −4x= 0 ⇒ x x x x (3 4) 0 0 4 3 1 2 − = ⇒ = =
2) Se l’equaz. diventa ax2 + =c 0 detta anche equaz. PURA
applicando nuovamente la formula risolutiva abbiamo :
x ac a ac a c a 1 2 2 4 2 4 4 = ± − = ± − = ± − − − = − + = ⇒ a c x a c x 2 1
Equivalentemente potremo risolvere anche così :
ax2 + =c 0 ⇒ x c a 2 = − ⇒ x c a = ± − − − = − + = ⇒ a c x a c x 2 1
NOTA BENE : dal momento che stiamo operando nel campo dei numeri reali le soluzioni
di un’equazione pura sono accettabili se e solo se i valori dei coefficienti a e c sono di segno discorde.
b = 0
Quindi : > < < > ⇔ ℜ ∈ 0 , 0 0 , 0 , 2 1 c a c a x x Es. 4x2−16=0 ⇒ x2 16 4 = ⇒ x=±2
(
a >0, c<0)
x2 + =8 0 ⇒ x2 = −8 ⇒ x= ± −8 ⇒ ∀/x∈ℜIn questo caso si poteva ragionare in modo semplice considerando che un quadrato ( x2) che esprime una quantità positiva non può mai essere uguale ad un numero negativo.
Ricordiamo che il grado di un'equazione è dato dal grado massimo di un suo monomio e che il grado esprime altresì il numero massimo di soluzioni ( radici ) della stessa . Il monomio privo di fattore letterale ( incognita ) è detto termine noto dell'equazione ; la mancanza di tale termine qualifica l'equazione come omogenea .
Sintetizzando : 0 .. ... 0 2 1 + + + = + − − zx cx bx
axn n n equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e completa ( presenza del termine noto )
0 .. ... 0 2 + + = + − zx cx
axn n equazione ordinata ( potenze decrescenti ) e incompleta ( mancanza di un termine ) 0 .. ... 1 2 1 + + + = + − − vx cx bx
axn n n equazione ordinata omogenea ( potenze decrescenti ) e incompleta ( mancanza del termine noto )
EQUAZIONI FATTORIALI
Si ottengono applicando le regole della scomposizione alle equazioni di grado superiore al secondo.
Es. risolvere : x3 −3x2 + − =x 3 0
Applicando le regole della scomposizione abbiamo :
0 ) 3 ( 1 ) 3 ( 2 − + − = x x
x raccogl. parziale o successivo (x− ⋅3) (x2 + =1) 0
A x( )⋅B x( )=0 quindi un’equazione fattoriale altro non è che il prodotto di due o più fattori ( rappresentati da singoli polinomi ).
E’ del tutto evidente che un prodotto di due o più fattori è nullo se almeno uno dei fattori lo è. Quindi risolveremo un’equazione fattoriale discutendo l’annullamento di ogni singolo fattore.
Tale procedimento deriva dalla cosiddetta LEGGE DELL’ANNULLAMENTO DEL
PRODOTTO. A x B x ( ) ( ) = = 0 0
Riprendendo l’esempio sopra avremo che :
ℜ ∈ ∀/ − = ⇒ = + = ⇒ = − ⇒ = + ⋅ − ) ( 1 0 ) 1 ( 3 0 ) 3 ( 0 ) 1 ( ) 3 ( 2 2 2 reale soluzione nessuna x x x x x x x
Altro Es. risolvere : x3−3x2 +3x− =1 0 equaz. di 3° grado
tramite Ruffini :
(
x− ⋅ − ⋅ − =1) (
x 1) (
x 1)
0A x( )⋅B x( )⋅C x( )=0 = ⇒ = − = ⇒ = − = ⇒ = − 1 0 ) 1 ( 1 0 ) 1 ( 1 0 ) 1 ( x x x x x x
Equivalentemente : (x−1)3 = 0 ⇒ x−1=0 ⇒ x =1 ( radice o soluzione tripla)
EQUAZIONI BIQUADRATICHE
Un caso particolare di equazione di grado superiore al 2° è dato da un polinomio di 4° grado mancante dei termini di grado dispari ; tale tipo di equazione viene chiamata
biquadratica .
Simbolicamente assumerà la forma ax4 +bx2 + =c 0
La risoluzione di tale tipo di equazione avverrà tramite il metodo di sostituzione :
dopo aver posto x2 =t andremo a risolvere una semplice equazione di 2° grado ; avremo dunque alla fine i corrispondenti valori di t che dovranno essere risostituiti nella condizione posta inizialmente per risolvere l’equazione pura corrispondente .
Es: risolvere : 3x4 −2x2 −1=0 t x x x4 −2 2 −1=0 ⇒ 2 = 3 ⇒ = − = = + ± = ⇒ = − − 1 3 1 6 12 4 2 0 1 2 3 2 1 2 2 1 t t t t t e di qui si ha : + = − = ⇒ = ℜ ∈ ∀/ ⇒ − = 1 1 1 3 1 2 1 2 2 x x x x x
EQUAZIONI BINOMIE
Un tipo di equazione di grado superiore al 2° costituita da un polinomio di soli due termini ( binomio ) definisce quella che si chiama equazione binomia .
La forma sarà del tipo axn +b =0
La risoluzione corretta di tale tipo di equazione avverrà tramite corrispondente equazione fattoriale . Es: risolvere : x4 −1=0
(
1)(
1)
0 1 0 1 2 2 4 − = ⇒ − + = ⇒ =± x x x x Es: risolvere : x3 −8=0(
2)
(
2 4)
0 2 0 8 2 3 − = ⇒ − + + = ⇒ = x x x x x Es: risolvere : x6 −64=0( ) ( )
2 0(
4)(
4 16)
0 2 0 26 2 3 2 3 2 4 2 6 − = ⇒ − = ⇒ − + + = ⇒ =± x x x x x xDa un punto di vista oggettivamente pratico , benchè il metodo corretto sia quello enunciato dianzi , possiamo determinare le radici reali di un’equazione binomia :
a) come un’equazione di 2° grado pura ( se di indice n-pari ) ,
b) come un’equazione di 1° grado , con la relativa estrazione di radice , ( se di indice n-dispari ) .
Sinteticamente : ) ( 0 ) ( 0 dispari n a b x a b x b ax pari n a b x a b x b ax n n n n n n − − = ⇒ − = ⇒ = + − − ± = ⇒ − = ⇒ = + INDICE
Riesaminando gli esempi precedenti si ha : Es: risolvere : x4 −1=0 ⇒ 4 =1 ⇒ =±4 1 ⇒ =±1 x x x Es: risolvere : x3 −8=0 ⇒ 3 =8 ⇒ =3 8 ⇒ =3 23 ⇒ =2 x x x x Es: risolvere : x6 −64=0 ⇒ x6 =64 ⇒ x=±6 64 ⇒ x =±6 26 ⇒ x=±2 Es: risolvere : x3 +3=0 ⇒ 3 3 3 3 3 3 ⇒ = − ⇒ =− − = x x x Es: risolvere : x8 +5=0 ⇒ x8 =−5 ⇒ ∀/x∈ℜ EQUAZIONI FRATTE
Per equazione fratta si intende un’equazione la cui variabile ( incognita x ) compare anche al denominatore.
A x B x ( ) ( ) =0
Tale tipo di equazione si risolve considerando l’equazione formata dal solo numeratore, dopo la discussione del denominatore ( con la conseguente sua esclusione ). Sostanzialmente si applica
una delle proprietà fondamentali dell'algebra : moltiplicando ambedue i termini di una uguaglianza per uno stesso numero il risultato non cambia
( )
B( )
x x B x A x B ⋅ =0⋅ ) ( ) (Posto quindi B x( )≠0 andremo a risolvere A x( )= 0
Le soluzioni finali dell’equazione saranno accettabili se e solo se compatibili con la discussione fatta inizialmente.
Es. risolvere : x x x 2 4 1 1 0 − + − = posto dunque (x−1)≠0 ⇒ x≠1 risolveremo + = − = ⇒ = + − 3 2 3 2 0 1 4 2 1 2 x x x x entrambe accettabili poiché diverse da 1 Es. risolvere : x x 2 1 1 0 − + = posto x+1≠0 ⇒ x≠−1 avremo x2 −1=0 ⇒ x=±1 − = + = ⇒ 1 1 2 1 x x
con x2 non accett.
Quindi la sola soluzione dell’equazione data rimane x=1 .
Es. 0 1 2 3 2 = + + − x x x posto x+1≠0 ⇒ x≠−1 avremo 2 8 9 3 0 2 3 2 − + = ⇒ = + ± − x x x + = + = ⇒ 1 2 2 1 x x entrambe soluzioni .
NOTA : Vogliamo ricordare che le soluzioni (o radici ) di un’equazione sono al massimo pari al grado dell’equazione.
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (SPURIE) ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 1°GRADO
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI BINOMIE (PURE)
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL 2° ESERCIZI SULLE EQUAZIONI FRATTE
ESERCIZI SULLE EQUAZIONI DI 2°GRADO
Esercizi della 2°lezione di Algebra di base
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RISOLVI
NASCONDI
INDICE ESERCIZI
Risolvere le seguenti equazioni di primo grado : 1. 3x− + − + =5 2( x 1) 0 3x−5+2
(
−x+1)
=0 ⇒ 3x−5−2x+2=0 ⇒ x =3 2. 3− − + =7( x 5) 2x+5(
)
5 37 37 5 5 3 35 2 7 5 2 35 7 3 5 2 5 7 3 = ⇒ = ⇒ + − = − ⇒ + = − + ⇒ + = + − − x x x x x x x x 3. 4x−5(x−2)(x+ + − + = −2) 2( x 1) 5x2 +4x−3(
)(
) (
)
(
)
2 25 25 2 3 2 20 4 2 4 3 4 5 2 2 20 5 4 3 4 5 2 2 4 5 4 3 4 5 1 2 2 2 5 4 2 2 2 2 2 = ⇒ − = − ⇒ − − − = − − ⇒ − + − = + − + − ⇒ − + − = + − − − ⇒ − + − = + − + + − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 4. 24+x(2−3x)− −5 3x2 +2(x− =8) 2x+ −4 9x2(
)
(
)
2 1 4 16 5 24 2 6 6 6 4 16 3 5 3 2 24 6 4 2 8 2 3 5 3 2 24 2 2 2 2 2 2 2 = ⇒ + + + − = + + − ⇒ − + = − − − − + ⇒ − + = − + − − − + x x x x x x x x x x x x x x 5. x+ + − −6 2( x 4x) = − −7( 3 2x) (− − +5 3x)(
) (
) (
)
4 11 22 8 5 21 6 3 14 8 2 3 5 14 21 8 2 6 3 5 2 3 7 4 2 6 − = ⇒ − = ⇒ + − − = + + − − ⇒ − + − − = − − + ⇒ + − − − − = − − + + x x x x x x x x x x x x x x x x x?
?
?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA6. x−3+ − + x = − +x − − +( x) 2 2 5 4 7 3 2 8 5 3
(
)
33 46 46 33 40 14 20 12 24 16 21 4 8 24 40 14 21 8 20 16 12 4 3 5 4 7 8 21 2 5 2 2 3 3 5 8 2 3 7 4 5 2 2 3 = ⇒ = ⇒ + + − + = + − + ⇒ − + + − = + − − − + + − = + − − ⇒ + − − − + = − + + − x x x x x x x x x x x x x x x x x x 7. 2 3 ( ) 3 5 2 4 3 2 6 3 3 − + + =− + − + − x x x x(
)
45 26 26 45 36 4 6 8 36 6 15 12 12 36 36 4 6 12 6 15 12 8 12 36 36 4 6 12 6 15 12 8 3 3 6 2 3 4 2 5 3 3 2 = ⇒ = ⇒ + + − − = + + + − ⇒ + − + − = + + − ⇒ + − + − = + + − ⇒ − + − − + = + + − x x x x x x x x x x x x x x x x x x 8. + − + +2( 2) +3 =− + − − 12 3 2 3 2 4 x x x x(
)
8 37 37 8 6 8 3 48 3 12 24 12 6 3 8 12 12 3 48 24 4 2 3 2 3 12 3 2 2 = ⇒ − = − ⇒ + + − − = + + + − ⇒ + − + − = + + + − ⇒ − − − + = + + + − + x x x x x x x x x x x x x x 9. x−3+ − + x = − −x − − +( x) 5 4 5 3 2 3 5 15 2(
)
36 71 71 36 100 30 10 9 15 6 60 3 15 15 30 10 6 15 100 60 9 3 2 15 5 3 2 3 5 4 5 3 − = ⇒ = − ⇒ − + − + = + + − − + − − = + − − ⇒ + − − − − = − + + − x x x x x x x x x x x x x x?
?
?
?
10. − − +2 3 5 = − + +( ) + − 2 5 2 3 2 3 3 x x x
(
)
3 5 50 30 18 8 30 30 12 6 36 6 18 8 12 30 6 6 30 36 3 3 2 3 2 5 2 5 3 2 = ⇒ = ⇒ − + + = − + ⇒ − + + + − = − + ⇒ − + + + − = − + − x x x x x x x x x x x?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDARisolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado, mancanti del termine noto (spurie). 11. x2 +3x=0 − = = ⇒ − = = ⇒ = + 3 0 0 0 3 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 12. 5x2 −3x= 0 = = ⇒ − = = ⇒ = − 5 3 0 0 0 3 5 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 13. x2 −5x =0 = = ⇒ − = = ⇒ = − 5 0 0 0 5 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 14. 2x2 +3x=0 − = = ⇒ − = = ⇒ = + 2 3 0 0 0 3 2 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 15. x x x 2 2 3 2 3 12 6 − = + − 2 18 12 12 0 6 12 18 6 12 2 6 12 3 2 3 2 2 2 2 2 2 = + − − − ⇒ − + = − ⇒ − + = − x x x x x x x x x = = ⇒ − = = ⇒ = − 18 0 0 0 18 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 16. x x x 2 2 1 3 1 4 6 + − = − + 2 6 2 6 4 0 6 6 4 6 6 2 2 6 4 1 3 1 2 2 2 2 2 2 = + − + − − ⇒ + − = − + ⇒ + − = − + x x x x x x x x x
?
?
?
?
?
?
= = ⇒ − = = ⇒ = − 6 0 0 0 6 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 17. x x x 2 2 2 3 1 4 1 7 12 + − + = − + 0 7 12 3 8 3 4 12 7 12 12 3 3 8 4 12 7 1 4 1 3 2 2 2 2 2 2 2 = + − − + + − ⇒ − − = − − + ⇒ + − = + − + x x x x x x x x x − = = ⇒ − = = ⇒ = + 1 0 0 0 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 18. x x( −2) + x− = x− + x+ 4 4 3 3 2 1 6
(
)
0 10 3 12 2 2 18 6 12 16 4 6 3 6 1 2 3 3 4 4 2 2 2 = − ⇒ + + − = − + − ⇒ + + − = − + − x x x x x x x x x x x x = = ⇒ − = = ⇒ = − 3 10 0 0 0 10 3 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x 19. (x+3)(x−2) (+ x− )(x+ ) (= x+ )(x− ) 4 1 1 5 1 17 10(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
)(
) (
)(
) (
)(
)
(
) (
) (
)
(
)
(
)
0 37 7 0 34 32 2 4 4 30 5 5 17 16 2 4 4 6 5 20 17 17 2 20 1 4 20 6 3 2 5 20 17 1 2 20 1 1 4 20 2 3 5 10 17 1 5 1 1 4 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + ⇒ = + + − − + − + ⇒ − − = − + − + ⇒ − + − = − + − + − ⇒ − + = + − + − + ⇒ − + = + − + − + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − = = ⇒ − = = ⇒ = + 7 37 0 0 0 37 7 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA20. (x−1) − +x = x − + ( x+ ) 2 3 6 2 4 1 2 3 1 2 2
(
)
(
)
(
)
(
)
0 18 2 12 3 6 6 18 6 3 2 6 6 12 6 12 1 3 6 6 3 12 2 6 1 6 1 3 2 1 4 2 6 3 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = − − − − ⇒ + + − = − − + − ⇒ + + − = − − − ⇒ + + − = + − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x = = ⇒ − = = ⇒ = − 3 32 0 0 0 32 3 2 1 2 1 2 x x a b x x che ricordando x x?
Risolvere le seguenti equazioni binomie di secondo grado (pure) : 21. x2 − =9 0 3 0 , 0 0 , 0 0 9 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = − x c a c a se a c x che ricordando x 22. 4x2 −49=0 2 7 0 , 0 0 , 0 0 49 4 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = − x c a c a se a c x che ricordando x 23. − +36 4x2 =0 3 0 , 0 0 , 0 0 4 36 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = + − x c a c a se a c x che ricordando x 24. 8x2 −64=0 2 2 0 , 0 0 , 0 0 64 8 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = − x c a c a se a c x che ricordando x 25. − +x2 16=0 4 0 , 0 0 , 0 0 16 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = + − x c a c a se a c x che ricordando x
?
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RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA26. 25x2 − =9 0 5 3 0 , 0 0 , 0 0 9 25 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = − x c a c a se a c x che ricordando x 27. −49x2 −16=0 ℜ ∈ ∀/ > < < > − ± = ⇒ = − − x c a c a se a c x che ricordando x 0 , 0 0 , 0 0 16 49 2 1 2 28. 48x2 − =4 0 3 2 1 0 , 0 0 , 0 0 4 48 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = − x c a c a se a c x che ricordando x 29. 121x2 + =9 0 ℜ ∈ ∀/ > < < > − ± = ⇒ = + x c a c a se a c x che ricordando x 0 , 0 0 , 0 0 9 121 2 1 2 30. − + =x2 1 0 1 0 , 0 0 , 0 0 4 48 2 1 2 1 2 ± = > < < > − ± = ⇒ = − x c a c a se a c x che ricordando x
?
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Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado ( complete ) 31. x2 − + =5x 6 0 = = = ± = > = ∆ ⇒ = + − 2 3 2 1 5 : 0 1 0 6 5 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 32. x2 +8x+12=0 − = − = = ± − = > = ∆ ⇒ = + + 6 2 4 4 : 0 4 4 0 12 8 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 33. x2 +10x+21=0 − = − = = ± − = > = ∆ ⇒ = + + 7 3 4 5 : 0 4 4 0 21 10 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 34. − +x2 5x− =6 0 = = = − ± − = > = ∆ ⇒ = − + − 3 2 2 1 5 : 0 1 0 6 5 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 35. x2 + + =5x 7 0 x2+5x+7=0 ⇒ poichè ∆=−3<0 si ha: ∀/x∈ℜ 36. x2 − − =x 6 0 − = = = ± = > = ∆ ⇒ = − − 2 3 2 25 1 : 0 25 0 6 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 37. x2 −8x+ =9 0 − = + = = ± = > = ∆ ⇒ = + − 7 4 7 4 7 4 : 0 7 4 0 9 8 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 38. x−1− x= x − 3 3 2 1 2 6 7 4 0 6 6 6 6 9 2 2 1 2 3 3 1 2 2 2 = − + ⇒ − = − − ⇒ − = − − x x x x x x x x
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RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA − − = + − = = ± − = > = ∆ ⇒ = − + 12 145 7 12 145 7 12 145 7 : 0 145 0 4 7 6 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x 39. 2 1 4 3 2 2 2 x x x − − + = 4 4 5 0 4 4 4 4 6 1 2 2 2 3 4 1 2 2 2 2 = + + ⇒ = − − − ⇒ = + − − x x x x x x x x x + x+ = ⇒ poichè ∆ =−16<0 si ha: ∀/ x∈ℜ 4 0 5 4 4 2 40. 5 3 6 2 3 4 2 − − = − x x x 6 3 4 0 12 9 6 12 12 6 10 4 3 2 6 3 5 2 2 2 = − + ⇒ − = − − ⇒ − = − − x x x x x x x x − − = + − = = ± − = > = ∆ ⇒ = − + 12 105 3 12 105 3 12 105 3 : 0 105 0 4 3 6 2 1 2 1 2 x x x ha si poichè x x
?
?
Risolvere le seguenti equazioni di grado superiore al secondo :
41. x3 −2x+ =1 0
Applicando Ruffini si ha :
(
x−1)
(
x2 +x−1)
=0 che per l'appunto definisce una equazione fattoriale . da cui : − − = + − = = ± − = ⇒ > = ∆ ⇒ = − + = ⇒ = − + = − 2 5 1 2 5 1 2 5 1 0 5 0 1 1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x xe quindi riassumendo le soluzioni sono :
− ± 2 5 1 ; 1 42. 3x3 −4x2 + =1 0 Applicando Ruffini si ha :
(
x−1)
(
3x2 −x−1)
=0 che per l'appunto definisce una equazione fattoriale . + 1 0 - 2 + 1 x = + 1 + 1 + 1 - 1 + 1 + 1 - 1 0 + 3 - 4 0 + 1 x = + 1 + 3 - 1 - 1 + 3 - 1 - 1 0?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDAda cui : − = + = = ± = ⇒ > = ∆ ⇒ = − − = ⇒ = − − = − 6 13 1 6 13 1 6 13 1 0 13 0 1 3 1 0 1 3 0 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x x x x
e quindi riassumendo le soluzioni sono :
± 6 13 1 ; 1 43. x4 −2x2 + =1 0 Applicando Ruffini si ha :
(
x−1)
(
x3 +x2 −x−1)
=0 ⇒(
x−1) (
[
x2 x+1) (
− x+1)
]
=0 ⇒(
x−1)(
x+1)
(
x2−1)
=0che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .
da cui : ± = ⇒ > = ∆ ⇒ = − − = = ⇒ = − = + = − 1 0 4 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 2 1 2 2 x x x x x x x
e quindi riassumendo le soluzioni sono :
(
−1;+1)
+ 1 0 - 2 0 + 1
x = + 1 + 1 + 1 - 1 - 1 + 1 + 1 - 1 - 1 0
Avremmo potuto anche risolvere l'equazione come biquadratica : x4 −2x2 + =1 0 posto 2 1 0 0 1 2 1 2 2 = ⇒ − + = ∆= ⇒ = t poichè t t t x e risostituendo : x2 =1 ⇒ x=±1
Sarebbe stato più semplice se da subito avessimo notato che :
(
)
(
)(
)
± = ⇒ = − ± = ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − ⇒ = + − 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 4 x x x x x x x x x 44. x3 −2x−21=0 Applicando Ruffini si ha :(
x−3)
(
x2+3x+7)
=0 che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .da cui : ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ = + + = ⇒ = + + = − x x x x x x x 0 19 0 7 3 3 0 7 3 0 3 2 2
e quindi riassumendo le soluzioni sono :
( )
3+ 1 0 - 2 - 21 x = + 3 + 3 + 9 + 21 + 1 + 3 + 7 0
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA45. 0−3x3 −2x2−16= Applicando Ruffini si ha :
(
x+2)
(
−3x2 +4x−8)
=0 che per l'appunto definisce una equazione fattoriale .da cui : ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ = + − − = ⇒ = − + − = + x x x x x x x 0 20 4 0 8 4 3 2 0 8 4 3 0 2 2 2
e quindi riassumendo le soluzioni sono :
( )
−246. x4 −3x2 +2=0 posto = = = ± = ⇒ > = ∆ = + − ⇒ = 1 2 2 1 3 0 1 0 2 3 2 1 2 1 2 2 t t t poichè t t t x e risostituendo : ± = ± = ⇒ = = 1 2 1 2 2 2 x x x x 47. x3 −2x4 =0
(
)
= ⇒ = − = ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − 2 1 0 2 1 ) . ( 0 0 0 2 1 0 2 3 3 4 3 x x tripla sol x x x x x x - 3 - 2 0 - 16 x = - 2 + 6 - 8 + 16 - 3 + 4 - 8 0?
?
?
48. x3 +8=0
(
)
(
)
ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ = + − − = ⇒ = + − = + ⇒ = + − + ⇒ = + ⇒ = + x x x x x x x x x x x x 0 3 4 0 4 2 2 0 4 2 0 2 0 4 2 2 0 2 0 8 2 2 2 3 3 3molto più semplicemente :
2 2 8 8 0 8 3 3 3 3 3+ = ⇒ =− ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − x x x x x 49. x 4 −16=0
( )
(
)(
)
ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ ⇒ = + ± = ⇒ = + = − ⇒ = + − ⇒ = − ⇒ = − x x x x x x x x x 0 4 0 4 2 0 4 0 4 0 4 4 0 4 0 16 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 4molto più semplicemente :
x4−16=0 ⇒ x4 =16 ⇒x=±416 ⇒x=±4 24 ⇒ x=±2 50. x5 +1=0 x5 +1=0 ⇒ x5 =−1 ⇒ x=5 −1 ⇒ x=−1
?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDARisolvere le seguenti equazioni fratte : 51. x x x x x 2 3 2 2 1 0 − − − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
± = ⇒ = + − = = + − ⇒ = + − = + − ≠ ⇒ ≠ − ≠ ⇒ ≠ ≠ − ⇒ = − + − = − + − + − − ⇒ = − − − − − ⇒ = − − − − 2 3 0 7 6 0 0 7 6 0 7 6 0 7 6 : 1 0 1 0 0 2 0 1 2 0 1 2 7 6 0 1 2 4 2 3 3 0 1 2 2 2 1 3 0 1 2 2 3 2 1 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 x x x x x x x x x x x x x ha si x x x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono: =3± 2
2 1 x 52. 3 1 4 1 2 x x x x + − = −
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
: 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 4 1 3 1 4 1 1 3 0 1 4 1 1 3 1 4 1 3 2 = ⇒ = − ≠ ⇒ ≠ − ≠ ⇒ ≠ ≠ − ⇒ = − − = − − + ⇒ − = − + ⇒ = − = − + ⇒ − = − + x x ha si x x x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono:
(
∀/x∈ℜ)
?
53. − +2 2+4 = +2 2 x x x x
{
ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ = + − ⇒ = + − ≠ ⇒ ≠ ≠ ⇒ = + − = + − − − ⇒ + = + + − ⇒ + = + + − x poichè e x x x x ha si x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 19 0 4 6 7 0 4 6 7 : 0 0 2 0 2 0 2 4 6 7 0 2 4 2 4 8 2 2 2 8 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 54. 3 3 1 1 3 2 x x x x −− +− = −(
) (
)
(
)
(
(
)(
)
)
(
)
(
)
(
)
ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ = + − ⇒ = + − ≠ ⇒ ≠ − ⇒ = − + − − + − = − + − − ⇒ − − − = − − − − ⇒ − = + − − − x poichè e x x x x ha si x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 3 4 0 1 4 7 0 1 4 7 : 0 0 1 0 1 2 1 4 7 1 2 4 3 1 2 2 6 6 6 1 2 1 3 1 2 1 3 2 1 6 2 3 1 1 3 3 2 2 2 2 2 55. x x x x 2 4 1 1 5 2 − − − + =(
) (
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
)
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
2 1 0 2 4 0 6 12 6 : 1 , 2 0 1 2 0 1 2 2 6 12 6 1 2 2 2 5 1 2 2 2 3 2 1 2 2 1 2 5 1 2 2 1 2 2 1 2 5 1 1 4 2 2 1 2 2 2 2 2 ± = ⇒ > = ∆ = + + − − ≠ ≠ ⇒ ≠ + − ⇒ = + − + + − ⇒ + − − − = + − + − − + ⇒ + − + − = + − − − − + ⇒ = + − − − x poichè e x x ha si x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono: =1± 2
2 1 x
?
?
?
RISOLVI NASCONDI INDICE ESERCIZI GUIDA56. 3 5 2 3 2 2 − + + = x x x x
(
) (
)
− = + = = ± = ⇒ > = ∆ = − − ⇒ = − − ≠ ⇒ ≠ ⇒ = − − = + + − ⇒ = + + − ⇒ = + + − 5 21 2 8 5 21 2 8 5 21 2 8 0 84 4 0 4 16 5 0 4 16 5 : 0 0 2 0 2 4 16 5 2 3 2 4 10 2 6 2 3 2 2 5 2 3 2 2 3 2 5 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x poichè e x x x x ha si x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono:
± = 5 21 2 8 2 1 x 57. x x x + − − = 3 3 1 2 2
(
) (
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
− = + = = ± = ⇒ > = ∆ = − − ⇒ = − − ≠ ≠ ⇒ ≠ − ⇒ = − − − − − = − + − + ⇒ − − = − − − + ⇒ = − − + 4 313 17 4 313 17 4 313 17 0 313 0 3 17 2 0 3 17 2 : 3 , 0 0 3 2 0 3 2 3 17 2 3 2 12 4 3 2 3 6 2 3 2 3 4 3 2 3 3 2 2 2 1 3 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x poichè e x x x x ha si x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono:
= ± 4 313 17 2 1 x
?
?
58. 4 3 3 4 3 4 − − = − − x x x
(
)
(
)(
)
(
(
)(
)(
)
(
)
)
(
(
)(
)
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
ℜ ∈ ∀/ ⇒ < − = ∆ = + − ⇒ = + − ≠ ≠ ⇒ ≠ − − ⇒ = − − + − − − + − = − − + − ⇒ − − − − − − = − − − ⇒ − − = − − x poichè e x x x x ha si x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 111 0 64 41 7 0 64 41 7 : 3 , 4 0 3 4 0 3 4 4 64 41 7 3 4 4 9 3 3 4 4 8 16 4 3 4 4 3 12 4 3 3 3 4 4 4 4 4 3 4 3 3 4 2 2 2 2 2 2 59. 2 2 1 4 1 1 2 − + + − − + = x x x x x(
)(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 1 0 2 4 0 1 2 0 3 6 3 : 1 0 1 0 1 3 6 3 1 1 2 1 4 3 4 2 1 1 1 1 4 2 1 1 4 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ± = ⇒ > = ∆ = − − ⇒ = − − − ≠ ⇒ ≠ + ⇒ = + − − + + + = + − − + − ⇒ + + = + + − − − ⇒ = + − − + + − x poichè e x x x x ha si x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono: =1± 2
2 1 x 60. x x x x + + − = − 9 3 2 4 2
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
(
(
)(
)
)
(
)(
) (
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
− = = = ± − = ⇒ > = ∆ = − + ⇒ = − + − ≠ ≠ ⇒ ≠ + − ⇒ = + − − + + − + = + − + − ⇒ + − + = + − + − − + − ⇒ − = − + + 6 3 1 6 361 17 0 361 0 6 17 3 0 6 17 3 : 3 , 2 0 3 2 0 3 2 6 17 3 3 2 12 4 3 2 6 5 3 2 3 4 3 2 3 2 2 9 2 2 4 2 3 9 2 1 2 1 2 2 2 2 2 x x x poichè e x x x x ha si x x x x posto x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xe quindi le soluzioni sono:
= =− 6 , 3 1 2 1 x x