9 L'ELLISSE

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L’ELLISSE

1. L’ellisse come luogo geometrico.

2. Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse x. 3. Le proprietà dell’ellisse.

4. Calcolo dei semiassi, dei vertici, dei fuochi e rappresentazione grafica. 5. Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse y.

6. Calcolo dei semiassi, dei vertici, dei fuochi e rappresentazione grafica. 7. L’eccentricità dell’ellisse.

8. Area e lunghezza dell’ellisse.

9. Intersezioni dell’ellisse con una retta.

10. Le rette tangenti ad un’ellisse e passanti per un punto. 11. Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse. 12. Equazione parametrica dell’ellisse.

13. Proprietà ottica dell’ellisse. 14. Curve deducibili dall’ellisse. 15. Domini piani limitati da ellissi. 16. Ellissi simmetriche.

17. Ellissi traslate.

18. Calcolo del centro, dei semiassi, dei vertici e dei fuochi di un’ellisse generica. 19. Problemi vari sull’ellisse.

1. L'ellisse come luogo geometrico

L'ellisse è il luogo geometrico dei punti P del piano cartesiano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, F1 ed F2, detti fuochi.

Il punto medio tra i fuochi si chiama centro dell'ellisse.

Per disegnare un'ellisse si fissano due chiodi nella posizione dei fuochi, si prende una corda di lunghezza maggiore della distanza tra i fuochi, si fissano le estremità della corda ai chiodi e si fa scorrere la penna lungo la corda tenendola tesa. La figura che si ottiene è un'ellisse.

Si può osservare che quando i fuochi sono lontani l'ellisse è più schiacciata, se i fuochi sono più vicini l'ellisse è meno schiacciata, se i fuochi coincidono si ottiene una circonferenza.

Per ottenere l’equazione cartesiana dell’ellisse, generalmente si considera un’ellisse che ha il centro nell'origine degli assi ed i fuochi disposti sull'asse x oppure sull'asse y. In questo modo l’equazione dell’ellisse risulta molto più semplice.

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2. EQUAZIONE DELL'ELLISSE CON I FUOCHI SULL'ASSE X

Come esempio particolare, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse x, F1(-3;0) ed F2(3;0) e la somma delle distanze dai fuochi d1+d2=10. (Osservare che F₁F₂ =6d₁+d₂ =10 perché in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse. Per definizione di ellisse deve risultare: F₁P+ PF₂ =10

Cioè

(

x+3

) (

2+ y−0

)

2 +

(

x−3

) (

2 + y−0

)

2 =10 si sviluppano i prodotti notevoli; x2 +6x+9+y2 + x2−6x+9+y2 =10 si porta un radicale al 2° membro;

x2+6x+9+y2 =10− x2 −6x+9+ y2 si elevano i due membri al quadrato;

2 2 2 2 2 2 9 6 20 9 6 100 9 6x y x x y x x y x + + + = + − + + − − + + si semplifica; 2 2 9 6 20 6 100

6x= − x− x − x+ +y si porta il radicale al 1° membro e gli altri termini al 2° membro; 20 x2 −6x+9+ y2 =100−12x si divide per 4; 5 x2 −6x+9+y2 =25−3x si eleva al quadrato; 25

(

x2−6x+9+y2

)

=625−150x+9x2 si moltiplica; 25x2−150x+225+25y2 =625−150x+9x2 si semplifica;

→



P



x

y



1 F F2

(3)

25x2+225+25y2 =625+9x2 si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

25x2−9x2 +25y2 =625−225 si sommano i termini simili;

16x2+25y2 =400 si divide per 400 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

400 400 400 25 400 16 2 2 = + y x si trasforma e si semplifica; 1 25 400 16 400 2 2 = + y x si semplificano le frazioni; 1 16 25 2 2 = + y x

equazione finale dell’ellisse.

In generale, se i fuochi si trovano sull’asse x, la distanza tra i fuochi si indica con 2c e la somma delle distanze di P dai fuochi si indica con 2a.

Cioè risulta: F1F2 =2c e F1P+F2P=2a

Poiché in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, deve essere: 2c < 2a, cioè c < a

Come caso generale, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse x, F1(-c;0) ed F2(c;0) e la somma delle distanze dai fuochi

d1+d2=2a. (con c < a)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse.

Per definizione di ellisse deve risultare: F1P+F2P=2a

Cioè

(

x+c

) (

2+ y−0

)

2 +

(

x−c

) (

2+ y−0

)

2 =2a si sviluppano i prodotti notevoli; x2+2cx+c2+ y2 + x2−2cx+c2+y2 =2a

si porta un radicale al 2° membro;

2 2 2 2 2 2

2 2

2cx c y a x cx c y

x + + + = − − + + si elevano i due membri al quadrato;

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2cx c y a x cx c y a x cx c y x + + + = + − + + − − + + si semplifica;

(4)

2cx=4a2−2cx−4a x2 −2cx+c2 +y2 si porta il radicale al 1° membro e gli altri termini al 2° membro; 4a x2−2cx+c2 +y2 =4a2 −4cx si divide per 4; a x2−2cx+c2+y2 =a2 −cx si eleva al quadrato; a2

(

x2−2cx+c2+y2

)

=a4−2a2cx+c2x2 si moltiplica; a2x2−2a2cx+a2c2+a2y2=a4−2a2cx+c2x2 si semplifica;

a2x2 +a2c2 +a2y2 =a4+c2x2 si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

a2x2−c2x2+a2y2 =a4 −a2c2 si raccoglie a fattore comune;

x2

(

a2 −c2

)

+a2y2 =a2

(

a2−c2

)

Siccome a > c, risulta anche a2 > c2 e quindi a2- c2 > 0

Per ottenere una equazione più semplice si pone a2_{- c}2_=b2_{e risulta:}

x2b2+a2y2 =a2b2 si divide per a2 b2 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a y a b a b x = + si semplifica e si ottiene: ₂ 1 2 2 2 = + b y a x

che è l’equazione canonica (in forma normale) dell’ellisse.

Conoscendo l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse x, si può determinare l’equazione di qualunque ellisse senza applicare la definizione, ma semplicemente ricordando che: _b2 =_a2 −_c2

Ad esempio, per scrivere l’equazione dell’ellisse con F1(-3;0) ed F2(3;0) e la somma delle distanze dai fuochi d1+d2=10, si può osservare che:

c=3 ;

2a=10 e quindi a=5; b2=a2-c2=25-9=16

quindi l’equazione canonica: ₂ 1

2 2 2 = + b y a x diventa: 1 16 25 2 2 = + y x

(5)

3. Le proprietà dell’ellisse.

4. Calcolo dei semiassi, dei vertici, dei fuochi e rappresentazione grafica.

5. Equazione dell'ellisse con i fuochi sull'asse y

Come esempio particolare, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse y, F1(0;-3) ed F2(0;3) e la somma delle distanze dai fuochi d1+d2=10.

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse. Per definizione di ellisse deve risultare: F1P+ PF2 =10

Cioè

(

x−0

) (

2+ y+3

)

2 +

(

x−0

) (

2+ y−3

)

2 =10 si sviluppano i prodotti notevoli; x2 +y2 +6y+9+ x2 +y2 −6y+9=10 si porta un radicale al 2° membro;

x2 +y2 +6y+9 =10− x2+ y2−6y+9 si elevano i due membri al quadrato;

x2 +y2 +6y+9=100+x2+y2−6y+9−20 x2 +y2−6y+9 si semplifica;

6y=100−6y−20 x2+y2−6y+9 si porta il radicale al 1° membro e il resto al 2° membro;

20 x2+y2−6y+9 =100−12y si divide per 4;

5 x2+y2−6y+9 =25−3y si eleva al quadrato;

25

(

x2+y2−6y+9

)

=625+9y2−150y si moltiplica;

25x2 +25y2 −150y+225=625+9y2 −150y si semplifica;

25x2+25y2+225=625+9y2 si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y;

25x2 +25y2 −9y2 =625−225 si sommano i termini simili;

25x2+ y16 2 =400 si divide per 400 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

400 400 400 16 400 25 2 2 = + y x si trasforma e si semplifica; 1 16 400 25 400 2 2 = + y x si semplificano le frazioni; 1 25 16 2 2 = + y x

equazione finale dell’ellisse.

(6)

In generale, se i fuochi si trovano sull’asse y, la distanza tra i fuochi si indica con 2c e la somma delle distanze di P dai fuochi si indica con 2b.

Cioè risulta: F₁F₂ =2c e F₁P+F₂P=2b

Poiché in un triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due, deve essere: 2c < 2b, cioè c < b

Come caso generale, applichiamo la definizione di ellisse per trovare l’equazione dell’ellisse avente il centro nell’origine degli assi, i fuochi sull’asse y, F1(0;c) ed F2(0;-c) e la somma delle distanze dai fuochi

d1+d2=2b. (con b>c)

Indichiamo con P(x;y) un punto generico dell’ellisse. Per definizione di ellisse deve risultare: F1P+F2P=2b

Cioè

(

x−0

) (

2 + y−c

)

2 +

(

x−0

) (

2+ y+c

)

2 =2b si sviluppano i prodotti notevoli; x2 +y2+c2−2cy + x2+y2 +c2 +2cy =2b si porta un radicale al 2° membro; x2 +y2+c2−2cy =2b− x2 +y2+c2+2cy si elevano i due membri al quadrato; x2+ y2 +c2 −2cy=4b2+x2 +y2 +c2+2cy−4b x2+y2 +c2 +2cy

si semplifica; −2cy=4b2+2cy−4b x2 +y2+c2 +2cy si porta il radicale al 1° membro e il resto al 2° membro; 4b x2 +y2+c2+2cy =4b2+4cy si divide per 4; b x2 +y2+c2 + cy =b2+cy 2 si eleva al quadrato; b2

(

x2 +y2+c2+2cy

)

=b4+2b2cy+c2y2 si moltiplica; b2x2 +b2y2+b2c2+2b2cy=b4+2b2cy+c2y2 si semplifica;

b2x2+b2y2 +b2c2 =b4 +c2y2 si portano al 1° membro tutti i termini che contengono x ed y; b2x2+b2y2 −c2y2 =b4 −b2c2 si raccoglie a fattore comune;

b2x2+y2

(

b2 −c2

) (

=b2 b2−c2

)

Siccome b>c, risulta anche b2>c2 e quindi b2-c2 >0

Per ottenere una equazione più semplice si pone b2-c2 =a2 e risulta:

b2x2+y2a2 =b2a2 si divide per b2 a2 in modo da ottenere 1 al 2° membro;

₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b a b a y a b a b x ₊ ₌ si semplifica e si ottiene:

(7)

₂ 1 2 2 2 = + b y a x

che è l’equazione canonica (in forma normale) dell’ellisse.

L’equazione è simile a quella dell’ellisse con i fuochi sull’asse y ma, in questo caso, il termine contenente y2 ha il denominatore maggiore essendo b2>a2.

Conoscendo l’equazione canonica dell’ellisse con i fuochi sull’asse y, si può determinare l’equazione di qualunque ellisse senza applicare la definizione, ma semplicemente ricordando che: 2 2 2

c b a = −

Ad esempio, per scrivere l’equazione dell’ellisse con F1(0;-3) ed F2(0;3) e la somma delle distanze dai fuochi d1+d2=10, si può osservare che:

c=3 ;

2b=10 e quindi b=5; a2=b2-c2=25-9=16

quindi l’equazione canonica: ₂ 1

2 2 2 = + b y a x diventa: 1 25 16 2 2 = + y x

6. Calcolo dei semiassi, dei vertici, dei fuochi e rappresentazione grafica.

7. L’eccentricità dell’ellisse.

8. Area e lunghezza dell’ellisse.

9. Intersezioni dell’ellisse con una retta.

(8)

11. Condizioni per determinare l’equazione di un’ellisse. Poiché nell’equazione dell’ellisse: ₂ 1

2 2 2 = + b y a x

Compaiono i due coefficienti a, b per determinare l’equazione di un’ellisse sono necessarie due equazioni, che si possono dedurre conoscendo alcune condizioni sull’ellisse.

Queste condizioni possono essere: - passaggio per un punto;

- conoscenza di un fuoco; - conoscenza di un vertice; - conoscenza dell’eccentricità;

- conoscenza di una retta tangente. Es pag 407

12. Equazione parametrica dell’ellisse.

È un’equazione che contiene un parametro k e rappresenta un insieme di ellissi (detto fascio di ellissi) al variare di k.

Imponendo una condizione sull’ellisse si può calcolare il valore di k corrispondente e determinare l’ellisse del fascio che verifica la condizione data.

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13. Proprietà ottica dell’ellisse.

Immaginando di far ruotare un’ellisse di 180° intorno all’asse maggiore si ottiene una curva nello spazio che si chiama ellissoide.

Supponendo che la superficie interna sia riflettente, se poniamo una sorgente luminosa nel fuoco F1 i suoi raggi luminosi emessi in tutte le direzioni quando incidono sulla superficie dell’ellissoide vengono riflessi in modo tale da convergere nel fuoco F2.

Viceversa, se poniamo una sorgente luminosa nel fioco F2 i raggi luminosi emessi, dopo la riflessione sulla superficie dell’ellissoide, si concentrano sul fuoco F1.

14. Curve deducibili dall’ellisse.

Sono grafici di funzioni che si rappresentano nel piano cartesiano con dei tratti di ellisse.

Algebricamente si rappresentano con una funzione che si può ricondurre all’equazione di un’ellisse.

Per esempio tracciare il grafico della funzione: y = 1−4x2

Essendo il secondo membro positivo o nullo, anche il primo membro deve esserlo, perciò risulta y0. Elevando i due membri al quadrato si ottiene: y2 =1−4x2.

La funzione data è perciò equivalente al sistema:    − =  2 2 4 1 0 x y y    = +  1 4 0 2 2 y x y       = +  1 4 1 0 2 2 y x y

L’equazione rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse y, avente:

2 1 4 1 2 ₌ _ ₌ a a b2 =1b=1 2 3 4 3 4 1 1 2 2 2 = − = − =  = c a b c I vertici sono:      − 0; 2 1 1 A       0 ; 2 1 2 A B1

(

0; −1

)

B2

( )

0; 1

Sui disegna l’ellisse tratteggiata e poi si evidenzia a tratto pieno solo la parte di essa che si trova sopra l’asse

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15. Domini piani limitati da ellissi.

Sono domini del piano cartesiano formati da tutti i punti del piano le cui coordinate verificano una disequazione o un insieme di disequazioni, in cui si riconosce l’equazione di un’ellisse.

Per esempio rappresentare il dominio caratterizzato da questa disequazione: 1 2 4 2 2  + y x

Invece della disequazione, consideriamo l’equazione: 1 2 4 2 2 = + y x

L’equazione rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse x avente: a=2; b= 2

2 2 2 4 2 2 2 = − = − =  = c a b c

(

2; 0

)

1 − A A2

(

2; 0

)

B1

(

0; − 2

)

B2

(

0; 2

)

F1

(

− 2; 0

)

F2

(

2; 0

)

Il dominio piano è formato da tutti i punti del piano che si trovano fuori dall’ellisse.

Infatti se prendiamo per esempio il punto O

(

0; 0

)

e sostituiamo le sue coordinate nella disequazione si ottiene: 0 1 e la disequazione non è verificata.

16. Ellissi simmetriche.

L’ellisse simmetrica ad una data ellisse rispetto ad un asse di simmetria o ad un punto di simmetria, si ottiene applicando all’ellisse le equazioni della simmetria.

Per

17. Ellissi traslate.

18. Calcolo del centro, dei semiassi, dei vertici e dei fuochi di un’ellisse generica.

19. Problemi vari sull’ellisse.

CURVE DEDUCIBILI DALL’ELLISSE