Programma dettagliato del corso di Matematica Generale C.d.L. Statistica per i Big Data
a.a. 2020/2021
Docente: Prof.ssa Giovanna Bimonte Risultati di apprendimento attesi
Gli studenti dovranno conoscere le nozioni fondamentali di algebra lineare, del calcolo dif-ferenziale e integrale nonch´e le nozioni di base dell’ottimizzazione. Gli studenti dovranno essere in grado di utilizzare gli strumenti matematici appresi per comprendere e risolvere problemi di reali. Gli studenti dovranno acquisire capacit`a analitiche e critiche in merito agli strumenti e alle regole sviluppate. Gli studenti dovranno essere in grado di enunciare e dimostrare teoremi e di sostenere, in modo chiaro ed efficace, una discussione orale con opportuni riferimenti ai contenuti del corso.
Programma del corso1
I Strutture
1 Insiemi e numeri
1.1 Insiemi 1.1.1 - Sottoinsiemi: Definizione 1.
1.1.2 - Operazioni: unione, intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Definizioni. Propo-sizione 4, con dimostrazione. PropoPropo-sizione 8, con dimostrazione.
1.1.3 - Propriet`a delle operazioni: Proposizioni e definizioni. Proposizione 14, con dimostrazione.
1.2 Numeri: introduzione intuitiva Insiemi numerici: N , Z, Q, R. Teorema 17, con di-mostrazione. Struttura d’ordine in R.
1.3 Massimi e minimi Definizioni. Insieme Superiormente e inferiormente limitato. Massimo e minimo di un insieme. Proposizione 24 - Unicit`a del massimo e minimo di un insieme, con dimostrazione.
1.3.2 - Estremi superiore e inferiore, definizione. Sup e Inf di un insieme. Teorema 28 - Teorema di completezza dei reali, con dimostrazione.
1.3.3 - Densit`a: definizione. Densit`a di Q in R, Proposizione 30. 1.4 Potenze e logaritmi 1.4.1 - Potenze, propriet`a.
1.4.2 - Logaritmi, propriet`a. 1.5 La retta reale estesa 2 Struttura cartesiana e Rn
2.1 Prodotti cartesiani e Rn Definizione ed esempi.
2.2 Operazioni in Rn Operazioni con i vettori di Rn. Propriet`a delle operazioni: Proposizioni 36 e 37. Prodotto interno: definizione e propriet`a, Proposizione 38.
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Le dimostrazioni dei teoremi si riferiscono al libro di testo (1) adottato e riportato nel programma. Un piccolo approfondimento `e rimandato alla breve dispensa disponibile sulla pagina web del corso.
2.3 Struttura d’ordine in Rn Definizione di struttura d’ordine su Rn. Porpiet`a; riflessiva,
transitiva, indipendenza, separazone. Intervalli in Rn. 3 Struttura lineare
3.2 Indipendenza e dipendenza lineari Definizione di dipendenza e indipendenza lineare tra vettori. Esempi.
4 Struttura euclidea
4.1 Valore assoluto e norma Definizione. 4.1.1 - Prodotto interno 4.1.2 - Valore assoluto
4.1.3 - Norma
Proposizione 94 sulle propriet`a della norma, con dimostrazione. Corollario 96 5 Struttura topologica
5.1 Distanze Definizione e relazione con la norma. Disuguaglianza triangolare, norma eu-clidea. Proposizione 107, propriet`a della distanza euclidea.
5.2 Intorni Definizione in R e in Rn. Esempi. Intorno destro e sinistro. Proposizione 112 - Condizione necessaria e sufficinete estremo superiore e maggiorante di un insieme, con di-mostrazione
5.3 Tassonomia dei punti di Rn rispetto a un insieme 5.3.1 - Punti interni e di frontiera, definizione. Gli insiemi intA, ∂A. Lemma 118. Punti isolati: definizione e propriet`a. Lemma 121.
5.3.2 - Punti di accumulazione, definizione. L’insieme A0. Lemma 123 - relazione tra punti interni e di frontiera con i punti di accumulazione, con dimostrazione. Proposizione 126.
5.4 Insiemi aperti e chiusi Definizione di insieme aperto ed esempi. Lemma 130: gli in-torni di Rn sono aperti. Chiusura di un insieme. Definizione di insieme chiuso. Teorema 138: Complementare di un aperto. Esempio 141. Corollario 144: chiuso e punti di accumulazione. 5.5 Stabilit`a insiemistica Unione finita e infinita di aperti e chiusi; Intersezione finita e infinita di aperti e chiusi. Teorema 149 e Corollario 150.
5.6 Insiemi compatti Insiemi limitati: definizioni (151 e 152). Insieme Compatto.
II Funzioni
6 Funzioni
6.1 Il concetto Definizione ed esempi: costruzione. Dominio, Codominio, Immafine. Classi di funzioni. Grafico di una funzione.
6.3 Propriet`a generali 6.3.1 - Controimmagini e curve di livello. Definizione di controim-magine. Curve di Livello. Esempi.
6.3.2 - Algebra delle funzioni. Definizione della funzione somma, prodotto e rapporto. 6.3.3 - Composizione. Funzioni composte
6.4 Classi di funzioni 6.4.1 - Funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Test delle rette. Propo-sizione 185 e cardinalit`a degli insiemi.
6.4.3 - Funzioni limitate. Definizione. Lemma 191.
6.4.4 - Funzioni monotone. Definizione. Proposizione 194 - Monotonia e iniettivit`a. Propo-sizione 196. Funzioni monotone su Rn.
6.4.5 - Funzioni concave e convesse (anteprima). Definizioni.
6.5 Funzioni elementari su R Definizione e propriet`a delle funzioni elementari: polinomiali, logaritmiche, esponenziali
6.6 Massimi e minimi di funzione (anteprima) Definizione e propiet`a. 6.7 Domini e restrizioni Cenni.
8 Successioni
8.1 Il concetto Definizione ed esempi.
8.2 Lo spazio delle successioni R∞, lo spazio delle successioni reali. Successione somma, differenza, prodotto e rapporto. Struttura d’ordine su R∞.
8.4 Immagini e classi di successioni Successioni limitate, successioni monotone. Definizione di propriet`a definitivamente goduta da una successione.
8.5 Limiti: esempi introduttivi Definizione.
8.6 Limiti e comportamento asintotico 8.6.1 - Convergenza. Definizione 254 (1-distanza) e 255 (2-intorno) di succesione convergente.
8.6.2 - Limiti per eccesso e per difetto. Esempi.
8.6.3 - Divergenza. Definizione di successione divergente positivamente e negativamente. Propo-sizione 264 - Successione divergente, con dimostrazione.
8.7 Propriet`a dei limiti Teorema 269 - Unicit`a del limite, con dimostrazione. Teorema 271 - Permanenza del segno, con dimostrazione. Proposizioni 272 e 273.
8.7.1 - Monotonia e convergenza: Poposizione 274. Teorema 275 e successioni regolari.
8.8 Algebra dei limiti e limiti notevoli 8.8.1 - Le (molte) certezze. Somma di successioni. Proposizione 288, limite della successione rapporto. Proposizione 290, limiti delle funzioni ele-mentari.
8.8.2 - Alcuni limiti notevoli.
8.8.3 - Forme di indeterminazione per i limiti, esempi. 0/0, ∞ − ∞, − + ∞/ − +∞: risoluzione tramite scomposizione dei polinomi o propriet`a dei logaritmi e delle potenze.
8.8.4 - Tabelle riassuntive. Tutti i tipi di forme indeterminate.
8.9 Criteri di convergenza Teorema 291 - Criterio del confronto, con dimostrazione. teo-rema 296, Criterio del rapporto.
8.11 Il numero di Nepero Teorema 302 e numero di Nepero. Esempi e generalizzazione. 8.12 Ordini di convergenza e di divergenza 8.12.1 - Generalit`a. Terminologia di o piccolo. Definizione 304.
8.12.2 - Algebra dell’o piccolo. Proposizione 306. 8.12.3 - Equivalenza asintotica. Definizione.
8.12.5 - Terminologia: infiniti e infinitesimi, ordine superiore e inferiore. 8.12.6 - Scale di infiniti. Gerarchia.
8.13 Successioni in Rn Accenni sulle successioni in Rn, succesioni convergenti.
10 Limiti di funzioni
10.1 Esempi introduttivi Le funzioni elementari.
10.2 Funzioni scalari 10.2.1 - Limiti bilaterali. Definizione 349, limite di funzione (def.1). Definizione 352, limite di funzione (def.2). Definizione 353, limite di funzione (def.3). Definizione 354, limite di funzione divergente in un punto di accumulazione. Definizione 356, limite di fun-zione su insieme superiormente limitato. Definifun-zione 358, limite di funfun-zione divergente su insieme non limitato superiormente.
10.2.2 - Limiti unilaterali. Definizioni 360, 361, 363.
10.2.3 - Relazioni tra limiti unilaterali e bilaterali. Proposizione 365. 10.2.5 - Asintoti orizzontali e verticali.
10.4 Propriet`a dei limiti Proposizione 372 - Relazione tra limite di funzione e di successione. Teorema 375 - Unicit`a del limite, con dimostrazione. Teorema 376 - Della permanenza del segno, con dimostrazione. Teorema 377 - Criterio del confronto.
10.5 Algebra dei limiti Proposizione 380. 10.5.1 - Forme di indeterminazione per i limiti
10.6 Limiti elementari e limiti notevoli 10.6.1 - Limiti elementari 10.6.2 - Limiti notevoli
10.7 Ordini di convergenza e di divergenza 10.7.1 - Algebra dell’o piccolo. 10.7.2 - Equivalenza asintotica.
10.7.3 - Terminologia. 10.7.4 - Il solito bestiario.
11 Funzioni continue
11.1 Generalit`a Definizione. Proposizione 398. 11.2 Discontinuit`a Tipo di discontinuit`a.
11.3 Operazioni e composizione Proposizioni 408 e 409
11.5 Teorema di Weierstrass (anteprima)
11.6 Teorema dei valori intermedi Lemma 417. Teorema 418, dei valori intermedi di Darboux.
11.7 Limiti e continuit`a degli operatori
III Analisi lineare e non lineare
12 Funzioni e operatori lineari
12.2 Matrici 12.2.1 - Operazioni tra matrici e propriet`a. Matrice trasposta. 12.2.2 - Prodotto di matrici e prodotto interno. Propriet`a
12.4 Rango 12.4.2 - Rango di matrici. Definizione 469, Teorema 473. Approfondimenti sulla breve dispensa presente sulla pagina web del corso.
12.5 Operatori invertibili 12.5.2 - Matrice inversa. Corollario 486. Proposizione 487 Teorema di unicit`a dell’inversa, con dimostrazione.
12.6 Determinanti 12.6.1 - Definizione
12.6.2 - Propriet`a. Proposizione 495. Proposizione 496. Teorema 498 (determinante del prodotto di matrici).
12.6.3 - Teorema di Laplace. Matrice dei cofattori o dei complementi algebrici. Proposizione 500, sviluppo del determinante per linea.
12.6.4 - Inverse e determinanti. Teorema 505: Condizione Necessaria e sufficiente di invertibilit`a. 12.6.5 - Algoritmo di Kronecker. Definizione di minore orlato. Proposizione 510 (Kronecker).
12.7 Sistemi lineari quadrati Sistema possibile: esistenza delle soluzioni. Sistema determi-nato: unicit`a della soluzione. Teorema 512, di Cramer. Sistema omogeneo.
12.8 Sistemi lineari generali Sistema possibile e sistema determiinato. Matrice completa. Teorema 517, di Rouch´e-Capelli. Proposizione 520, sistema determinato e indeterminato. 12.9 Risoluzione di sistemi: metodo di Cramer Quadratura dei sistemi lineari e rango. Sistema ridotto equivalente (vedi dispensa).
13 Funzioni concave
13.1 Insiemi convessi Definizione ed esempi. Proposizione 529 e 530.
13.2 Funzioni concave Definizione ed esempi. Generalizzazione di funzione concava e con-vessa: Disuguaglianza di Jensen.
14 Problemi di ottimo
Definizione di massimo eminimo locale e globale per funzioni da Rn a R. Esempi. Teorema 572 - di Weierstrass.
IV Calcolo differenziale
15 Derivate
15.1 Definizione Rapporto incrementale. Definizione di derivabilit`a per una funzione reale. Verifica della derivabilit`a di una funzione in un punto per mezzo del rpporto incrementale. 15.1.1 Osservazioni
15.2 Interpretazione geometrica Retta tangente al grafico in un punto. Equazione della retta tangente al grafico.
15.3 Funzione derivata Definizione ed esempi.
15.4 Derivate unilaterali Derivate a destra e sinistra di un punto. Esempi.
15.5 Derivabilit`a e continuit`a Relazione tra derivabilit`a e continuit`a di una funzione in un punto. Proposizione 596 - Derivabilit`a e continuit`a, con dimostrazione. Esempi di funzioni continue e non derivbili.
15.6 Derivate delle funzioni elementari Derivate di tutte le funzioni elementari e loro propriet`a: Proposizioni 597 e 598. Proposizione 613. Costruzione della derivata delle funzioni elementari per mezzo del rapporto incrementale.
15.7 Algebra delle derivate Derivate di somma e differenza di funzioni, derivata del prodotto di funzioni, derivata del quoziente di funzioni: Proposizioni 600, 601 e 602. Esempi.
15.8 La regola della catena Derivata delle funzioni composte: la regola della catena. Propo-sizione 607. Esempi.
15.10 Formulario Formulario delle principali funzioni.
15.11 Differenziabilit`a e linearit`a Approssimazione per mezzo del differenziale. Costruzione del differenziale, interpretazione geometrica. Definizione di differenziabilit`a.
15.11.1 - Differenziale: Definizione ed esempi.
15.11.2 - Differenziabilit`a e derivabilit`a: equivalenza ed interpretazione geometrica. Esempi. 15.11.3 - Differenziabilit`a e continuit`a. Proposizione 620 - Differenziabilit`a e continuit`a, con dimostrazione
Funzioni di Classe C1, C2 e generalizzazione.
15.12 Derivate di ordine superiore Calcolo delle derivate di ordine superiore, esempi. 16 Derivazione parziale
16.1 Generalit`a Derivate parziali di funzioni in pi`u variabili. Costruzione del rapporto in-crementale per funzione di due o pi`u variabili. Esempi. Operatore derivata: definizione ed esempi.
16.4 Derivate parziali di ordine superiore Matrice Hessiana: definizione e costruzione. Teorema di Schwartz. Funzione di classe Cn.
17 Metodi differenziali
17.1 Estremi e punti critici 17.1.1 - Preambolo. Definizione e quadro teorico.
17.1.2 - Teorema 665 - di Fermat, con dimostrazione, Condizione necessaria del I ordine di ot-timalit`a. Esempi. Generalizzazione per funzioni di pi`u variabili, Teorema 668. Punti stazionari o punti critici del I ordine.
17.1.3 - Ottimi liberi: incipit. Definizione ed insieme aperto.
17.2 Teorema del valor medio Teorema 673 di Rolle, con dimostrazione, Teorema 675 -di Lagrange o del valor me-dio, con -dimostrazione.
17.4 Monotonia e derivabilit`a Richiamo alla definizione di monotonia per una funzione. Proposizione 686 - monotonia e segno della derivata in un punto, con dimostrazione. Propo-sizione 688 - I test di monotonia su un intervallo, con dimostrazione. PropoPropo-sizione 690 - Test di stretta monotonoia su un intervallo, con dimostrazione. Esempi.
17.5 Condizioni sufficienti per estremi 17.5.1 - Estremi locali: richiamo alla definizione ed esempi. Corollario 697.
17.5.2 - Ricerca di estremi locali: procedimento dettagliato per la ricerca di estremi locali. Es-empi.
17.5.3 - Ottimi liberi: caso scalare. Funzioni di una sola variabile, massimi e minimi liberi. Esempi.
17.5.4 - Estremi globali. Esempi.
17.6 Teorema e regola di Bernoulli-de l’Hospital Teorema 708, di Bernoulli- de l’Hospital, per la risoluzione dlele forme indeterminate.
17.6.1 - Forme di indeterminazione 00 e ∞∞. 17.6.2 - Altre forme di indeterminazione. Esempi e applicazioni.
18 Approssimazione
18.1 Approssimazione polinomiale di Taylor 18.1.1 - Sviluppi polinomiali: costruzione dell’approssimazione lineare. Relazione con la derivabilit`a e la differenziabilit`a. Definizione e generalizzazione con approssiazioni di grado k.
18.1.2 - Teorema di Taylor. Definizione del Polinomio di Taylor di grado k. Esempi e ricerca della migliore approssimazione. Polinomio di McLaurin.
18.2 Proposizione omnibus per estremi locali Proposizione 730 (Condizione sufficiente) per la ricerca di estremi locali con uso della derivata n-esima.
18.3 Procedura omnibus di ricerca di estremi locali Esempi.
18.4.3 Condizioni del II ordine per funzioni a pi`u variabili Teorema 748 sulla matrice Hessiana. Matrice Hessiana definita negativa e posititva.
18.4.4 Ottimi liberi: caso vettoriale Definizione del problema ed esempi. Metodologie di risoluzione.
19 Concavit`a e differenziabilit`a
Relazione tra la concavit`a della funzione e segno della derivata prima. Corollario 760, Test di concavit`a per funzioni derivabili. Corollario 762, Test di concavit`a per funzioni due volte derivabili.
20 Studio di funzioni Lettura e ripasso
20.1 Flessi Definizione di flesso. Esempi. Ricerca dei flessi: Proposizione 782. 20.2 Asintoti Definizione di asintoto. Esempi. Ricerca degli asintoti.
20.3 Studio di funzioni Metodologia ed esempi. 21 Ottimizzazione locale vincolata
21.1 Introduzione Definizione del problema di ottimo vincolato. 21.2 Il problema Esempi e definizioni.
21.3 Un vincolo Teorema 803, di Lagrange. Condizione necessaria del I ordine.
21.4 Metodo di Lagrange Funzione Lagrangiana. Punti stazionari per L. Metodologia ed esempi.
V Integrazione
22 Integrale secondo Riemann Introduzione al problema.
22.1 Plurirettangoli
22.2 Definizione Funzioni positive. Definizione di suddivisione di un intervallo. Pluriret-tangoli inscritti e circoscritti. Somma integrale inferiore e superiore. Definizione di fuznione integrale inferiore e superiore. Lemma 814. Definizione di funzione integrabile secondo Rie-mann.
22.4 Classi di funzioni integrabili Funzioni continue e integrabilit`a. Porposizione 833, continuit`a ed integrabilit`a.
22.5 Propriet`a dell’integrale Teorema 838, Corollari 839 e 840. Teorema 841. Teorema 844, della media integrale; Interpretazione geometrica.
22.6 Teorema fondamentale del Calcolo integrale 22.6.1 - Funzioni primitive, definizione. Esempi. Proposizione 848. Definizione di integrale definito.
22.6.2 - Formulario. Integrale delle funzioni elementari.
22.6.3 - Il Primo Teorema fondamentale del calcolo integrale, Teorema 852.
22.6.4 - Il Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale. Definizione di funzione integrale. Teorema 857.
22.7 Propriet`a dell’integrale indefinito Proposizioni 859, Proposizione 869, integrale per parti. Esempi.
22.8 Cambiamento di variabile Teorema 863, integrale per sostituzione. Esempi. 22.10 Integrali impropri Definizione ed esempi.
22.10.1 - Intervalli illimitati d’integrazione: generalit`a. Funzione integrabile in senso improprio: definizioni.
22.10.2 - Intervalli illimitati d’integrazione: propriet`a e criteri. Estensione delle propriet`a dell’integrale ad integrali impropri. Criteri di integrabilit`a in senso improprio: Proposizione 888. Esempi.
VI Appendice
C Elementi di logica intuitiva
C.1 Proposizioni e operazioni Negazione, Congiunzione, disgiunzione, condizionale e bi-condizionale
C.2 Equivalenza logica Cenni.
C.3 Teoremi e dimostrazioni C.3.1 - Generalit`a: implicazioni. Dimostrazione diretta, per contrapposizione e per assurdo.
C.3.2 - Reductio. Teorema 923, √2 /∈ Q C.3.3 - Terminologia
C.4 Predicati e quantificatori C.4.1 - Generalit`a. C.4.2 - Algebra.
C.4.3 - Esempio.
C.5 Induzione C.5.1 - Generalit`a. Principio di induzione e sue applicazioni. Esempi. Testo di riferimento.
(1) Castagnoli, Marinacci e Vigna - Principi di Matematica per l’Economia - Ed. Egea (2017)
(2) Piccola dispensa di approfondimento scaricabili dalla pagina web del corso, a.a. 2020-21: Breve introduzione al Rango e al Teorema di Rouch´e-Capelli. Autovalori e autovettori. https://docenti.unisa.it/uploads/rescue/385/6214/rango-sl-e-autovalori.pdf.
Ulteriore materiale didattico scaricabile dal sito del docente durante il corso. Metodi didattici:
Lezioni frontali, gruppi di studio o di lavoro, esercitazioni, discussioni in aula, interazione con il docente mediante posta elettronica e ricevimento studenti su piattaforma Microsoft Teams. Esercizi, prova scritta e prova orale.
La prova scritta comprender`a esercizi su tutto il programma. Sono ammessi all’orale tutti gli studenti che hanno ottenuto un voto sufficiente alla prova scritta. La prova orale com-prende un commento alla prova scritta, chiarimenti sugli esercizi svolti, definizioni ed enunciati, dimostrazione di uno o pi`u dei teoremi specificati nel programma.
Per il superamento dell’esame bisogna raggiungere la sufficienza sia nella prova scritta che in quella orale.
Fisciano, 23/12/2020
Il docente Prof.ssa Giovanna Bimonte
