Esercizi svolti di Fisica II
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(2) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— c) Analogamente, essendo Ez = LAB = +|e|. Z. B. A. σ 2ǫ0. ~ = σ |e| ~ · dr E 2ǫ0. Z. B. σ |e| = 9 · 10−18 J 2ǫ0. dz =. A. N.B. Il quesito b) si pu` o svolgere anche nel seguente modo: LAB = |e| dove r= Per cui: +|e|. p. Z. B. A. ~ ~ · dr E. ~ = 2k λ rˆ E r. con. x + y yˆ ~r ~ = 2kλ xˆ =⇒ E x2 + y 2 =⇒ rˆ = p x2 + y 2 x2 + y 2. B. A. Z. ~ = |e|2kλ ~ · dr E. Z. B. A. x dx + |e|2kλ 2 x + y2. Z. B. A. y dy + y2. x2. Poich`e l’integrale non dipende dal cammino percorso ed il campo non dipende da z come percorso scegliamo il seguente:. z.. ... ........ ....... .... .. .. .. ... ... .. .. ... .. ... .. ... ... .. .. . . ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... . . .. ... . .. . . .. . . .. .. .... .. .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................... . ..... ... .. .. .... . ... .. .. ..... ... . ... . . . . . . . . . . ..... .. .. ... .. ..... .. ... .. .. ..... ... ........ ... ... ... ........ ... ... ... ... ... ...................................... . . ... . . . . . .. .... ... ...... .. ..... ..... .... ..... .. .... ...... ..... ....... ... ... ... ............. ... ... ... ... ... ... ... ........ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........ .. .. .... ..... ..... . . . . . . ............ ...... A ≡ (1, 1, 1). B ≡ (2, 2, 2). A •. y. x. M. • B. n AM = 1 ≤ x ≤ 2 e. y=1. o. n MB = 1 ≤ y ≤ 2. x=2. o. e. ESFIS97 - 2.
(3) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— Segue +|e|. Z. B. A. ~ = |e|2kλ ~ · dr E. = |e|2kλ. Z. 2. 1. x dx + |e|2kλ x2 + 1. Z. 1. 2. y dy = 4 + y2. 2 2 1 1 ln(x2 + 1) 1 + |e|2kλ ln(4 + y 2 ) 1 = 2 2. 8 5 = kλ|e| ln 4 = = kλ|e| ln + ln 2 5 = 2kλ|e| ln 2. C.V.D.. ESFIS97 - 3.
(4) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-2) Esercizio n. 2 del 1/3/1997 Calcolare la carica totale e il vettore momento di dipolo di una sottile barra disposta lungo l’asse z (−a ≤ z ≤ +a) avente densit´ a lineare di carica λ = cz, essendo c una costante reale. ———————. z.. ... ...... ......... .. .. .. ... ... .. .. ... .. ... ... .. .. ... .. ... .. .......................................................................................................................... . . . . .. .. . . . . ..... .. ..... ..... ..... ... .... . . . ... . ... ... ..... . . . ... . .. . . . . .. . . ..... . . ... . . ... . .. ... ..... . . . . . .. . . . . .. . . . . . .... ........... . . . . .. .. +a − . .. .. .. .. .. .. .. .. −a −. y. x. Si ha: Q=. Z. ′. λ dr =. Z. +a. −a. ′. λ dz = c. Z. +a. z ′ dz ′ = c. −a. 1 ′2 +a 1 z −a = c a2 − a2 = 0 2 2. Quindi il momento di dipolo non dipende dall’ origine delle coordinate. p~ =. Z. V. r~′ ρ(r~′ )d3 r′ = cˆ z. Z. +a. −a. ′. ′. ′. z · z dz = cˆ z. 2 1 1 h i+a = zˆ c a3 + a3 = ca3 zˆ = zˆ c z ′3 3 3 3 −a. Se c > 0 allora p~ `e diretto verso z positivo.. ESFIS97 - 4. Z. +a. −a. z ′2 dz ′ =.
(5) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-3) Esercizio n. 3 del 1/3/1997 Il gas argo (Z=18), in condizioni di pressione e temperatura normali, ha una costante dielettrica relativa ǫr = 1, 00044. Calcolare il raggio dell’atomo di argon nonch´e lo spostamento fra il baricentro del nucleo e quello delle cariche negative quando l’atomo ´e sottoposto ad un campo elettrico esterno di modulo E = 104 V /m. ———————. A pressione normale (105 P a) e a temperatura normale (00 C) una mole di gas occupa un volume di 22.4 litri. Quindi il numero di atomi per unit`a di volume `e: NA : 22.4 · 10−3 = N : 1 =⇒ N =. NA 6 · 1023 atomi = = 2.68 · 1025 −3 −3 22.4 · 10 22.4 · 10 m3. Sia ǫr = 1.00044, calcoliamo la polarizzabilit`a α con la formula di Clausius-Mossotti: α=. 3ǫ0 (ǫr − 1) = 1.453 · 10−40 N (ǫr + 2). Del resto. 1 3 a =⇒ a = (kα)1/3 = 1.093 · 10−10 m k Lo spostamento b fra il baricentro del nucleo e quello delle cariche negative `e dato da: α=. b=. 1 a3 Eext = 0.5 · 10−22 Eext = 0.5 · 10−22 · 104 = 0.5 · 10−18 m k Ze. dove Z = 18. N.B.: Il calcolo del raggio non dipende da Z; mentre b dipende da Z.. ESFIS97 - 5.
(6) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-4) Esercizio n. 4 del 1/3/1997 ~ con velocit´ Un elettrone ´e iniettato in un campo di induzione magnetica B a v0 = 107 ~ m/s in una direzione giacente nel piano della pagina e formante un angolo di 300 con B. ~ perch´e l’elettrone passi per il punto P . Se la lunghezza l ´e 0.1 m, calcolare il valore di B ———————. .... .... ..... . . . . ..... 0........................................................................................................................ .... ...... .......... . . . . ...... ...... ........................................................................................................................ ....... ..... ..... 300 . . . . . ........ ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . ..... ...... ........................................................................................................................ .... .... . . . . . . . .... ........................................................................................................................ .... ..... B. v. • O. •P. l. ........................................................................................................................................................................................................................... L’elettrone descriver`a un’elica avente l’asse coincidente con la direzione del campo magnetico. Tale traiettoria incontrer`a il punto P dopo una distanza minima pari al passo dell’elica, cio`e: 2πm p = voz = 0.1 m qB √ −31 0 2πm 7 3 2π · 9.1 · 10 B = v0 cos 30 = 10 = 3.094 · 10−3 W b/m2 = 30.94 Gauss q · 0.1 2 1.6 · 10−19 · 0.1. ESFIS97 - 6.
(7) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-5) Esercizio n. 1 del 22/11/1997 Un elettrone ´e lanciato orizzontalmente con velocit´ a iniziale v0 = 107 m/s nel campo elettrico uniforme esistente fra due lastre conduttrici parallele. Il campo elettrico ´e diretto verticalmente verso il basso. L’elettrone entra nel campo elettrico in un punto a met´a distanza fra le due lastre. Determinare: a) l’intensit´ a del campo elettrico, se l’elettrone emergente dal campo sfiora l’elettrodo superiore; b) la direzione e la velocit´ a dell’elettrone quando esso emerge dal campo. ........................... 2 cm. ........................ .. ........ ... .......... ....−...................................... ~v0 ....... 1 cm . .. ......... ... ———————. Consideriamo un sistema di riferimento con l’asse x lungo la direzione ~v0 e con l’origine posta nella posizione iniziale dell’elettrone. ..................................... .. ....... .... 1 cm .. ...... .....−...................................... ......... .. ........ ..... 2 cm. ......................................... • punto di uscita. ... ... . ... ... ... .......... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... 0 .......... ... ~ E. ~v. x. Le equazioni del moto sono: x = v0 t ,. y=. 1 eE 2 1 eE x2 t =⇒ y = 2 m 2 m v02. Nel punto di uscita x = L e y = d, quindi: d=. 1 eE L2 2mv02 d 2 · 9.11 · 10−31 · 1014 · 0.5 · 10−2 =⇒ E = = = 14234 V /m 2 m v02 eL2 1.6 · 10−19 (2 · 10−2 )2. Nel punto di uscita le componenti della velocit` a sono: vx = v0 = 107 m/s. e vy =. eE L eE ∗ t = = 5 · 106 m/s m m v0. ESFIS97 - 7.
(8) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— vy. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............... ... ............. . ...... ........ ... .......... ...... . . . . .. . .. ..... .. .. ..... ... .. ...... . . . . . .. .... .. .. ..... . . .. . . ... . .. . . . . .. . .. ... . . . . .. .. . ... . . . ... . .. . . . . . . .. .... .. .. ..... . . .. . . ... . .. . . . .. . . .. ... . . . . .. .. . ... . . . ... . . . .. ............. .. .. ....... ... ........................................................................................................................................ ..... v. α. vx. Segue v=. q vx2 + vy2 = 1.12 · 107 m/s =⇒ vy = vx tan α =⇒ tan α = 0.5 =⇒ α = 260 , 56. ESFIS97 - 8.
(9) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-6) Esercizio n. 2 del 22/11/1997 Le armature di un condensatore piano sono separate da un dielettrico di costante dielettrica ǫr = 3. Il modulo del campo elettrico nel dielettrico ´e 106 V /m. Calcolare: a) la densit´ a superficiale delle cariche libere sulle armature; b) la polarizzazione nel dielettrico; c) la densit´ a superficiale delle cariche indotte sulla superficie del dielettrico. ———————. ǫr = 3 E(nel dielettrico ) = 106 V /m E=. E0 =⇒ E0 = ǫr E = 3 · 106 V /m ǫr. Si ha: a) σ = ǫ0 E0 = 8.854 · 10−12 · 3 · 106 = 2.656 · 10−5 C/m2 b) P = χE = ǫ0 (ǫr − 1)E = 1.77 · 10−5 C/m2 c) σind. = P~ · ~n = P = 1.77 · 10−5 C/m2. ESFIS97 - 9.
(10) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-7) Esercizio n. 3 del 22/11/1997 Un deutone descrive una traiettoria circolare di raggio 40 cm in un campo magnetico di induzione 1.5 W b/m2 . Calcolare: a) la velocit´ a del deutone; b) il tempo necessario per compiere mezza rivoluzione. Da quale differenza di potenziale dovrebbe essere accelerato il deutone per acquistare la stessa velocit´ a? Il deutone ´e costituito da un protone e da un −27 neutrone (md = 3.34 · 10 Kg). ———————. Dalla formula (8.12.33) si ha: R=. mvo⊥ qB. dove R = 40 cm, B = 1.5 W b/m2 , q = 1.6 · 10−19 C, md = 3.34 · 10−27 Kg. vo⊥ =. 1.6 · 10−19 · 1.5 · 40 · 10−2 qBR = = 2.87 · 107 m/s m 3.34 · 10−27. Il periodo del moto circolare `e: T = 2π. m = 8.74 · 10−8 s qB. T = 4.37 · 10−8 s 2 Infine per il quesito c) si ha: mv 2 1 mv 2 = qV =⇒ V = = 8.60 · 106 V olt 2 2q. ESFIS97 - 10.
(11) ———————— S.Barbarino - Esercizi svolti di Fisica generale II ———————— 97-8) Esercizio n. 4 del 22/11/1997 Due spire circolari, ognuna di raggio a, in ciascuna delle quali circola una corrente di eguale intensit´a e nello stesso verso, sono poste, con i loro piani paralleli, ad una distanza b. Trovare l’induzione magnetica al centro di ciascuna spira. ——————— z.. b. .... ....... ... ... .. ... .. .. ... .. ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ........ .... ... ....... ........ .. ......................................... ....... ............ ... ...... ....... . . . ... . . ... .. ... . ′ .... ... ............................................ . . ... . ... .. ..... ...... . . ... .. . ....... .. . . . . . ............ .... .. ... ............ ..... ............................ .... .. ........................ ... b−z ...... ... ... ... ... .... ... ....... ... .. ... ... ........ ... .. ... ... ... ... ... .. ... ..... z ... .. . .......................................................... . . . . . . . ...... ... ... .. . . . . .... . ....... ... . ... .... ............................................ .... ... .. . ..... . . ... ....... ...... .......... . . . . . . . . . ...................................... a. O•. 2. I. •P. a. O•. 1. ..... .................. I Consideriamo l’origine O B1z =. B2z = Nel punto O cio`e z = 0, si ha:. µ0 2πa2 I 4π (a2 + z 2 )3/2 2πa2 µ0 I 4π a2 + (b − z)2 3/2. # " 1 1 µ0 I2πa2 3 + B(O) = 3/2 4π a (a2 + b2 ) Nel punto O′ cio`e z = b, si ha: " # µ 1 1 0 B(O′ ) = I2πa2 + 3 3/2 4π a (a2 + b2 ) cio`e: B(O′ ) = B(O) Fine Esercizi Fisica II - 1997 ESFIS97 - 11.
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