Nicola Fusco

C

ALCOLO

S

UBLIME

“Tornare” alle basi storiche del calcolo

infinitesimale con l’Analisi Non-Standard

Nicola Fusco Liceo Scientifico “A. Scacchi”, Bari

Bari, 21-22 Aprile 2017 Convegno Il 24° Problema della Matematica ‒ Comunicare: cosa, come, perché

M

OTIVAZIONI

 Diluire le difficoltà mnemoniche e concettuali dell’analisi, di solito concentrate al quinto anno;

 Ampliare il tempo al quinto anno per esercitazioni e complementi;

 Amplificare la confidenza degli alunni con

l’analisi, aumentando il tempo in cui ne fanno uso;

 Aggirare lo scoglio concettuale del limite e del suo bagaglio insiemistico.

P

OSSIBILE

S

OLUZIONE

:

L’A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

 L’Analisi Non-Standard costruisce gli

strumenti dell’analisi senza la definizione di limite.

 Si parte dalle derivate collegando l’analisi con problemi (tangenza e massimo/minimo).

 Si introduce lo studio delle funzioni

partendo dai polinomi, molto più semplici rispetto alle altre funzioni.

R

ISULTATI

O

SSERVATI

F

INORA

 Al quinto anno si parte da settembre (o al massimo da metà ottobre) con gli integrali!  Gli alunni arrivano all’esame sapendo svolgere

correttamente gli esercizi base dell’analisi.

 Le costruzioni fisiche che usano il concetto di infinitesimo (es. integrale di Clausius o formule dei campi di oggetti estesi) sono comprese più

facilmente.

 Nessuna difficoltà ulteriore per chi studia analisi standard in ambito accademico.

F

ORMULAZIONE

A

NTICA

E

M

ODERNA

-1

 Newton e Leibniz inventarono

l’analisi a partire dall’uso di quantità “piccole” che venivano considerate sia maggiori di zero sia uguali a zero.

 Tale idea proveniva dal lavoro di matematici di tutte le epoche.

F

ORMULAZIONE

A

NTICA

E

M

ODERNA

-2

 Gli “indivisibili” con cui Cavalieri giustificò il suo principio per

stabilire l’equivalenza tra aree e volumi.

F

ORMULAZIONE

A

NTICA

E

M

ODERNA

-3

 Il metodo “euristico” con cui Fermat determinava massimi, minimi e

F

ORMULAZIONE

A

NTICA

E

M

ODERNA

-4

 I segmenti “spessi” (accostati in numero infinito formano una

superficie) con cui Archimede calcola l’area del settore

parabolico e collega lunghezza e area della circonferenza.

F

ORMULAZIONE

A

NTICA

E

M

ODERNA

-5

 Rigorosamente questa formulazione lasciava a desiderare…

 «[…] E che cosa sono questi

incrementi evanescenti? Essi non sono né quantità finite, né

quantità infinitamente piccole e neppure niente. Non possiamo

chiamarli i fantasmi di quantità estinte?» (Berkeley, 1734)

 Ma l’Analisi di Newton e Leibniz si era rivelata troppo efficace per

F

ORMULAZIONE

A

NTICA

E

M

ODERNA

-6

 Per un secolo si attese una

sistemazione formale che arrivò con il limite.

 Ma si paga un prezzo didattico alto: il limite è un concetto complesso, anche a causa delle definizioni

preliminari.

 

 

   

/





 

lim

x

J

D

x

I

x

f

x

J

l

I

l

x

f



























 Robinson (’60) e Keisler (’80) riformularono l’Analisi seguendo l’idea di Newton e Leibniz.

 Partendo dagli IperReali,

un’estensione dei Reali, formularono l’Analisi Non-Standard.

 Le basi dell’ANS hanno lo stesso rigore dell’Analisi basata sul limite.

I

NSIEMI

N

ON

-S

TANDARD

-1

 Teorema di Compattezza di Goedel.

 “Se un insieme infinito di proposizioni

ammette un modello per ogni suo sottoinsieme finito, allora esiste un modello per

l’intero insieme infinito di proposizioni”.  Il modello per l’intero insieme di

I

NSIEMI

N

ON

-S

TANDARD

-2

 Consideriamo la proposizione “Dato n

naturale, esiste un numero positivo minore di 1/n”.

 Al variare di n abbiamo un insieme infinito di proposizioni che singolarmente o a

gruppi finiti, sono sempre vere in

R

1

/









r

R

r

2

1

/









r

R

r

3

1

/









r

R

r

...

I

NSIEMI

N

ON

-S

TANDARD

-3

 Esiste quindi un insieme in cui esse sono tutte vere contemporaneamente.

 Tale insieme non è

R

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-1

 In

IR

archimedea).



IR

ʘ

detti numeri infinitesimi (indicati anche con

dx

_dy

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-2

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-3

 In termini geometrici si può pensare ad un

infinitesimo come

all’angolo che si forma tra una circonferenza e la sua tangente.

 Misurato con i numeri reali vale 0, ma

intuitivamente la

situazione appare diversa rispetto a due rette

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-4

 In termini algebrici si può pensare alla

differenza tra

₁

0.(9)

1‒0.(9)<10

n

 Nei reali non può che essere nulla, ma negli IperReali le cose

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-5

 A partire da

ʘ

 Un iperreale notevole è l’inverso di

ʘ

 È un numero infinito: l’

unità infinita

infinito

 Tra gli infiniti ci sono gli IperNaturali che sono isomorfi agli ordinali transfiniti di

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-6

 Un modo meno formale per introdurre gli IperReali sfrutta la geometria analitica.

 I reali sono in corrispondenza biunivoca con le semirette orizzontali nel semipiano

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-7

 Estendiamo ora l’insieme agli oggetti

geometrici descritti da equazioni del tipo

y=x

p(x)

 Ordiniamoli in modo che

f >g

_x

 Questo insieme “contiene” i reali come sottoinsieme, ma contiene anche altri elementi “esotici”.

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-8

 Gli oggetti e sono rispettivamente più piccolo e più grande di qualunque “reale” positivo

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-9

 Ogni monomio iperreale ha la sua Magnitudo.

M(

r

)=0

_M(

r

_ʘ

)= ‒n M(r∞

_)=n

 Il Termine Dominante (o Parte Standard se il TD è reale) è il monomio di magnitudo maggiore.

Dom[‒3∞

+4∞+2‒4ʘ]= ‒3∞

Dom[5+ln2‒4ʘ+2ʘ

]=5+ln2

Dom[7ʘ+3ʘ

]=7ʘ

 Il TD determina l’ordinamento degli IperReali

(solo se il TD è uguale si confrontano gli altri termini).

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-10

 Il TD di un prodotto o di un rapporto è uguale al prodotto o al rapporto tra i TD

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-11

A

 Il TD di una somma va valutato caso per caso  TD di magnitudo diversa

I N

UMERI

I

PER

R

EALI

-11

B

 TD che si cancellano

 Tecniche identiche a quelle per i limiti:

imparando a calcolare i TD si impara anche a risolvere i limiti. Ma il quadro concettuale è più semplice.

 Le funzioni elementari sono definite dalle operazioni sui reali.

 Quindi sono automaticamente definite anche sugli iperreali con le stesse proprietà (quasi).

 Il TD sostituisce molto più intuitivamente il limite, senza perdita alcuna di rigore.

 









 



 









f

x

f

x

f

x

f

Dom

lim

Dom

lim





A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-1

A

A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-1

B

 Ad esempio il limite , che deve essere risolto mediante una

scomposizione, è sostituito dal calcolo algebrico

 (il calcolo relativo ai due segni può anche essere svolto separatamente)

 Una funzione è continua se il suo valore cambia infinitesimamente per variazioni infinitesime della variabile indipendente.

A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-2









 

 Gli asintoti sono rette con distanza

infinitesima dal grafico in punti con almeno una coordinata infinita.



_x=x

_Dom[f(x

±ʘ)]



y=k

_{Dom[f(±∞)]=k}

se k=0)



y=mx+q

 La tangente è una retta che interseca la funzione in due punti infinitesimamente vicini.

A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-4



t



_s



_u

(angolo

 L’integrale definito è una somma infinita di aree di rettangoli di base infinitesima:

 Si divide

[a,b]

dx

A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-5

A

_f(x)dx

 Il volume dei solidi di rotazione è una somma infinita di volumi di “fettine” di spessore infinitesimo:

 Si divide

[a,b]

dx

A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-5

B

p

_f(x)

_dx

 Alcune dimostrazioni diventano banali grazie alle proprietà di ordinamento degli IperReali

 L’integrale è l’area di uno dei rettangolini infinitesimi, se

_f

_x

A

NALISI

N

ON

-S

TANDARD

-7

 Tutto ciò che nell’Analisi Standard non

coinvolge direttamente i limiti (calcolo e uso delle derivate, problemi di tangenza, problemi di massimo e minimo, integrazione definita e indefinita) si affronta nell’Analisi

Non-Standard in modo identico, sia in termini metodologici sia in termini formali.

S

CANSIONE

A

RGOMENTI

: III

A

NNO

(

PROPOSTA

)

 Geom. analitica fino alla circonferenza,

 Eq. e dis. con VA e irrazionali,  Numeri IperReali,

 Derivate (definizione, formule per

potenza, prodotto, rapporto, composta)  Crescenza, convessità, studio di

polinomi,

 Problemi di massimo e minimo,  Continuità e asintoti,

 Frazioni algebriche, funzioni irrazionali.

S

CANSIONE

A

RGOMENTI

: IV A

NNO

(

PROPOSTA

)

 Ellisse e Iperbole (sia

tradizionalmente sia come casi particolari di funzioni),

 Esponenziali e Logaritmi (e in parallelo le formule relative di analisi),

 Trigonometria (e in parallelo le formule relative di analisi),

S

CANSIONE

A

RGOMENTI

: V

A

NNO

(

PROPOSTA

)

 Integrali,

 Definizione di limite e traduzione del formalismo standard in quello non-standard e viceversa,

 Complementi,

 Abraham Robinson,

Non-Standard Analisys

Princeton University Press.

didattica]

 Howard Jerome Keisler,

Elementary Calculus:

An Infinitesimal Approach

Dover Books

(www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html).

 Howard Jerome Keisler,

Foundations Of

Infinitesimal Calculus

(www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html)

.

 In rete si trovano molte altre risorse gratuite, anche in italiano, con diversi livelli di approfondimento. Parole chiave: infinitesimi, iperreali, analisi

non-standard.

RINGRAZIAMENTI

 Il Prof. Sicolo, la Mathesis e il L. S.

“Salvemini” per l’opportunità di parlarVi della mia esperienza;

 Il DS G. Magistrale e il Dip. di Matematica e Fisica del L. S. “A. Scacchi” di Bari per il sostegno in questo esperimento didattico;  Il Prof. Sicolo, la Prof.ssa Bianca Fanti e

la Prof.ssa Marina Muscarella per i consigli su questa presentazione (ma se non vi è

piaciuta non è colpa loro);

 I miei alunni, mie consapevoli “cavie”;  Voi tutti per la cortese attenzione.