appunti ed esercizi

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Prof. Francesco Marchi

1 Appunti ed esercizi su:

introduzione alla geometria analitica

29 ottobre 2011

1 _{Per altri materiali didattici o per informazioni:}

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

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Leggi qui! “Istruzioni per l’uso” di questi appunti

Questi appunti sono in fase di bozza

Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perciò può capitare che: un paragrafo sia lasciato a metà, non sia affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilità: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il più che puoi da questi materiali!

Come usare questi appunti

L’approccio seguito in queste “dispense” `e un po’ diverso da quello tipico dei libri tradizionali.

Per quanto riguarda la parte di teoria, sono spesso presenti domande, a cui il lettore dovrebbe cercare di rispondere prima di proseguire nella lettura (anche in modo personale: non sempre c’`e una sola risposta “giusta”!).

Per quanto riguarda gli esercizi, viene richiesto al lettore uno sforzo supplementare: spesso `e lasciato proprio a lui il compito di “costruirsi gli esercizi”, dal momento che molti esercizi rimandano ad un archivio finale, dove sono presenti una serie di equazioni, grafici . . . Ad esempio, in una sezione dell’archivio, sono presenti dei grafici di curve sotto i quali sono indicate le rispettive equazioni cartesiane: per svolgere un esercizio di abbinamento grafico-equazione, il lettore pu`o annotarsi su un foglio a parte le equazioni, in modo sparso, e poi, guardando i soli grafici, procedere all’abbinamento.

In questo modo, separando la richiesta dell’esercizio dal singolo esempio su cui “applicare tale richiesta”, si favorisce, credo, una maggiore attenzione sui metodi e sugli obiettivi didattici, piuttosto che sui dettagli numerici specifici di ogni esercizio.

Nota dell’autore

Le lezioni e gli esercizi proposti in questo libro sono il frutto della mia esperienza pluriennale di insegnante nella scuola secondaria. Laddove si `e tratto spunto da altri testi, sono sempre state indicate le fonti originali.

Puoi riutilizzare i materiali presenti in questo file, citandone la fonte e/o il mio blog M@T&FiS (http: //francescomarchi.wordpress.com), dove puoi trovare altri materiali didattici, sia di matematica che di fisica.

Per segnalare uso improprio di materiale coperto da copyright, o per segnalarmi errori, suggerimenti e quant’altro, scrivimi [email protected].

Ringraziamenti

Rivolgo un grazie a tutti i miei alunni ed ex-alunni, per il piacevole tempo trascorso insieme e per gli stimoli che hanno saputo darmi, contribuendo (sia pure indirettamente) alla creazione di appunti sempre pi`u completi.

Versione finale

29 ottobre 2011.

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Indice

I

Teoria

5

1 Introduzione: punti, curve, regioni nel piano 7

1.1 Punti nel piano . . . 8

1.1.1 Alcuni spunti di riflessione. . . 8

1.1.2 Riferimenti cartesiani . . . 8

1.1.3 Altri sistemi di riferimento . . . 8

1.2 Curve nel piano . . . 9

1.2.1 Rette nel piano . . . 9

1.2.2 Curve ed equazioni: definizioni generali . . . 10

1.3 Regioni nel piano . . . 11

2 Equazioni delle coniche e formule 13 2.1 Equazioni delle coniche. . . 13

2.1.1 Introduzione . . . 13

2.1.2 Equazioni canoniche . . . 13

2.2 Determinazione di elementi notevoli . . . 14

II

Esercizi

15

3 Introduzione: punti, curve, regioni nel piano 17 3.1 Curve nel piano . . . 17

3.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva . . . 17

3.1.2 Abbinamento equazione-curva. . . 17

3.1.3 Tracciare il grafico per punti . . . 17

3.1.4 Esercizi di tipo algebrico. . . 17

3.2 Regioni di piano . . . 17

4 Equazioni delle coniche e formule 19 4.1 Equazioni canoniche e formule. . . 19

4.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica . . . 19

4.1.2 Determinazione di elementi caratteristici. . . 19

4.1.3 Determinazione di punti che appartengono o meno . . . 19

4.1.4 Un esercizio “di tipo teorico” . . . 19

4.1.5 Generalizzazione dell’esercizio precedente . . . 19

4.2 Rappresentazione cartesiana . . . 21

4.2.1 Abbinamenti . . . 21

(4)

INDICE 3

III

Archivio per esercizi

23

A Equazioni 25

A.1 In due incognite. . . 25

A.1.1 Algebriche. . . 25

B Sistemi 29 B.1 Sistemi algebrici . . . 29

B.1.1 Sistemi di equazioni . . . 29

B.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni) . . . 29

C Grafici 31 C.1 Funzioni algebriche . . . 31

C.1.1 Coniche . . . 31

C.1.2 Curve non coniche . . . 32

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Parte I

Teoria

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Capitolo 1

Introduzione: punti, curve, regioni

nel piano

Obiettivi

In questo capitolo vengono trattate le connessioni tra elementi algebrici ed elementi geometrici e l’obiettivo principale `e di capire tali connessioni “nei due versi”. Ad esempio, quando, qua sotto, diciamo “Data una coppia ordinata di numeri, piazzare il punto corrispondente in un riferimento cartesiano”, si intende che si debba saper fare anche il viceversa: “data la rappresentazione grafica di un punto nel piano cartesiano, determinarne le coordinate”. Quanto detto vale per i punti, ma anche in tutti gli altri casi.

1. Saper definire

(a) Sistema di riferimento: ortogonale, monometrico

(b) Appartenenza di un punto ad una curva (relazione algebra-geometria) 2. Conoscere

(a) Per sommi capi le linee di pensiero matematico che hanno portato allo sviluppo della geometria analitica, e la loro collocazione storica

(b) Gli elementi fondamentali per associare ad un punto del piano [dello spazio] una coppia [terna] di coordinate, nei seguenti casi:

i. Coordinate cartesiane: due assi ortogonali, un’unit`a di misura . . . ii. Coordinate polari

iii. Coordinate spaziali 3. Saper fare

(a) Data una coppia ordinata di numeri, piazzare il punto corrispondente in un riferimento carte-siano

(b) Tracciare per punti (ovvero tramite tabella x-y) il grafico qualitativo “pi`u probabile” di semplici curve di equazione assegnata

(c) Dato un sistema (anche misto di equazioni e disequazioni), tracciare la regione del piano ad esso corrispondente

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1.1 Punti nel piano

1.1.1 Alcuni spunti di riflessione

Prova a rispondere alle seguenti domande:

1. Se devi spiegare dove abiti a qualcuno, come fai?

2. Come cambierebbe la tua spiegazione se abitassi in una tenuta in mezzo alla campagna siciliana? 3. E se tu dovessi comunicarlo ad una ditta che deve spedirti a casa dei prodotti acquistati via internet? 4. E se tu fossi in mezzo al deserto, con l’auto rotta, come comunicheresti la tua posizione?

1.1.2 Riferimenti cartesiani

Il piano cartesiano

Su una lavagna, disegno due assi perpendicolari e un punto piazzato nel piano.

Supponiamo che io (prof) non veda dove si trova il punto. Datemi indicazioni precise per poterlo ripro-durre, nella stessa posizione, su un’altra lavagna. Io, sull’altra lavagna, mi sforzo di disegnarlo in modo che non coincida, fino a che non vengono individuate tutte le condizioni necessarie, che sono:

1. Verso per ciascun asse

2. Unit`a di misura (la stessa su entrambi gli assi) Lo spazio cartesiano

1.1.3 Altri sistemi di riferimento

Si possono considerare anche altri sistemi di riferimento, come vediamo nei paragrafi seguenti. Coordinate polari nel piano

In questo caso bisogna fissare: 1. Una semiretta

2. Il verso di percorrenza della semiretta 3. Un verso di percorrenza degli angoli 4. Un’unit`a di misura degli angoli 5. Un’unit`a di misura delle lunghezze La posizione di un aereo

Per localizzare un aereo, `e possibile fornire tre numeri, che corrispondono a: 1. Latitutdine

2. Longitudine 3. Quota

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1.2. CURVE NEL PIANO 9 La posizione dei corpi celesti

1.2 Curve nel piano

Adesso che abbiamo capito come si descrivono in termini algebrici i punti del piano, vediamo di passare ad oggetti pi`u complicati, le curve.

Tutti abbiamo un’idea di cosa sia una curva; quella rappresentate in figura (AGGIUNGERE FIGURA) ne sono un esempio. Basandoti sulle figure, e sulla tua idea di curva, prova a darne una definizione. Adesso fai dei controesempi che smontino la tua stessa definizione.

Le curve possono essere classificate in vari modi; in particolare, a seconda del fatto che siano apete o chiuse e costituite da uno o pi`u rami, come riportato in tabella1.1

Tabella 1.1: Un esempio di classificazione delle curve. Sono riportate, in particolare, i nomi di alcune curve, dette coniche, che studieremo diffusamente in seguito.

aperte chiuse un ramo

retta ellisse parabola circonferenza

. . . . pi`u rami iperbole . . . . . . .

1.2.1 Rette nel piano

Dal grafico all’equazione

Come possiamo descrivere, in termini algebrici, la retta proposta in figura1.1?

Un modo potrebbe essere quello di dire che è la retta che passa dai punti (0, 0) e (1, 3); tale retta è unica (perché?).

Esiste però un altro metodo, preferibile perché più sintetico e perché si applica meglio a curve che non sono rette. Questo metodo consiste nell’individuare una relazione tra le y e le x dei punti che appartengono alla retta.

Nel nostro caso, ad esempio, potremmo dire che:

y = 3x; o, alternativamente x = 1 3y

Potete provare adesso ad intuire l’equazione di alcune delle rette che proponiamo nell’archivio. Solo successivamente, vedremo un metodo pi`u sistematico per associare ad un dato grafico un’equazione e viceversa.

Dall’equazione al grafico

Consideriamo adesso il problema inverso. Data l’equazione: 4y −2

3x + 1

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Figura 1.1: Grafico della retta di cui nella sezione1.2.1.

Come sar`a fatto il grafico rappresentato da quest’equazione? Il metodo `e quello di costruirsi una tabella di valori:

x = 0 ⇒ y = (1.1)

x = 1 ⇒ y = (1.2)

(1.3) Conoscendo due soli punti possiamo tracciare il grafico, visto che per due punti passa una e una sola retta.

1.2.2 Curve ed equazioni: definizioni generali

Nelle sezioni precedenti, in un modo o in un altro, siamo riusciti a tracciare grafici di rette o risalire da grafici ad equazioni. Per poter fare la cosa pi`u in generale, a questo punto diamo alcune definizioni, che ci saranno utili pi`u avanti:

Definizione 1. Un’equazione nelle variabili x, y, z, . . . si dice in forma esplicita rispetto alla variabile y se `e del tipo y = . . ., dove al secondo membro non compare la y.

Definizione 2. Un’equazione nelle variabili x, y, z, . . . si dice in forma implicita rispetto alla variabile y se non è in forma esplicita. In alcuni casi considereremo la definizione alternativa: un’equazione è in forma implicita se è del tipo f (x, y, . . .) = 0 .

Con passaggi algebrici si pu`o sempre passare dalla forma esplicita a quella esplicita; il contrario non sempre `e possibile.

Definizione 3. Un’equazione del tipo f (x, y) = 0 rappresenta un legame fra le coordinate di punti del piano cartesiano. Un punto appartiene ad una curva se le sue coordinate soddisfano l’equazione della curva stessa.

Il grafico di una curva è l’insieme di tutti i punti che appartengono alla curva, e quindi di tutti i punti che soddisfano l’equazione della curva. L’idea, allora, è che per tracciare il grafico di una curva possiamo trovare un numero sufficiente di punti che le appartengono e poi unirli. Detto più nel dettaglio, ciò che possiamo fare è:

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1.3. REGIONI NEL PIANO 11 1. Dare un valore a caso alla x e ricavare il valore della/e y corrispondente/e (o, viceversa, possiamo

dare valori alle y e ricavare quelli delle x).

2. Rappresentare il/i punto/i trovato/i nel piano cartesiano.

3. Ripetere il procedimento finch´e non `e chiara la figura che si viene a delineare. A questo punto, puoi provare a fare l’esercizio della sezione3.1.4.

Tracciare il grafico di una curva

Come dovrebbe esserti chiaro dall’aver provato a svolgere l’esercizio 3.1.4, sorge un problema: non è chiaro qual è il numero sufficiente di punti per poter tracciare una curva. In effetti, anche conoscendo un numero molto elevato di punti, non si può avere la certezza del grafico di una curva, che è costituito da infiniti punti.

O meglio, con un certo tipo di considerazioni, che faremo pi`u avanti, scoprirai come, data un’equazione di secondo grado in x e y, esistono dei metodi particolari per capire quale curva tale equazione rappresenta. Lo studio di questi metodi, che sar`a l’oggetto di diversi capitoli di questo libro, prende il nome di geometria analitica.

Per quanto riguarda il problema più in generale (curve rappresentate da equazioni irrazionali, di grado superiore al secondo . . . ), questo verrà affrontato più avanti, in quella parte della matematica che prende il nome di analisi matematica.

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Capitolo 2

Equazioni delle coniche e formule

Obiettivi

1. Saper definire (a) Conica 2. Conoscere

(a) Le equazioni canoniche delle coniche

(b) Gli elementi caratteristici delle coniche: coefficiente angolare, vertice, fuochi . . . (c) Formule per la determinazione degli elementi caratteristici delle coniche

3. Saper fare

(a) Data un’equazione

i. Stabilire se si tratta di una conica o meno ii. Stabilire di che tipo di conica si tratta

iii. Portare l’equazione in forma canonica per quella conica iv. Rappresentarla nel piano cartesiano

2.1 Equazioni delle coniche

2.1.1 Introduzione

Definizione 4. Le coniche sono le curve che si ottengono dall’intersezione di un piano con una superficie doppio-conica. (vedi Sasso, pag. 531-532)

Puoi provare a immaginare le figure che vengono fuori e ti convincerai che, a seconda della posizione reciproca del piano e della superficie, vengono fuori solo pochi tipi di curva.

Di queste curve si pu`o dare anche una definizione geometrica, ma rimandiamo questo ad un capitolo successivo.

2.1.2 Equazioni canoniche

Prendi per buone le cose di questo paragrafo, la spiegazione la daremo pi`u avanti. 13

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Circonferenza, ellisse, iperbole

Il caso più complicato è quando entrambe le variabili hanno grado 2. In tal caso, si può sempre portare l’equazione nella seguente forma:

ax2+ by2+ cx + dy + e = 0 e procedere secondo l’algoritmo illustrato in figura4.1

Figura 2.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonica ax2_{+ by}2_{+ cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizione}

relativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2_{+ y}2_{+ Ax + By + c = 0.}

2.2 Determinazione di elementi notevoli

Le coniche hanno degli elementi notevoli, indicati qui di seguito: • retta: coefficiente angolare; ordinata all’origine

• circonferenza: centro; ragigo

• parabola: vertice, fuoco, asse, direttrice • ellisse: vertici, fuochi, eccentricit`a

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Parte II

Esercizi

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Capitolo 3

Introduzione: punti, curve, regioni

nel piano

3.1 Curve nel piano

3.1.1 Dato, il grafico determinare l’equazione della curva

Considera i grafici proposti in archivio, nella figuraC.5.

Basandoti sulle informazioni deducibili da tale grafico, determina l’equazione della curva rappresentata (la risposta `e scritta sotto la figura: fai in modo di non guardarla prima di risolvere l’esercizio!).

3.1.2 Abbinamento equazione-curva

Considera i grafici proposti nella sezione C.1. Annotando su un foglio a parte, in ordine sparso, le equazioni corrispondenti, cerca poi di ricostruire i corretti abbinamenti.

3.1.3 Tracciare il grafico per punti

Considera le equazioni proposte nella sezioneA.1.1dell’archivio.

Per ciascuna di esse, se ci riesci, traccia il grafico cartesiano della curva corrispondente all’equazione data.

3.1.4 Esercizi di tipo algebrico

Considera le equazioni proposte nell’archivio. Per ciascuna di esse, se ci riesci:

1. Proponi le coordinate di un punto che appartiene 2. Proponi le coordinate di un punto che non appartiene

3.2 Regioni di piano

Considera i sistemi proposti nell’archivioB.1.2.

Rappresenta su un piano cartesiano le regioni di piano che tali sistemi individuano.

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Capitolo 4

Equazioni delle coniche e formule

4.1 Equazioni canoniche e formule

Il riferimento per questi esercizi `e l’archivio A.1.1.

4.1.1 Riduzione in forma canonica e determinazione tipo di conica

Considerate le equazioni proposte inA.1.1:

1. Stabilisci quali di esse rappresentano delle coniche 2. Riduci tali coniche in forma canonica

3. Stabilisci di quale tipo di conica si tratta

4.1.2 Determinazione di elementi caratteristici

Relativamente alle equazioni proposte, compila la tabella4.1.

4.1.3 Determinazione di punti che appartengono o meno

Per quanto riguarda la tabella4.2, proporre due punti che appartengano alla conica (P1 e P2) due punti

che non appartengano (P3 e P 4).

4.1.4 Un esercizio “di tipo teorico”

Considera un’equazione di II grado nelle due incognite x e y. Essa pu`o rappresentare una circonferenza, un’ellisse, un’iperbole). Per stabilire di quale conica si tratta fra queste tre, si pu`o seguire un algoritmo. Nella figura4.1, ti proponiamo l’inizio di questo algoritmo; completalo tu come esercizio.

4.1.5 Generalizzazione dell’esercizio precedente

Nell’esercizio precedente, abbiamo considerato solo equazioni di II grado in entrambe le incognite. Con-sideriamo adesso il caso più generale, che include anche la possibilità che l’equazione considerata abbia grado zero o uno nelle sue incognite. Per essere più chiari, consideriamo di nuovo l’equazione precedente:

ax2+ by2+ cx + dy + e = 0

Adesso, diversamente da prima, ammettiamo che possa risultare, ad esempio, a = b = d = 0, in modo che l’equazione si riduce ad una di primo grado nella x e grado zero nella y, rappresentando cos`ı una

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T ab ella 4.1: T ab ella relativ a all’esercizi o della sezione 2.2 . N. Co eff. ang. Ord. all’or igine Cen tro Raggio V ertici F uo c hi Asse Direttrice Asin toti Eccen tricit `a 1 2 3

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4.2. RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA 21

Tabella 4.2: Tabella relativa all’esercizio della sezione2.2.

N. Punto P1 Punto P2 Punto P3 Punto P4

1 2 3 4 retta parallela all’asse y.

Amplia l’algoritmo proposto nell’esercizio precedente, fino a considerare tutti i casi possibili.

Suggerimento: per “salvare” quanto gi`a fatto nell’esercizio precedente, ti consiglio di cominciare a considerare, come primi casi dell’algoritmo, quelli in cui “scompaiono” i termini di secondo grado; successivamente, potrai “inserire” la parte di algoritmo dell’esercizio precedente in questo nuovo, pi`u ampio.

4.2 Rappresentazione cartesiana

4.2.1 Abbinamenti

Adesso hai qualche strumento in pi`u per svolgere gli esercizi proposti nella sezione 3.1.2 del capitolo precedente. Ad esempio, data l’equazione di una parabola, puoi velocemente intuire se il vertice ha ascissa negativa e, con questa informazione, scartare alcuni fra i grafici proposti. Procedendo in questo modo, puoi arrivare a determinare tutte le corrispondenze.

Svolgi nuovamente gli esercizi della sezione3.1.2

4.2.2 Rappresentazione tramite elementi notevoli delle coniche

Il modo in un certo senso pi`u sistematico per rappresentare una conica consiste nel determinarne dapprima gli elementi notevoli (centro, raggio, vertici . . . ) e successivamente, basandosi su tali elementi, tracciarne il grafico.

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Figura 4.1: Metodo per “scegliere” tra circonferenza, ellisse, iperbole. Le lettere fanno riferimento all’equazione canonica ax2_{+ by}2_{+ cx + dy + e = 0. Completa lo schema come esercizio. Nel primo dei rombi vuoti, devi inserire una condizione}

relativa al raggio della circonferenza. Se vuoi, puoi lasciare le lettere - e l’equazione - come scritto sopra; se preferisci, puoi far riferimento all’equazione canonica della circonferenza, x2_{+ y}2_{+ Ax + By + C = 0.}

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Parte III

Archivio per esercizi

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(26)

Appendice A

Equazioni

A.1 In due incognite

A.1.1 Algebriche

Secondo grado, non coniche

Coniche Rette: 8 7y − 4y = 2x + 1 4 (A.1) 25

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Parabole: y = 3x2− 2x + 1 (A.2) 6 5y = 2 + 7 9x 2 (A.3) 2y + x − 3x2+ 5 = 0 (A.4) y = −x2+ 6x − 5 (A.5) y = x2− 2x (A.6) y = −x2+3 2 (A.7) y = 1 2x 2_{− 3x + 2} _(A.8) x = −1 2y 2 _(A.9) x = 4 − y2 (A.10) x = −y2+ 2y − 1 (A.11) x = 2y2− 3y (A.12) x + 2y + 2 = 7 3− 4y 2 _(A.13) Circonferenze: x2+ y2− 6y = 0 (A.14) x2+ y2+ 6x = 12 (A.15) Ellissi: x2+ 2y2= 1 (A.16) 7x2= 2 − 3y2 (A.17)

(28)

A.1. IN DUE INCOGNITE 27 Iperboli: x2 3 − y2 9 = −1 (A.18) x2 4 = 2 + 3 5y 2 _(A.19) 2x 5 2 = 3y2− 4 (A.20) y2 6 − x2 9 = 2 + y2 4 (A.21) Miste: y + 2y2− 3 = 4x + 2y2+ 7 (A.22) x + y + 9 = 4 5x − 8 (A.23) 8 7y − 4y = 2x + 1 4 (A.24) x + 7y − 12 = 3y2+1 4x (A.25) x + 3 7x 2_{+ 2y − 4 = y} _(A.26) 1 6x 2_{+ 4x}2_{− 3 = x −}25 6 y 2_{− 2y} _(A.27) y = 1 5x 4_{− x}3_{+ 2x} _(A.28) y = x + 3 4 − x2 (A.29)

(29)

(30)

Appendice B

Sistemi

B.1 Sistemi algebrici

B.1.1 Sistemi di equazioni

B.1.2 Sistemi misti (equazioni e disequazioni)

S1=y > x 2_{− 2} x 6 −y2_{+ 6} S2= y = x (x − 4)2_{+ (y − 2)}2 > 16 S3= x2_{+ y}2 6 1 y 6 −x2_{+ 4} S4=y > −x − 4 x 6 0 S5= S3∪ S4 29

(31)

(32)

Appendice C

Grafici

C.1 Funzioni algebriche

C.1.1 Coniche

Rette

(a) Grafico della retta di equazione 8₇y − 4y = 2x +1₄.

(b) Grafico della retta di equazione y +1₃x + 5 = 0.

(c) Grafico della retta di equazione x + 2 =√67. (d) Grafico della retta di equazione −2 = y − x. Figura C.1: Grafici di rette.

(33)

Parabole Circonferenze

C.1.2 Curve non coniche

(34)

C.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 33

(a) Grafico della retta di equazione y = −3x + 4.

(b) Grafico della retta di equazione 1

3x + y = 4.

(c) Grafico della retta di equazione 2y +√5x = 5 −√5x + y. Figura C.2: Grafici di rette (parte 2).

(35)

(a) Grafico della parabola di equazione 3x2_{= y − 10x − 12.}

(b) Grafico della parabola di equazione y =₂₀1x2₋1 2x + 12.

(c) Grafico della parabola di equazione 3x2_{+ 12 = −10x − y.} _{(d) Grafico della parabola di equazione 12 =}

10x + y − 3x2_.

(e) Grafico della parabola di equazione x − y2_{− 5 = 0.}

(f) Grafico della parabola di equazione y2_{= x + 5.}

(36)

C.1. FUNZIONI ALGEBRICHE 35

(a) Grafico della circonferenza di equazione x2_{+ y}2₋

8y = 0.

(b) Grafico della circonferenza di equazione x2_{+ y}2_{− 4x + 5y = 0.}

(c) Grafico della circonferenza di equazio-ne x2_{+ y}2_{+ 8x + 4 = 0.}

(d) Grafico della circonferenza di equazione x2+ y2_{− 8x + 6y − 1 = 0.}

(e) Grafico della circonferenza di equazione x2_{+ y}2_{+ 6y = 0.} _{(f) Grafico della circonferenza di equazione x}2_{+ y}2₋

8x − 6y − 1 = 0. Figura C.4: Grafici di circonferenze.

(37)

(a) Grafico della curva di equazione y = −2x − 5.

(b) Grafico della curva di equazione y = x2_{− 4.}

(c) Grafico della curva di equazione y = x + 6.

(d) Grafico della curva di equazione xy = 12. Figura C.5: Grafici di curve varie.