Teoria e definizioni

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

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Esercitazione su: teoria e deﬁnizioni

Indice

1 Dominio e segno 2

1.1 Esercizi di teoria . . . 2

1.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno . . . 2

1.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date . . . 2

2 Asintoti 3 2.1 Esercizi di teoria . . . 3

2.1.1 Deﬁnizioni. . . 3

2.1.2 Vero o falso . . . 3

2.1.3 Quesiti vari . . . 3

2.2 Determinazione di asintoti; intersezioni del graﬁco con i propri asintoti . . . 3

2.2.1 Funzioni algebriche . . . 3 2.2.2 Funzioni goniometriche . . . 3 2.2.3 Funzioni logaritmiche . . . 4 2.2.4 Funzioni esponenziali. . . 4 2.3 Esercizi vari . . . 4 2.3.1 Asintoti verticali . . . 4 2.3.2 Asintoti orizzontali . . . 4 3 Continuità e discontinuità 5 3.1 Studio di continuità . . . 5 3.1.1 Funzioni algebriche . . . 5 3.1.2 Funzioni goniometriche . . . 5 3.1.3 Funzioni esponenziali. . . 5

3.1.4 Funzioni deﬁnite a tratti [1] . . . 5

3.2 Esercizi con parametri . . . 6

3.2.1 Esercizio 1 . . . 6

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1 Dominio e segno

1.1 Esercizi di teoria

Dire se le seguenti aﬀermazioni sono vere o false: 1. Il dominio delle due funzioni seguenti `e lo stesso

𝑓 (𝑥) = 5 +√3

6 + 𝑥 − 2√𝑥7_{− 5 sin 𝑥;} _{𝑔(𝑥) =}

√

𝑥7_{− 5 sin 𝑥 +}√5_{4 + 𝑥}

8 2. Si consideri la funzione ℎ(𝑥) = 6+𝑥_5−𝑥2 + log(𝑥 + 3).

(a) Il punto 𝑥 = −3 appartiene al dominio. (b) Il punto 𝑥 = 0 appartiene al dominio. (c) La funzione non `e deﬁnita per 𝑥 = 0.13 − 𝜋.

1.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno

Impostare il sistema relativo alla determinazione del dominio delle seguenti funzioni, senza risolverlo. 1. 𝑓1(𝑥) =√cos(4 + 𝑥6 3) +_{log(𝑥−4)}5

2. 𝑓2(𝑥) = tan(

√

𝑥 + 7) − 𝑥3_{+ 8}

1.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date

Per le seguenti funzioni ℎ(𝑥) e 𝑔(𝑥):

ℎ(𝑥) =cos 𝑥 − √ 2/2 𝑥2_{+ 4𝑥 + 4} 𝑔(𝑥) = √ 𝑥2_{− 4}

∙ Determinare il dominio e scriverlo sotto forma di intervallo.

∙ Studiare il segno e rappresentare sotto forma di intervallo i valori di 𝑥 per cui le funzioni sono positive.

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2 Asintoti

2.1 Esercizi di teoria

2.1.1 Deﬁnizioni Si dia la deﬁnizione di:

∙ Asintoto verticale; asintoto orizzontale; asintoto obliquo 2.1.2 Vero o falso

Stabilire se le seguenti aﬀermazioni sono vere o false:

∙ Se il dominio di una funzione è limitato, il suo grafico non può avere asintoti orizzontali ∙ Se il dominio di una funzione è limitato, il suo grafico non può avere asintoti verticali ∙ Se esiste finito il lim𝑥→+∞

𝑓 (𝑥)

𝑥 , allora 𝑓 (𝑥) ha un asintoto obliquo

2.1.3 Quesiti vari

Si risponda ai seguenti quesiti:

∙ Quanti asintoti orizzontali pu`o avere una funzione? E quanti asintoti verticali?

2.2 Determinazione di asintoti; intersezioni del graﬁco con i propri asintoti

Si considerino le funzioni elencate qui di seguito. Per esse: ∙ Si determinino le equazioni degli asintoti

∙ Si stabilisca se le funzioni elencate qui di seguito intersecano i propri asintoti ∙ Si determinino le coordinate dei punti di intersezione delle funzioni con gli asintoti 2.2.1 Funzioni algebriche 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 2_{− 5} 2𝑥 − 3 (1) 𝑥2_{+ 5𝑥 − 6} 𝑓 (𝑥) = √ 𝑥2_{+ 5𝑥} 2𝑥2_{+ 6𝑥} (4)

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2.2.3 Funzioni logaritmiche 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 𝑥 + 1 (9) 𝑓 (𝑥) = 1 ln(2𝑥 − 9) (10) 2.2.4 Funzioni esponenziali 𝑓 (𝑥) = 𝑒 2𝑥 𝑒𝑥_{− 2} (11) _{𝑓 (𝑥) = 2}𝑥2 −9𝑥 ₍₁₂₎

2.3 Esercizi vari

2.3.1 Asintoti verticali

Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto verticale?

𝑓 (𝑥) = 1 𝑥2_{− 1} (13) 𝑓 (𝑥) = 1 𝑥2_{+ 1} (14) 𝑓 (𝑥) =√𝑥2_{− 1} ₍₁₅₎ 𝑓 (𝑥) = ln(1 + 𝑥2) (16) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 (17) 2.3.2 Asintoti orizzontali

Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto orizzontale?

𝑓 (𝑥) =√1 − 𝑥2 ₍₁₈₎ 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑥2_{+ 𝑥 + 1} (19) 𝑓 (𝑥) =𝑥 2_{+ 𝑥 + 1} 𝑥 (20) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 (21)

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3 Continuit`

a e discontinuit`

a

3.1 Studio di continuit`

a

Si studi la continuit`a delle funzioni indicate di seguito. In particolare: ∙ Si indichino gli eventuali punti di discontinuit`a.

∙ Si specifichi la natura dei punti di discontinuità. ∙ Si eliminino le discontinuità eliminabili.

3.1.1 Funzioni algebriche 𝑓 (𝑥) = 𝑥 2_{− 6𝑥 + 9} 𝑥2_{− 9} (22) _{𝑓 (𝑥) =} 1 − 𝑥 𝑥 (23) 3.1.2 Funzioni goniometriche 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 sin 2𝑥 (24) 𝑓 (𝑥) = sin ( 𝑥 2𝑥 − 3 ) (25) 3.1.3 Funzioni esponenziali 𝑓 (𝑥) = 3𝑥 𝑒2𝑥_{− 1} (26) _{𝑓 (𝑥) = 𝑒}−2+𝑥2 𝑥 (27)

3.1.4 Funzioni deﬁnite a tratti [1]

𝑓 (𝑥) = ⎧  ⎨  ⎩ 2𝑥2+ 1, se 𝑥 > 0 3, se 𝑥 = 0 𝑒𝑥+ sin 𝑥, se 𝑥 < 0 𝑓 (𝑥) = ⎧  ⎨  ⎩ 2𝑥2_{+ 1,} _se _{𝑥 > 0} 1, se 𝑥 = 0 𝑒𝑥_{+ sin 𝑥,} _se _{𝑥 < 0}

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3.2 Esercizi con parametri

3.2.1 Esercizio 1

Stabilisci per quale valore del parametro 𝑎 `e continua la seguente funzione:

𝑓 (𝑥) = {√

𝑥2_{+ 3 + 2𝑎,} _se _{𝑥 < 1}

𝑎𝑥2+ 3𝑥 − 𝑎, se 𝑥 ≥ 1 3.2.2 Esercizio 2

Stabilisci per quali valori dei parametri 𝑎 e 𝑏 `e continua la seguente funzione:

𝑓 (𝑥) = ⎧  ⎨  ⎩ 𝑎𝑒𝑥+2_{+ 2𝑏,} _se _{𝑥 ≤ −2} 𝑏𝑥2_{+ 2𝑎,} _se _{− 2 < 𝑥 < 2} 3 + _𝑥+5𝑎 , se 𝑥 ≥ 2

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4 Calcolo diﬀerenziale

4.1 Deﬁnizioni e teoria

1. Illustrare il concetto di rapporto incrementale di una funzione 𝑓 (𝑥) in un dato punto 𝑥0, anche

avvalendosi di una rappresentazione graﬁca.

2. Siano 𝑓 e 𝑔 due funzioni qualsiasi. Ha senso affermare che “la funzione 𝑓 cresce più rapidamente di 𝑔”? Perché?

3. Dare la deﬁnizione di derivata di una funzione in un dato punto, 𝑓′(𝑥0).

4.2 Calcolo di derivate tramite la deﬁnizione

Per le funzioni indicate di seguito:

1. Calcola il rapporto incrementale nel punto 𝑥0 a ﬁanco indicato;

2. Fanne il limite per un incremento ℎ che tende a zero; 3. Calcola la derivata 𝑓′(𝑥);

4. Valuta la derivata nel punto 𝑥0;

5. Veriﬁca l’uguaglianza dei due valori ottenuti. Elenco delle funzioni:

𝑓 (𝑥) = 2𝑥 − 3; 𝑥0= 4 (28)

𝑓 (𝑥) = 𝑥2+ 2𝑥 + 2; 𝑥0= −3 (29)

𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥; 𝑥0= −5 (30)

𝑓 (𝑥) = 1 − 𝑥

𝑥2 ; 𝑥0= 2 (31)

4.3 Derivabilit`

a e non derivabilit`

a

Vedi [2], pag. 312.