Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation
Robotics and System CONTROL
Corso di laurea in Ingegneria
Meccatronica
DIAGRAMMI DI BODE
CA – 07 - DiagrammiDiBode
CA – 07 - DiagrammiDiBode
Cesare Fantuzzi (
cesare.fantuzzi@unimore.it
)
Cristian Secchi (
cristian.secchi@unimore.it
)
Diagrammi di Bode e polari
סּ Problema della rappresentazione grafica di funzioni complesse di variabile reale del tipo:
Re{F(ω)} -4000 -3000 -2000 -1000 0 1000 2000 3000 4000 5000 Nyquist Diagram Im a g in a ry A x is Im{F(ω)} |F(ω)| arg{F(ω)} ω
Tre possibili rappresentazioni!
40 50 60 70 80 M a g n it u d e ( d B ) -45 0 45 P h a s e ( d e g ) Bode Diagram |F(ω)| arg{F(ω)} ω -2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 -5000 Real Axis ω 55 60 65 70 75 80 Nichols Chart O p e n -L o o p G a in ( d B ) ω |F(ω)| φ ω |F(ω)| ω
Diagrammi di Bode
סּ
Poiché la funzione di risposta armonica ha valori
complessi, si hanno due diversi diagrammi:
סּ
diagramma delle ampiezze
o dei moduli o diagramma
α
,
che riporta il logaritmo (in base 10) del modulo della
risposta armonica, espresso in Decibel.
סּ
diagramma delle fasi
o degli argomenti o diagramma
β
,
che riporta l'argomento della risposta armonica.
entrambi sono in funzione del (logaritmo in base 10) della
pulsazione
ω
.
Diagrammi delle Ampiezze e
delle Fasi
0 10 20 30 40 M a g n it u d e ( d B ) Bode Diagram )) ( arg()
(
)
(
)
(
j
ω
F
ω
F
ω
e
j F ωG
=
=
)
(
ω
F
Diagramma delle
ampiezze :
α
-20 -10 M a g n it u d e ( d B ) 10-1 100 101 102 103 104 105 -90 -45 0 P h a se ( d e g )))
(
(
arg
F
ω
ampiezze :
α
Diagramma delle
fasi : β
Perché usare una scala
logaritmica
Proprietà numeri complessi Proprietà logaritmi
Il Decibel
סּ Il decibel è un'unità logaritmica convenzionale che normalmente si
impiega per esprimere il guadagno di amplificatori (quindi una grandezza adimensionale).
סּ Un amplificatore di guadagno A (rapporto fra le ampiezze del segnale di
uscita e del segnale di ingresso) si dice anche che ha un guadagno di B uscita e del segnale di ingresso) si dice anche che ha un guadagno di B db, con
Vantaggi della scala
logaritmica
סּ Rappresentare col dovuto dettaglio grandezze che variano in campi
notevolmente estesi;
סּ Sommare i diagrammi relativi a sistemi in cascata, per ottenere il
diagramma del sistema complessivo: infatti la risposta armonica complessiva si ottiene eseguendo il prodotto delle singole risposte armoniche, cioè eseguendo il prodotto delle ampiezze (che,
impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la impiegando una scala logaritmica, si riconduce ad una somma) e la somma delle fasi;
סּ Costruire i diagrammi relativi ad una funzione di risposta armonica
data in forma fattorizzata come somma di diagrammi elementari, di un numero limitato di tipi fondamentali, corrispondente ciascuno ad un singolo fattore.
Somma di diagrammi
elementari
סּ Nei casi di interesse nell'ambito dei controlli automatici l'amplificazione
comprende di regola la frequenza zero, cioè la frequenza zero o componente
continua rientra nella banda passante della catena, per cui si esclude la presenza si esclude la presenza
סּ Il fattore shcorrisponde ad un eventuale polo nell'origine avente ordine di
molteplicità h: se la funzione di trasferimento non presenta poli nell'origine, è h=0
continua rientra nella banda passante della catena, per cui si esclude la presenza si esclude la presenza di uno zero nell'origine.
di uno zero nell'origine.
Forma con costanti di
tempo
סּ Moltiplicando fra loro i fattori corrispondenti a coppie di zeri e poli complessi coniugati, in modo che i coefficienti risultino tutti reali, e operando opportune posizioni, si ottiene
che equivale alla forma con costanti di tempo
Funzione di risposta
armonica
Ponendo s = j ω, si ottiene la seguente espressione della funzione di risposta armonica
La costante K è detta costante di guadagno. La costante K è detta costante di guadagno.
סּ Per h = 0, essa rappresenta il guadagno statico, cioè il valore della
funzione di risposta armonica per ω= 0
סּ Per h = 1, la costante K si chiama anche costante di velocità
Scomposizione in funzioni elementari
סּ Si è ottenuto
סּ Se si tracciano i diagrammi di Bode, delle ampiezze e delle fasi,
corrispondenti a funzioni elementari dei tipi:
è possibile, sommandoli, ottenere il diagramma di Bode della funzione complessiva.
1. G(j
ωω
ω
ω
)=K
סּ Costante K positiva
I diagrammi di Bode delle
ampiezze hanno l'andamento
rappresentato in figura; il diagramma delle fasi è identicamente nullo. 10
-1 100 101 102 -10 -5 0 5 10 15 |k|>1 |k|<1 |K | ( d b ) Diagrammi di Bode 0 סּ Costante K negativa
Cambia il diagramma delle fasi, che è identicamente uguale a -π.
10-1 100 101 102 -250 -200 -150 -100 -50 0 k<0 k>0 a rg (K ) ln(ω) [rad/sec]
2. G(j
ω
ωω
ω
)=(j
ωω
ω
ω
)
-h
10 20 )| (d b ) Diagrammi di Bode 10 20 | ( d b ) Diagrammi di Bode)
(
20
20
1
20
)
(
20
10 10 10ω
10ω
ω
ω
h
Log
j
h
Log
j
Log
j
G
Log
=
h=
−
=
−
)
(
10ω
Log
x
=
Ponendo Si ottiene
−
h
20
Log
10(
ω
)
=
−
20
hx
10-1 100 101 102 -40 -30 -20 -10 0 10 |1 /( j ω)| (d b ) 10-1 100 101 102 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 a rg (1 /( j ω)) ln(ω) [rad/sec] 10-1 100 101 102 -40 -30 -20 -10 0 10 |1 /( j ω ) 2 | ( d b ) 10-1 100 101 102 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 a rg (1 /( j ω 2 )) ln(ω) [rad/sec]
3. G(j
ω
ωω
ω
)= (1+j
ωω
ω ττττ
ω
)
±1
Nel caso di G(j ω) = (1 + j ωτ)-1 -40 -30 -20 -10 0 |1 /( 1 + j ωτ)| (d b ) Diagrammi di Bode 20 30 40 50 60 |( 1 + j ω τ )| (d b ) Diagrammi di Bode 10-1 100 101 102 -60 -50 |1 /( 1 + j 10-1 100 101 102 -100 -80 -60 -40 -20 0 a rg (1 /( 1 + j ω τ)) 10-1 100 101 102 0 10 |( 1 + j 10-1 100 101 102 0 20 40 60 80 100 a rg (1 + j ω τ)Diagrammi approssimati
Impiegamo diagrammi di Bode approssimati a forma di spezzata. Sia data:
)
1
(
1
)
(
ωτ
ω
j
j
G
+
=
1
1
)
(
j
ω
=
=
G
2)
(
1
1
)
1
(
1
)
(
ωτ
ωτ
ω
+
=
+
=
j
j
G
2 10 10(
)
20
1
(
)
20
Log
G
j
ω
=
−
Log
+
ωτ
Diagrammi approssimati
ω
0
20 Bode Diagram0
)
(
1
20
lim
ω→0−
Log
10+
ωτ
2=
0
)
(
1
20
1
1
10 2 2 2<<
⇒
<<
⇒
−
+
ωτ
≈
τ
ω
τ
ω
Log
-20 -10 0 10 M a g n it u d e ( d B ) 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec)Diagrammi approssimati
ω
>> 1/
τ
)
(
20
)
(
1
20
1
1
10 2 10 2 2ωτ
ωτ
τ
ω
τ
ω
>>
⇒
>>
⇒
−
Log
+
≈
−
Log
Il diagramma viene a coincidere con la retta passante
per il punto log ω = Log (1/τ) e di inclinazione -20 db/decade
ω
τ
ωτ
10 10 1020
1
20
)
(
20
Log
=
Log
−
Log
−
-20 -10 0 10 20 M a g n it u d e ( d B ) Bode Diagram 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec)Diagrammi approssimati
-10 0 10 20 M a g n it u d e ( d B ) Bode DiagramL'approssimazione asintotica del diagramma delle ampiezze è pertanto costituita dalle due semirette
-20
10-1 100 101 102
Errore di approssimazione
15 20
Diagrammi di Bode
L'errore massimo di questa approssimazione si ha per
ω
= 1/
τ
e vale
−
20
Log
102
≈
−
3
db
db Log 2 3 20 ≈ − − 10-1 100 101 -20 -15 -10 -5 0 5 10 |1 /( 1 +j ω)| (d b ) τ ω 1/ 0 per << τ ω ω τ - 1/ / 1 10 10 Log per >> Log db Log 2 3 20 10 ≈ − −Diagramma delle Fasi
) arctan( ) 1 arg( ) 1 1 arg( ωτ ωτ ωτ = − + = − + j j 0 →ω
τ
ω
>> 1τ
ω
= 1 0 = 90 − = 45 − = 10 fase g ra d iτ
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0s
+
1
1
Diagrammi delle fasi
Approssimazione con la spezzata che si ottiene collegando i due asintoti
β= 0 e β = -π/2 con la tangente al diagramma nel punto
βcorrispondente alla pulsazione ω0 = 1/τ, in cui è β = π/4.
-20 -10 0 10 fase g ra d i 10-1 100 101 -100 -90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 rad/sec 21 a ω ωb
Diagrammi delle Fasi
סּ
Come determinare
ω
ae
ω
b?
ωτ
β
=
−
arctan
e
Log
e
Log
dLog
d
d
d
dLog
d
10 10 2 10 102
1
1
)
(
1
0 0 0=
ω=
−
+
ω=
−
ωω
β
ω
ω
ωτ
ωτ
ω
β
e
Log
e
Log
dLog
d
dLog
10ω
ω
10ω
1
+
(
ωτ
)
102
10Pendenza della tangente in ω0
e
Log
102
1
−
Infatti…
סּ
Per la proprietà della derivata della funzione arctan
סּ
Per la proprietà della derivata della funzione logaritmo
2)
(
1
1
)
(arctan
ωτ
ω
ωτ
ω
β
+
−
=
−
=
d
d
d
d
סּ
Per la proprietà della derivata della funzione logaritmo
(derivata dalla proprietà della derivata del logaritmo
naturale)
e
Log
d
dLog
10 101
ωτ
ω
ωτ
=
Diagramma delle Fasi
סּ
le pulsazioni
ω
a
e
ω
bsi determinano, in funzione della
pulsazione corrispondente al
“punto di rottura”
del
diagramma asintotico delle ampiezze, mediante la
relazione
1 4 / 4 / = − = − ω ω π ω ω π e Log Log Log10 0 10 b π 10 ω ω ω ω = = e Log Log Log LogLog10ω0 − 10ωa = 10ωb − 10ω0 = 2 10 Log10 ωa = Log10 ω0 = 2 Log10e
81 , 4 ) 2 ( 10 10 0 0 = b = Log Log e = a π ω ω ω ω 81 , 4 0 ω ωa = ωb = 4,81ω0
Diagrammi per termimi (1+
τ
s)
-1
10-1 100 101 -20 -10 0 10 20 ampiezza d b Pendenza -1 (-20 dB/decade) Pendenza 0 1/τ 10 10 10 10-1 100 101 -110 -90 -70 -50 -30 -10 10 fase rad/sec g ra d i 1/τ 0o -90o ωa = ω0 / 4.81 ωb = ω0 * 4.81Diagrammi per termimi (1+
τ
s)
10-1 100 101 -20 -10 0 10 20 ampiezza d b Pendenza 1 (20 dB/decade) Pendenza 0 10 10 10 10-1 100 101 -10 0 10 30 50 70 90 fase g ra d i 0o 90oPer valori della costante di tempo
τ
< 0 in entrambi i casi:
il diagramma delle ampiezze risulta immutato
, con il punto di rottura per
ω
= 1/|
τ
|,
il diagramma delle fasi risulta ribaltato rispetto all'asse delle ascisse
.
Un Esempio
-60 -40 -20 0 20 40 ampiezza d b1
=
k
s
s
G
10
1
1
)
(
1+
=
10-2 10-1 100 101 102 -60 rad/sec -60 -20 20 60 100 fase g ra d is
s
G
2(
)
=
1
+
0
.
5
s
s
G
1
.
0
1
1
)
(
3+
=
סּ
Consideriamo il caso in cui
δ
< 1
– se δδδδ = 1, le radici sarebbero reali e il termine di secondo grado
sarebbe il prodotto di due termini di primo grado.
– Si fa riferimento all'esponente -1, data la natura logaritmica
dei diagrammi, se l'esponente valesse +1 basterebbe ribaltare entrambi i diagrammi di Bode attorno all'asse delle ascisse.
1
20
)
(
20
Log
G
j
ω
=
Log
2 2 2 2 2 2 10 104
1
1
20
)
(
20
n nLog
j
G
Log
ω
ω
δ
ω
ω
ω
+
−
=
2 21
2
arctan
)
(
arg
n nj
G
ω
ω
ω
ω
δ
ω
−
−
=
Diagrammi approssimati
ω
0
20 Bode Diagram0
4
1
1
20
1
per
2 2 2 2 2 2 10 2 2≈
+
−
⇒
<<
n n nLog
ω
ω
δ
ω
ω
ω
ω
-20 -10 0 10 M a g n it u d e ( d B ) 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec)Diagrammi approssimati
ω
>>
ω
nIn questo caso il diagramma effettivo può discostarsi sensibilmente da quello
asintotico: in particolare, per δ = 0 e in corrispondenza della pulsazione di
rottura ωn, lo scostamento è infinito
ω ω ω ω ω ω δ ω ω ω ω 10 10 2 2 10 2 2 2 2 2 2 10 2 2 40 40 1 20 4 1 1 20 1
per Log Log Log n Log
n n n n − ≈ ≈ + − ⇒ >> -20 -10 0 10 20 M a g n it u d e ( d B ) Bode Diagram 10-1 100 101 102 Frequency (rad/sec) Il diagramma ha una inclinazione -40 db/decade
ω
=
ω
n
δ
δ
ω
ω
δ
ω
ω
ω
ω
2
1
20
4
1
20
4
1
1
20
1
per
10 2 10 2 2 2 2 2 2 10 2 2Log
Log
Log
n=
=
+
−
⇒
=
ω
δ
ω
4
1
2 2 n n+
−
Diagrammi di Bode
Il diagramma delle ampiezze ha le seguenti proprietà:
סּ Per la curva presenta un massimo;
סּ Per la curva interseca l'asse delle ascisse a
destra del punto ω = ωn ed è pertanto tutta al di sopra della sua
approssimazione asintotica; approssimazione asintotica;
סּ Per la curva interseca l'asse delle ascisse a
sinistra del punto ω = ωn;
סּ Per la curva non interseca l'asse delle
ascisse ed è pertanto tutta al di sotto della sua approssimazione asintotica.
Diagramma delle ampiezze per diversi
valori di
δ
.
101 102 )| δδδδ δδδδ = 0.001 0 1 2 10-2 10-1 100 |G (j ωωωω )| δδδδ = 0.5 δδδδ = 1Picco di risonanza,
Pulsazione di risonanza
סּ Il picco di risonanza M
R è il valore massimo assunto dal diagramma
delle ampiezze.
סּ La pulsazione di risonanza ω
R è la pulsazione alla quale esso si
verifica. 102 picco di risonanza 10 0 10 1 10 2 10-2 10-1 100 101 |G (jωωωω )| δδδδ= 0.5 δδδδ= 0.001 δδδδ= 1 pulsazione di risonanza log(ω) [rad/sec]
Diagrammi di Bode
סּ Per il calcolo di M
R e ωR conviene, per semplicità, porre u = ω/ωn.
סּ Il massimo dell'ampiezza corrisponde quindi ad un minimo della funzione
2 2 2 2 10 10 4 ) 1 ( 1 20 ) ( 20 u u Log j G Log δ ω + − =
Diagrammi di Bode
סּ Si è ottenutoסּ Noto il valore di ω
R, si calcola il valore dell'ampiezza alla risonanza, cioè del
picco di risonanza MR, come il modulo della funzione di risposta armonica per ω = ωR. Si ricava: Marzo - Giugno 2011 00 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 δδδδ M R
Andamento del picco di risonanza MR in funzione del coefficiente di
smorzamento δ.
37 CA-07-DiagrammiDiBode
Diagramma delle fasi
in funzione di
δ
-80 -60 -40 -20 0 a rg [G (j ωωωω)] δ = 0.5 δ = 1 δ = 0.1 δ = 0 100 101 102 -180 -160 -140 -120 -100 -80 a rg [G (j ωωωω log(ω) [rad/sec]Diagrammi di Bode
סּ Per quanto riguarda l'approssimazione asintotica, si può ottenere congiungendo gli
asintoti β = 0 e β = -180°con un segmento inclinato come la tangente al di agramma effettivo in corrispondenza della pulsazione di rottura ωn.in cui β=-90°
סּ Si ottiene una famiglia di diagrammi, ciascuno per un diverso valore di δ.
סּ Per il calcolo dell'approssimazione asintotica calcoliamo il valore della tangente al סּ Per il calcolo dell'approssimazione asintotica calcoliamo il valore della tangente al
diagramma delle fasi in ω=ωn:
39 CA-07-DiagrammiDiBode
e
Log
dLog
du
du
d
dLog
d
u n 10 1 10 101
δ
ω
β
ω
β
ω ω==
==
−
Diagrammi di Bode
סּ Le pulsazioni ω
a e ωb sono legate alla pulsazione di rottura ωn dalla
relazione
סּ dalla quale si ottiene
e Log Log Log Log Log10 n 10 a 10 b 10 n 10 1 2 / 2 / δ ω ω π ω ω π = − = − 2 10 10 10 e Log Log Log n b a n πδ ω ω ω ω = = סּ cioè 2 n a ω ω δ ω ω ω ω 81 , 4 = = n b a n
=
=
− n b n aω
ω
ω
ω
δ δ)
81
,
4
(
)
81
,
4
(
1Diagrammi di Bode
In pratica, per determinare sulla scala logaritmica la pulsazione omegaa (oppure la ωb) in rapporto alla ωn, basta:
סּ riportare su una striscia di carta la distanza, presa sulla scala stessa, fra il punto di ascissa 1 e quello di ascissa 4.81
סּ moltiplicare la lunghezza del segmento così ottenuto per δ (ad esempio, se è δ = 0.5, si assume una distanza paria metà del segmento ottenuto).
log(ωa) log(ωn) log(ωb)
Diagrammi di Bode
סּ La pulsazione naturale ω
n, uguale al modulo delle radici complesse
coniugate cui corrisponde il termine del secondo ordine, non è mai negativa
ω ω ω
ωn > 0 sempre
סּ Il coefficiente di smorzamento δ può essere invece negativo:
δ < 0
In questo caso:
סּ il diagramma delle ampiezze è uguale a quello che si avrebbe per
uno smorzamento pari a |δ|
Caso con
δ
< 0
Diagramma delle ampiezze:
non cambia
Diagramma delle fasi:
Diagrammi di Bode
סּ Diagrammi di Bode per il termine di secondo ordine100 101 -20 0 δ δ 100 101 102 10-2 10-1 ln(ωωωω) |G (j ωωωω)| 100 101 102 -180 -160 -140 -120 -100 -80 -60 -40 a rg [G (j ωωωω )] δ = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 1, 1.2, 1.5, 2 δ log(ω) [rad/sec]
0 101 102 |G (j ωωωω)| 100 120 140 160 180 a rg [G (j ωωωω)] 100 101 102 10-1 100 ln(ωωωω)
Si ribaltano attorno all'asse delle
ascisse i diagrammi ottenuti per δ 100 101 102 0 20 40 60 80 ln(ωωωω) a rg [G (j δ Picco di attenuazione log(ω) [rad/sec] log(ω) [rad/sec]
Margini di Stabilita’
סּ
Il diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi
valutano quanto un sistema “guadagna” e “ritada in fase”
rispetto ad un segnale sinusoidale di ingresso.
סּ
Se il sistema e’ chiuso in retroazione un guadagno
elevato o uno sfasamento eccessivo comportano
elevato o uno sfasamento eccessivo comportano
comportamenti dinamici vicini alla instabilita’.
סּ
Si definiscono due parametri detti Margini di Stabilita’
che misurano la cosiddetta “stabilita’ relativa” dei
sistemi in retroazione.
Margine di Ampiezza
סּ
Il Margine di Ampiezza M
Ae’ l’inverso del modulo del
guadagno di anello alla pulsazione corrispondente alla
fase –
π
(detta pulsazione di fase Pi Greco).
-50 0 50 M a g n itu d e ( d B ) Bode Diagram
Gm = 16.8 dB (at 1.52 rad/sec) , Pm = 67 deg (at 0.436 rad/sec)
MA -150 -100 -50 M a g n itu d e ( d B ) 10-3 10-2 10-1 100 101 102 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/sec)
Margine di Fase
סּ
Il Margine di Fase M
Fe’ l’angolo che occorre sottrarre
alla fase (normalmente negativa) del guadagno di anello
alla pulsazione
ω
icorrispondente al valore unitario del
modulo (detta pulsazione di intersezione o di incrocio)
per ottenere il valore –
π
per ottenere il valore –
π
סּ
Il nome della pulsazione fa riferimento al diagramma di
Bode delle Ampiezze, che in corrispondenza di essa
interescano l’asse delle ascisse.
Margine di Fase
-150 -100 -50 0 50 M a g n itu d e ( d B ) 0 Bode DiagramGm = 16.8 dB (at 1.52 rad/sec) , Pm = 67 deg (at 0.436 rad/sec)
10-3 10-2 10-1 100 101 102 -270 -225 -180 -135 -90 -45 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/sec) MF
Sessione Matlab
סּ
>> Gs=tf(1,[1 3 3 1])
Transfer function:
1
---s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
סּ
>> margin(Gs)
Margine di Guadagno
-40 -30 -20 -10 0 10 M a g n itu d e ( d B ) Bode DiagramGm = 18.1 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = -180 deg (at 0 rad/sec)
-50 10-1 100 101 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Frequency (rad/sec)
Margine di stabilità e
risposta all’impulso
Incrementiamo di 10 il
guadagno del sistema
סּ
>> Gs=tf(10,[1 3 3 1])
% Incrementiamo di 10 il guadagno
Transfer function:
10
---s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
s^3 + 3 s^2 + 3 s + 1
סּ
>> margin(Gs)
Margine di guadagno
-40 -30 -20 -10 0 10 20 M a g n it u d e ( d B ) Bode DiagramGm = -1.94 dB (at 1.73 rad/sec) , Pm = -7.03 deg (at 1.91 rad/sec)
-50 -40 10-1 100 101 -270 -225 -180 -135 -90 -45 0 P h a s e ( d e g ) Il margine di Guadagno è negativo: -1.94 dB
![Diagramma delle fasi in funzione di δ -80-60-40-200 arg[G(jωωωω )] δ = 0.5δ= 1 δ = 0.1 δ = 0 10 0 10 1 10 2-180-160-140-120-100-80arg[G(jωωωω log( ω ) [rad/sec]](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dokorg/2903113.13158/38.1263.261.951.131.746/diagramma-fasi-funzione-arg-joooo-arg-joooo-sec.webp)
